2023~2024学年第一学期末学业质量监测试卷
七年级数学
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。
4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物．已知礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱锥
5．下列说法错误的是（ ）
A．对顶角相等
B．锐角的补角一定是钝角
C．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
6．将一直尺和一块含角的三角尺按如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．若与是同类项，则代数式的值（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（ ）
A．a B． C． D．
9．我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（ ）
甲：设有x辆车，根据题意可列方程为．
乙：设有x个人，根据题意可列方程为．
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
10．实数是关于的方程的解，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．海安冬季一天的温差是，这天最低气温是，最高气温是 ．
12．单项式的次数是 ．
13．每件a元的上衣，降价20%后的售价是 ．
14．当时，化简： ．
15．已知一个角的补角比这个角的三倍多20°，则这个角的度数为 ．
16．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了；从乙码头返回到甲码头逆流而行，用了．若水流速度是，则轮船在静水中的平均速度是 ．
17．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程解为 ．
18．如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．解方程：
(1)；
(2)．
21．先化简，再求值：，其中，．
22．如图，是线段上不与点重合的两个动点，且点在点左侧．
图1 图2
(1)图1中共有______条线段；
(2)如图2，若，，点分别是线段的中点，求的长．
23．如图，直线与相交于点O，射线在的内部，．
图1 图2
(1)如图1，当时，请写出与互余的角，并说明理由；
(2)如图2，若平分，求的度数．
24．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地。现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下，
信息一：
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工面积（单位：元）
甲 3600
乙 x 2200
信息二：
甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积为．该段时间内体育中心需要支付多少施工费用？
25．如图，，，的平分线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)探究，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，求的度数．
26．点A为数轴上表示数2的点，点M为数轴上的一个动点（不与点A重合），设（）．
(1)若点M表示的数为，则______；
(2)若，求点M在数轴上表示的数；
(3)若点N为线段OM的中点，当时，求a的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选B．
2．A
【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，n等于原数的整数位数减1，即可得到答案．
【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，n等于原数的整数位数减1，
∴，
故答案选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查了合并同类项，乘方运算，去括号法则，根据合并同类项法则及乘方的意义、去括号法则逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：A、，故原选项错误，不符合题意；
B、和不是同类项不能合并，故原选项不符合题意；
C、，故原选项错误，不符合题意；
D、，原选项正确，符合题意；
故选：D．
4．D
【分析】由长方体，正方体，圆柱的主视图是长方形，而三棱锥的主视图是三角形，从而可得答案．
【详解】解：∵长方体，正方体，圆柱的主视图是长方形，而三棱锥的主视图是三角形，
∴该礼物的外包装不可能是三棱锥，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是简单几何体的主视图，熟记简单几何体的三种视图是解本题的关键．
5．C
【分析】本题考查了平行线的性质，余角和补角，对顶角、邻补角，垂线，平行公理及推论，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
【详解】解：A、对顶角相等，故A不符合题意；
B、锐角的补角一定是钝角，故B不符合题意；
C、在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故D不符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据题意知，进而可得，再由邻补角定义即可求解，准确识图是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查的是同类项，代数式求值，解一元一次方程．根据同类项的定义找出同类项中相同字母指数之间的等量关系，即可求出和的值，即可求出得值．解题过程中是否熟练掌握同类项的定义是关键，同类项是指字母相同，并且相同的字母的指数也相同的两个式子．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了数轴，正负数，根据数轴可得，再结合可得出一定是正数，解题的关键是能根据和确定的符号．
【详解】解：由数轴可得：，
，
一定是正数，
故选：B．
9．A
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设有x辆车，由人数不变列方程可判断甲，设有x个人，根据车的辆数不变列方程可判断乙，从而可得答案．理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．
【详解】解：设有x辆车，根据题意可列方程为，故甲对；
设有x个人，根据题意可列方程为，故乙错；
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了一元一次方程的解、求代数式的值，将代入方程可得，再将，代入可得，从而可得答案，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解此题的关键．
