上海市黄浦区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
（满分100分，考试时间90分钟）
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题中，原命题与其逆命题均为真命题的有（ ）个
①全等三角形对应边相等； ②全等三角形对应角相等；
③等腰三角形两条腰上的高相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，中，，如果要使用尺规作图的方法在上确定一点P，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．17
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
8．方程的解是 ．
9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
10．已知函数，那么 ．
11．在正比例函数中，当时，那么 ．
12．如果反比例函数的图像，在的范围内，随们增大而减小，那么的取值范围是 ．
13．经过定点的圆的圆心的轨迹是 ．
14．如果一个直角三角形的一个内角等于，其中一条较长的直角边长为，那么斜边的长为 ．
15．已知正比例函数和反比例函数的比例系数和互为倒数，且正比例函数的图象经过点．如果，那么当时，的值是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知在中，，点们坐标分别是、，则点的坐标是 ．
17．连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.如图1，中，分别是的中点，则，且.试用三角形中位线的性质解决下列问题：如图2，函数的图像经过的顶点和边的中点，分别过作轴，轴，垂足分别为是的中位线.如果点的横坐标为，则点的坐标为 .
18．已知等腰中，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 ．
三、简答题（本大题5题，每题6分，满分30分）
19．计算：．
20．解方程：（3x﹣1）2＝4x2．
21．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，该商店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1200元？
22．据医学研究,使用某种抗生素治疗心肌炎,人体内每毫升血液中的含药量不少于4微克时,治疗有效.如果一患者按规定剂量服用这种抗生素,服用后每毫升血液中的含药量(微克)与服用后的时间(小时)之间的函数关系如图所示:
(1)如果上午8时服用该药物,到 时该药物的浓度达到最大值 微克/毫升;
(2)根据图象求出从服用药物起到药物浓度最高时y与t之间的函数解析式;
(3)如果上午8时服用该药物,到 时该药物开始有效，有效时间一共是 小时．
23．已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点和点．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)求两点之间的距离；
(3)若点在轴上，且，则点的坐标为_______（直接写出答案）
四、解答题（本大题3题，第24题5分，第25题7分，第26题8分，满分20分）
24．如图，已知在中，，是的中点．
求证：．
25．如图，已知在中，，苦点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．
（请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点）
，，(1)若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时_______；
(2)若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时_______．
26．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．
(1)求证：；
(2)求DF的长．
五、综合题（本大题第（1）小题2分，第（2）小题2分，第（3）小题4分，满分8分）
27．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、、，求的面积；
(3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查的是同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、与是同类二次根式，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不符合题意；
故选A．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】A、方程中的不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、方程可整理为，是一元一次方程，此项不符题意；
C、方程满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当时，方程不是一元二次方程，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，熟记一元二次方程的概念是解题关键．
3．C
【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．
【详解】解：令，解得，，
所以，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
4．A
【分析】本题主要考查真假命题、逆命题及等腰三角形的性质、实数的性质．本题考查了首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假即可．
【详解】解：①全等三角形对应边相等，原命题是真命题；
逆命题为：对应边相等的两个三角形全等，逆命题不是真命题；
②全等三角形对应角相等，原命题是真命题；
逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，逆命题不是真命题；
③等腰三角形两条腰上的高相等，原命题是真命题；
逆命题为：有两条高相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等，原命题是真命题；
逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等的平方相等，逆命题不是真命题；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，原命题是真命题；
逆命题为：两条直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，则这两条直线平行，逆命题是真命题．
原命题与其逆命题均为真命题的有③⑤，共2个．
故选：A．
5．B
【分析】由和可得，点P在线段的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段的垂直平分线，与的交点即为点P．
【详解】∵，而，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上，
即点P为线段的垂直平分线与的交点．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理的逆定理以及尺规作图——作线段的垂直平分线．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明得到，则，进一步证明得到，则．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
7．x≥5
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x 5≥0，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
8．，
【分析】先移项，再根据因式分解法，可得答案．
【详解】解：移项，得：
，
因式分解，得：
，
∴或，
解得：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程的关键是分解因式．
9．且
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式组求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识点，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根是解答本题的关键．
10．##
【分析】本题主要考查了求函数值，分母有理化，根据题意把代入进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
11．2
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，二次根式的除法计算，根据当时，得到，由此可得．
【详解】解：∵在正比例函数中，当时，，
∴，
∴，
故答案为：2．
12．##
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，其函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，其函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图像，在的范围内，随们增大而减小，
∴，
∴，
故答案为：．
13．直线
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，由于该圆圆心到点P和到点Q的距离相等，则到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，据此可得经过定点的圆的圆心的轨迹是直线．
【详解】解：∵一个圆经过定点，
∴该圆圆心到点P和到点Q的距离相等，
∴该圆圆心在线段的垂直平分线上，
∴经过定点的圆的圆心的轨迹是直线，
故答案为：直线．
14．
【分析】根据较长的直角边长为，直角三角形的一个内角等于，可设所对的边长为x，然后根据勾股定理可得斜边的长
【详解】∵直角三角形的一个内角等于，其中一条较长的直角边长为，
∴较长的直角边对应的角度是，
∴设所对的边长为x，则斜边长为：，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴斜边长为：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键
15．
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求反比例函数值和求正比例函数值，利用待定系数法求出，进而求出，则，再把代入中求出y的值即可．
【详解】解：∵正比例函数图象经过点，
∴，
∴，
∴
∵正比例函数和反比例函数的比例系数和互为倒数，
∴，
∴
∵，
∴，
∴当时，，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形．过点作于点，与轴交于点，根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理可以得出，从而即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点作于点，与轴交于点，
，
点的坐标分别是，，
，，
，，
，
，
，，
点的坐标为：，
故答案为：．
17．
【分析】先求出点B的坐标，根据三角形的中位线得到CE=2即点C的纵坐标为2，再代入中求出点E的横坐标.
