第10章 一次函数
10.2 一次函数和它的图象
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知识点1 一次函数的定义
1.(2022山东菏泽成武期末)下列函数中,y与x是一次函数的是( )
A.y= B.y= C.y=5x2+x D.y=-8
2.(2023山东滨州博兴期末)已知函数y=(m-2)xn-1+3是关于x的一次函数,则m,n满足( )
A.m≠2且n=2 B.m=2且n=2 C.m≠2且n=1 D.m=2且n=1
3.【易错题】(2023山东聊城冠县期末)如果函数y=(m+2)x|m|-1是正比例函数,则m的值是 .
知识点2 一次函数的图象
4.经过以下一组点可以画出函数y=2x的图象的是( )
A.(0,0)和(2,1) B.(1,2)和(-1,-2)
C.(1,2)和(2,1) D.(-1,2)和(2,2)
5.(2023内蒙古通辽中考)在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-3的图象是( )
A B C D
6.(2023新疆中考)一次函数y=x+1的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.(2023江苏无锡中考)将函数y=2x+1的图象向下平移2个单位长度,所得图象对应的函数表达式是( )
A.y=2x-1 B.y=2x+3
C.y=4x-3 D.y=4x+5
8.(2023江苏无锡中考)请写出一个函数的表达式,使得它的图象经过点(2,0): .
9.已知函数y=2x-1.
(1)在如图所示的直角坐标系中画出这个函数的图象.
(2)判断点A(-2.5,-4),B(2.5,4)是否在函数y=2x-1的图象上.
知识点3 用待定系数法确定一次函数的表达式
10.(2023广西中考)函数y=kx+3的图象经过点(2,5),则k= .
11.(2023山东聊城阳谷期末)如图,已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个正比例函数,则图中a的值为 .
12.【一题多解】(2023江苏苏州中考)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,2),则k2-b2= .
13.【一题多解】(2023浙江杭州中考)课堂上,老师给出了直角坐标系中的三个点:A(0,2),B(2,3),C(3,1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象,并得到对应的函数表达式y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,y3=k3x+b3.分别计算k1+b1,k2+b2,k3+b3的值,其中最大的值等于 .
14.【教材变式·P144T4】(2023山东聊城阳谷期末)已知一次函数y=kx+b.当x=-4时,y=0;当x=4时,y=4.
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)求这个一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积.
15.(2022山东菏泽巨野期末)已知y-3与4x-2成正比例,且当x=1时,y=5.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)求当x=-2时的函数值.
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16.(2022广西柳州中考,12,★★☆)如图,直线y1=x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C,直线y2=-x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C,点P(m,2)是△ABC内部(包括边上)的一点,则m的最大值与最小值之差为( )
A.1 B.2 C.4 D.6
17.(2022山东聊城阳谷期末,12,★★☆)把8个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在直角坐标系中,经过原点O的直线l将这8个正方形组成的图形分成面积相等的两部分,则该直线的函数表达式是( )
A.y=x B.y=x
C.y=x D.y=2x
18.【跨学科·物理】(2022四川绵阳期末,18,★★☆)已知弹簧在一定限度内,它的长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)是一次函数关系.如果经过测量,不挂重物时弹簧长度是7厘米,挂上2.5千克重物时弹簧长度是8厘米,那么弹簧长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)的函数解析式是 .(不需要写出自变量的取值范围)
19.(2022辽宁铁岭中考,15,★★☆)如图,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点D为OB的中点, OCDE的顶点C在x轴上,顶点E在直线AB上,则 OCDE的面积为 .
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20.【抽象能力】(2023山东聊城临清期末)在直角坐标系中,等腰直角三角形A1B1O、A2B2B1、A3B3B2、…、AnBnBn-1按如图所示的方式放置,其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上,点B1、B2、B3、…、Bn均在x轴上.若点B1的坐标为(1,0),点B2的坐标为(3,0),则点A6的坐标为 .
21.【几何直观】如图,直线y=kx+2与坐标轴分别交于A、B两点,点B的坐标为(1,0).
(1)求k的值.
(2)若直线CD与直线AB交于点C,与x轴交于点D,且OD=2,求直线CD的表达式和△CBD的面积.
答案全解全析
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1.B 选项A,y=中,不是整式,不是一次函数;选项C,y=5x2+x中,自变量x的最高次数是2,不是一次函数;选项D,y=-8不是一次函数.故选B.
2.A ∵函数y=(m-2)xn-1+3是关于x的一次函数,
∴n-1=1且m-2≠0,∴n=2且m≠2.
3.答案 2
解析 由正比例函数的定义,可得m+2≠0,|m|-1=1,解得m=2.
4.B 对于y=2x,当x=2时,y=4,所以A、C、D不符合题意,故选B.
5.D 对于一次函数y=2x-3,把x=0代入,得y=-3,把y=0代入,得2x-3=0,解得x=,所以直线y=2x-3与y轴的交点坐标是(0,-3),与x轴的交点坐标是,只有选项D符合题意.
6.D 列表,描点,连线,得到一次函数y=x+1的图象,所以一次函数y=x+1的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.
x 0 -1
y 1 0
7.A 将函数y=2x+1的图象向下平移2个单位长度,所得图象对应的函数表达式是y=2x+1-2=2x-1,故选A.
8.答案 y=x-2(答案不唯一)
解析 设函数表达式为y=x+b,∵它的图象经过点(2,0),∴把x=2,y=0代入,得2+b=0,解得b=-2,∴函数的表达式可以为y=x-2.答案不唯一.
9.解析 (1)函数y=2x-1的图象与坐标轴的交点坐标分别为(0,-1),,描点、连线,如图所示.
