第9章 二次根式
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
掌握二次根式、最简二次根式的定义、性质、有意义的条件 了解二次根式、最简二次根式的概念【P55】
掌握二次根式的加减运算 了解二次根式(根号下仅限于数)加、减运算法则【P55】
掌握二次根式的乘除运算和四则运算 了解二次根式(根号下仅限于数)乘、除运算法则,会用加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算【P55】
9.1 二次根式和它的性质
基础过关全练
知识点1 二次根式的概念
1.(2022山东聊城东昌府校级期中)下列式子:
(1);(2);(3)-;(4);(5);(6)(x>1);(7),其中是二次根式的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
知识点2 二次根式有意义的条件
2.【一题多变·已知二次根式有意义,求字母的取值范围】(2023湖北黄冈期中)使式子有意义,则x的取值范围为( )
A.x>5 B.x≠5
C.x≥5 D.x≤5
[变式1·改变取值范围的表现形式](2023内蒙古通辽中考)二次根式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为( )
A B
C D
[变式2·添加分母,求字母的取值范围](2023山东济宁中考)若代数式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x≠2 B.x≥0
C.x≥2 D.x≥0且x≠2
3.(2023安徽合肥瑶海期中)已知y=+-2,则2x-y的值是 .
知识点3 二次根式的性质
4.【教材变式·P113例2】(2021江苏苏州中考)计算()2的结果是( )
A. B.3 C.2 D.9
5.下列计算正确的是( )
A.-=-6 B.(-)2=64
C.=±16 D.-(-)2=7
6.(2023山东菏泽成武期末)若=1-x,则x的取值范围是( )
A.x<1 B.x>1 C.x≤1 D.x≥1
7.当a= 时,代数式+1取得最小值,这个最小值是 .
8.计算:(1)()2; (2)-;
(3); (4)()2.
9.化简:()2-.
10.已知a2+=4a-4,求的值.
知识点4 积的算术平方根
11.【新独家原创】下列变形正确的是( )
A.=×
B.=5+7=12
C.=×=4×=2
D.=·
12.【易错题】已知ab<0,则化简后为( )
A.-a B.-a C.a D.a
13.若等式=·成立,则x的取值范围是 .
14.化简:(1); (2)(m≥0,n≥0);
(3); (4).
知识点5 商的算术平方根
15.(2023山东菏泽单县期末)能使等式=成立的条件是( )
A.x≥0 B.x≥3
C.x>3 D.x>3或x<0
16.下列各式化简正确的是( )
A.=4 B.=
C.= D.=
17.化简下列二次根式:
(1); (2);
(3)(x>0,y>0,z>0).
知识点6 最简二次根式
18.【教材变式·P117例7】下列各式中,哪些是最简二次根式 把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
(1); (2); (3);
(4); (5)(a≥0); (6).
能力提升全练
19.(2023河北中考,7,★★☆)若a=,b=,则=( )
A.2 B.4 C. D.
20.【分类讨论思想】(2022山东聊城莘县期末,8,★★☆)设a,b为非零实数,则+所有可能的值为 ( )
A.±6 B.±1,0
C.±2,0 D.±2,±1
21.【易错题】(2022四川遂宁中考,12,★★☆)实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简:|a+1|-+= .
22.【分类讨论思想】(2023山东聊城冠县期末,16,★★☆)已知y=-x+4,当x分别取1,2,3,…,2 023时,所对应y值的总和是 .
23.【新考向·规律探究题】(2022山东潍坊临朐期末,8,★★★)若a1=1++,a2=1++,a3=1++,a4=1++,……,则+++…+的值为 .
素养探究全练
24.【运算能力】先阅读,再回答问题:
+
=+
=|x-3|+|x+2|.
令x-3=0,x+2=0,得x=3,x=-2(称3,-2分别为,的零点值),然后在数轴上标出表示3和-2的点,如图所示,数轴被分成三段,即x<-2,-2≤x<3,x≥3.
当x<-2时,原式=-(x-3)-(x+2)=-x+3-x-2=-2x+1;当-2≤x<3时,原式=-(x-3)+(x+2)=-x+3+x+2=5;
当x≥3时,原式=(x-3)+(x+2)=x-3+x+2=2x-1.
(1)分别求出和的零点值.
(2)化简:+.