【详解】解：实数是关于的方程的解，
，
，，
，
故选：B．
11．11
【分析】此题考查了有理数的加法运算，根据最高气温最低气温温差列出算式，计算即可得到这天的最高气温．弄清题意是解本题的关键．
【详解】解：根据题意可得：，
则这天的最高气温是．
故答案为：11．
12．3
【分析】单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，据此求解即可．
【详解】解：由题意得
，
故答案：．
【点睛】本题考查了单项式次数的定义，理解定义是解题的关键．
13．0.8a元
【分析】根据售价=a×（1-降价率）解答即可．
【详解】解：由题意得，
a×(1-20%)=0.8a（元）．
故答案为：0.8a元．
【点睛】本题考查了列代数式．解题的关键是准确把握题意，明确题中的数量关系．
14．4
【分析】本题考查绝对值与整式加法的综合计算，先判断绝对值里的数为正数还是负数，再去绝对值符号进行化简．熟练掌握绝对值的意义、正确去掉绝对值是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴原式=，
故答案为：4．
15．
【分析】设这个角的度数为x，根据补角的定义可求它的补角，再根据题意可列方程，解出x即可．
【详解】设这个角的度数为x，则它的补角为，
根据题意得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查补角的定义和列方程，熟知补角的定义“若两个角互补，则它们的和是”是解题关键．
16．36
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设船在静水中的平均速度是，利用路程速度时间，结合甲、乙码头间的路程不变，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设船在静水中的平均速度是，
根据题意得：，
解得：，
∴船在静水中的平均速度是．
故答案为：36．
17．
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将一元一次方程变形可得是方程的解，即可得出答案，解题的关键是得出是方程的解．
【详解】解：将一元一次方程变形得：，
关于的一元一次方程的解为，
是方程的解，
解得：，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题．
【详解】解：，
，
当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1）先计算绝对值和乘方，再计算乘法，最后计算加法即可得出答案；
（2）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可．
【详解】（1）解：
去括号得：
移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得：．
21．，
【分析】此题考查了整式的加减混合运算-化简求值，将整式去括号后，进行合并同类项化简，把、的值代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了与线段中点有段的计算、线段的和差、线段的数量问题，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据线段的定义解答即可；
（2）由点分别是线段的中点，得出，，再由进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示的图形中，共有线段10条，分别是、、、、、，
故答案为：；
（2）解：点分别是线段的中点，
，，
，，
．
23．(1)是的余角，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了对顶角的性质，余角的定义，与角平分线有关的角度问题，熟练掌握对顶角的性质，余角的定义，结合图形找角之间的数量关系是解题的关键．
（1）由，，，则，进而求出其他角的大小即可找到的余角；
（2）由题意得，则，进而可知，由，
得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，则，
则，，
∴，
∴是的余角；
（2）∵平分，
∴，
则，
∴，
又∵，
∴，即：
∴．
24．(1)的值为600
(2)体育中心共支付施工费用元
【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键．
（1）根据“甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多”列出一元一次方程求解即可；
（2）设甲工程队先单独施工天，则乙工程队先单独施工天，根据“两队共施工22天，且完成的施工面积为” 列出一元一次方程，求得甲工程队先单独施工天数，再结合每天的单价即可求解．
【详解】（1）解：由题意列方程，得，
解得：，
即：的值为600；
（2）设甲工程队先单独施工天，则乙工程队先单独施工天，
由题意列方程，得，
解得：，
则体育中心共支付施工费用（元），
答：体育中心共支付施工费用元．
25．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由平行线的性质可得，求出，即可得证；
（2）作，则，，再由平行线的性质可得，即可得出答案；
（3）作，则，求出，得出，由平行线的性质可得，从而得出，由角平分线的定义可得，由（2）可得，由此即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
理由如下：
如图，作，
，
则，
由（1）可得，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，作，
，
则，
，
，
由（1）可得，
，
，
，
的平分线交的延长线于点，
，
由（2）可得：，
．
26．(1)
(2)点表示的数为4或
(3)当时，的值为4或或8或
【分析】本题考查数轴上的动点问题，化简绝对值，一元一次方程的应用，解题关键是分类讨论，找出等量关系，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答．
（1）由题意可知，，结合可得答案；
（2）设点表示的数为，根据题意可得，分三种情况当时，当时，当时，分别化简绝对值，解方程求解即可；
（3）设点表示的数为，则，，由题意知，根据，得 ，分当 时，当 时，当 时，三种情况解方程即可， 根据 ，则 ，再将求得的 x 代入即可求解．
【详解】（1）解：∵点为数轴上表示数2的点，点M表示的数为，
∴，，
则，
∴，
故答案为：；
（2）设点表示的数为，则，
∵，，即：
∴，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，不符合题意，
综上，点表示的数为4或；
（3）设点表示的数为，则，，
则，
∵点为线段的中点，
∴，
∵
∴，
当时，若，解得：；若，解得：；
当时，若，解得：；若，解得：；
当时，，此时无解，
∵，
则，
当时，；当时，；当时，；当时，；
综上，当时，的值为4或或8或．