(2)当x=-2.5时,y=-2.5×2-1=-6≠-4,所以点A不在函数y=2x-1的图象上;当x=2.5时,y=2.5×2-1=4,所以点B在函数y=2x-1的图象上.
10.答案 1
解析 将点(2,5)代入y=kx+3中,得5=2k+3,解得k=1.
11.答案
解析 设该函数表达式为y=kx(k≠0),把x=1,y=3代入,得k·1=3,解得k=3,∴该函数表达式为y=3x,把x=a,y=2代入,得3a=2,解得a=.
12.答案 -6
解析 解法一(求值计算法):将点(1,3)和(-1,2)代入y=kx+b,得解方程组,得
∴k2-b2=-=-6.
解法二(整体计算法):
将点(1,3)和(-1,2)代入y=kx+b,得
∴k2-b2=(k+b)(k-b)=-(k+b)·(-k+b)=-3×2=-6.
13.答案 5
解析 解法一:若直线AB的表达式为y1=k1x+b1,将点A(0,2),B(2,3)代入,得解得∴k1+b1=;若直线AC的表达式为y2=k2x+b2,将点A(0,2),C(3,1)代入,得解得,∴k2+b2=;若直线BC的表达式为y3=k3x+b3,
将点B(2,3),C(3,1)代入,得
解得∴k3+b3=5,∴k1+b1,k2+b2,k3+b3中最大的值为5.
解法二:如图,作直线AB,AC,BC,作直线x=1,若直线AB的表达式为y1=k1x+b1,直线AC的表达式为y2=k2x+b2,直线BC的表达式为y3=k3x+b3,由图象可知,直线x=1与直线BC的交点最高,即k1+b1,k2+b2,k3+b3中最大的为k3+b3.将点B(2,3),C(3,1)代入,得解得
∴k3+b3=5,∴k1+b1,k2+b2,k3+b3中最大的值为5.
14.解析 (1)由题意得解得∴这个一次函数的表达式为y=x+2.
(2)如图,把x=0代入y=x+2,得y=2,∴A(0,2).∵x=-4时,y=0,∴B(-4,0),∴S△AOB=OA·OB=×2×4=4,即这个一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为4.
15.解析 (1)设y-3=k(4x-2)(k≠0),因为当x=1时,y=5,所以5-3=k(4-2),解得k=1,所以y-3=4x-2,所以y=4x+1,即y关于x的函数表达式为y=4x+1.
(2)当x=-2时,y=4×(-2)+1=-7.
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16.B 因为点P(m,2)是△ABC内部(包括边上)的一点,所以点P在直线y=2上,如图所示,当P为直线y=2与直线y2=-x+3的交点时,m取最大值,此时m=1;当P为直线y=2与直线y1=x+3的交点时,m取最小值,此时m=-1.故m的最大值与最小值之差为1-(-1)=2.故选B.
17.A 如图,因为经过原点的一条直线l将这8个正方形组成的图形分成面积相等的两部分,所以S△AOB=4+1=5,因为OB=3,所以AB·3=5,解得AB=,所以点A的坐标为,设直线l的函数表达式为y=kx(k≠0),把A代入,得3=k,解得k=,所以直线l的函数表达式为y=x.
18.答案 y=0.4x+7
解析 设弹簧长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)的函数解析式是y=kx+b(k≠0),
由题意可得解得
故弹簧长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)的函数解析式是y=0.4x+7.
19.答案 2
解析 把x=0代入y=2x+4,得y=4,所以点B的坐标为(0,4),OB=4.因为点D为OB的中点,所以OD=OB=×4=2.因为四边形OCDE是平行四边形,点C在x轴上,所以DE∥x轴.把y=2代入y=2x+4,得2x+4=2,解得x=-1,所以点E的坐标为(-1,2),所以DE=1,所以 OCDE的面积=DE·OD=1×2=2.
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20.答案 (31,32)
解析 ∵点B1的坐标为(1,0),点B2的坐标为(3,0),∴OB1=1,OB2=3,则B1B2=2.∵△A1B1O是等腰直角三角形,∠A1OB1=90°,∴OA1=OB1=1,
∴点A1的坐标是(0,1).同理,在等腰直角△A2B2B1中,∠A2B1B2=90°,A2B1=B1B2=2,则A2(1,2).∵点A1、A2均在一次函数y=kx+b的图象上,∴解得∴该一次函数的表达式是y=x+1.∵点A3、B2的横坐标相同,都是3,当x=3时,y=4,∴A3(3,4),则A3B2=4,∴B2B3=4,∴B3(7,0),同理,B4(15,0),…,Bn(2n-1,0),当x=2n-1-1时,y=2n-1-1+1=2n-1,即点An的坐标为(2n-1-1,2n-1).∴A6(25-1,25),即A6(31,32).
21.解析 (1)因为点B(1,0)在直线y=kx+2上,所以k+2=0,解得k=-2.
(2)因为点D在x轴上,且OD=2,所以D(2,0)或D(-2,0).设直线CD的解析式为y=mx+n(m≠0),分两种情况讨论:①当点D在x轴正半轴时,把D(2,0)、C代入,得解得所以直线CD的解析式为y=- x+.因为B(1,0),所以BD=2-1=1,所以S△CBD=×1×1=.
②当点D在x轴负半轴时,把D(-2,0)、C代入,得解得所以直线CD的解析式为y=x+,因为B(1,0),所以BD=2+1=3,所以S△CBD=×3×1=.
综上,直线CD的表达式为y=-x+,△CBD的面积为,或直线CD的表达式为y=x+,△CBD的面积为.