答案全解全析
基础过关全练
1.D 二次根式有(1);(2);(3)-;(5);(7),共5个;的根指数为3,不是二次根式;∵x>1,∴1-x<0,∴(x>1)不是二次根式.
2.C ∵式子有意义,∴x-5≥0,解得x≥5.故选C.
[变式1] C ∵二次根式在实数范围内有意义,∴1-x≥0,解得x≤1,在数轴上表示实数x的取值范围,如图,故选C.
[变式2] D 根据二次根式有意义的条件和分母不为0,得x≥0且x-2≠0,∴x≥0且x≠2,故选D.
3.答案 10
解析 根据题意,得
解得x=4,∴y=+-2=-2,∴2x-y=8+2=10.
4.B
5.A -=-6;(-)2=8;=16;-(-)2=-7.故选A.
6.C 因为=|x-1|=1-x,所以1-x≥0,解得x≤1,故选C.
7.答案 -;1
解析 ∵≥0,∴的最小值为0,
∴+1的最小值为1.当代数式+1取得最小值时,2a+1=0,所以a=-.
8.解析 (1)()2=9.(2)-=-|-5|=-5.
(3)=9×=6.(4)()2=a2.
9.解析 由题意得2-x≥0,所以x≤2,所以x-3<0,
所以()2-=2-x-=2-x-(3-x)=2-x-3+x=-1.
10.解析 ∵a2+=4a-4,∴a2-4a+4+=0,
∴(a-2)2+=0,
∴a-2=0,b-2=0,∴a=b=2,∴=2.
11.D ==×,选项A错误;==,选项B错误;=≠=2,选项C错误;∵a2+1>0,a2+2>0,∴=·,选项D正确,符合题意.
12.D ∵ab<0,-a2b≥0,∴a>0,b<0,∴-b>0,
∴原式=·=|a|=a,故选D.
13.答案 x≥1
解析 根据题意得解得x≥1.
14.解析 (1)原式==×=10.
(2)因为m≥0,n≥0,所以原式==3m.
(3)==8×9=72.
(4)原式==
=×=13×11=143.
15.C 要使等式=成立,则x≥0且x-3>0,解得x>3.
16.D A.原式==,不符合题意;
B.原式==,不符合题意;
C.原式=×=,不符合题意;
D.原式=×=,符合题意.
17.解析 (1)====.
(2)====.
(3)===.
18.解析 (1)是最简二次根式.
(2)不是最简二次根式,=6.
(3)不是最简二次根式,=5a.
(4)不是最简二次根式,=.
(5)(a≥0)是最简二次根式.
(6)不是最简二次根式,=(a+b).
能力提升全练
19.A ∵a=,b=,∴====2.
20.C +=+.①当a>0,b>0时,原式=+=1+1=2;②当a>0,b<0时,原式=+=1+(-1)=0;③当a<0,b>0时,原式=+=-1+1=0;④当a<0,b<0时,原式=+=(-1)+(-1)=-2.故选C.
21.答案 2
解析 由数轴可得-1
∴|a+1|-+=|a+1|-|b-1|+|a-b|=(a+1)-(b-1)+[-(a-b)]=a+1-b+1-a+b=2.
22.答案 2 029
解析 当x≤3时,x-3≤0,∴=|x-3|=-(x-3)=3-x,∴y=3-x-x+4=7-2x;当x>3时,x-3>0,∴=|x-3|=x-3,∴y=x-3-x+4=1.
当x分别取1,2,3,…,2 023时,
所对应y值的总和是(7-2)+(7-4)+(7-6)+2 020×1=5+3+1+2 020=2 029.
23.答案 2 022
解析 ∵===,===,
===,===,……,=,
∴+++…+=+++…+
=1++1++1++…+1+
=2 022+1-+-+-+…+-
=2 022+1-
=2 022.
素养探究全练
24.解析 (1)=|x+1|,=|x-2|,
令x+1=0,得x=-1,令x-2=0,得x=2,
∴的零点值为-1,的零点值为2.
(2)+=+
=|x+1|+|x-2|.
由(1)知的零点值为-1,的零点值为2,
在数轴上标出表示-1和2的点,如图所示,
数轴被分成三段,即x<-1,-1≤x<2,x≥2.
当x<-1时,原式=-(x+1)-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1;
当-1≤x<2时,原式=(x+1)-(x-2)=x+1-x+2=3;
当x≥2时,原式=(x+1)+(x-2)=x+1+x-2=2x-1.