【详解】∵点的横坐标为，且点B在上，
∴将x=3代入，得y=4，
∴B(3，4),
∴BD=4，
∵CE是的中位线,
∴=2，
∴点C的纵坐标为2，
将y=2代入中，得x=6，
∴C(6，2).
故答案为：.
【点睛】此题考查反比例函数的性质，点在反比例图象上时，点的坐标符合函数关系式，代入解析式即可确定点的横坐标或是纵坐标，解题中三角形的中位线的利用是解题的关键.
18．或或
【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，三种情况画出对应的图形，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，再根据角度之间的关系进行求解即可．
【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段上，
∵点D在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段的延长线上，
∵点D在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当是钝角三角形时，点D在线段的延长线上，
∵点D在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或．
故答案为；或或．
19．
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
20．x1＝1，
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：由题意可知：
3x﹣1＝2x或3x﹣1＝﹣2x，
解得x1＝1，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1200元．
【分析】设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可．
【详解】解：设每件商品降价元，根据题意，得
解这个方程得，
由，得
的值
答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
22．（1）12，8；（2）；（3）10，5.
【分析】（1）根据函数图象可知，当时，取得最大值，且最大值为8，即可求得本问；
（2）根据图象可得，从服用药物起到药物浓度最高时，与之间的函数解析式为图象中的正比例函数那段，将图象上代入即可得；
（3）由题意，求出时，在正比例函数上的值，即可解；又因时，，所以药物有效时间总共为小时.
【详解】（1）由函数图象可知，当时，取得最大值，且最大值为8
则如果上午8时服用该药物，到时该药物的浓度达到最大值8微克/毫升
故答案为：12，8；
（2）根据图象可得，需要求的是时，正比例函数那段，
设，将代入得：
解得：
则所求的与之间的函数解析式为；
（3）把，代入题（2）所求的函数解析式得，解得
从图象中可得，时，
由题意得治疗有效
则如果上午8时服用该药物，到时该药物开始有效，有效时间一共是小时
故答案为：10，5.
【点睛】本题考查了一元一次函数的实际应用，看懂图象、理解题意是解题关键.
23．(1)正比例函数的解析式为；
(2)、两点之间的距离为；
(3)或
【分析】（1）设正比例函数解析式为，把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，从而得到点的坐标，然后代入正比例函数解析式求解即可；
（2）把点的坐标代入正比例函数解析式求出，根据两点间的距离公式即可得到结论；
（3）设，根据题意得到，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设正比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
解得，
的坐标为，
正比例函数图象经过点，
，
解得，
正比例函数的解析式为；
（2）解：正比例函数图象经过点，
，
点，
、两点之间的距离为；
（3）解：设，
，
，
，即，
解得或8，
或，
故答案为：或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求自变量函数的解析式，反比例函数的对称性，两点间的距离，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
24．见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明，推出，再利用“三线合一”的性质即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴．
25．(1)作图见详解，
(2)作图见详解，
【分析】（1）根据中垂线性质可知，作的垂直平分线，与交于点，则满足，在中，用勾股定理计算出，再用表示出，则，在中，利用勾股定理建立方程求；
（2）过作于点，作出的角平分线，由角平分线性质可得，由题意，则，在中，利用勾股定理建立方程求.
【详解】（1）作的垂直平分线，与交于点，与交于点，
是的垂直平分线，
，
，
，
由题意，，
，
．
（2）作的平分线，过作于点，如图所示，
平分，，，
在和中，
，
，
由题意，则，
在Rt△ABD中，，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理,垂直平分线的性质和角平分线的性质，熟练运用垂直平分线的性质和角平分线的性质，找出线段长度，利用勾股定理建立方程是解本题的关键．
26．(1)见解析
(2)DF的长为5．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；
（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=∠CED=90°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，
同理：CD2=20，
∴AD2+CD2=80+20=100，
∵AC=AE+CE=8+2=10，
∴AC2=100，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC=90°；
（2）解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC=10，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF=AB=5．
∴DF的长为5．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．
27．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据题意得到点的坐标为，根据待定系数法可得的值，即可；
（2）求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出；
（3）设点坐标为，求出点与点的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，
，
，，
所以点的坐标为，
点在反比例函数上，代入，得到，
故反比例函数解析式为；
（2）如图，
，
，
时，，
，
即，，，
，
；
（3）如图，
，
设所求点坐标为，
，，
，
，
，
当时，
，
即，，
解得，，
故；
当时，
，
即，，
解得，，
故，
综上所述；存在点，坐标为，．
【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合性问题，涉及到反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解决最后一问的关键．
