第四章 三角形
基础题过关检测【10个考点60题专练】
2023-2024学年北师大版数学七年级下册
【原卷版】
一．三角形（共1小题）
1．（2021秋 武陟县月考）图中以为边的三角形共有 个．
二．三角形的角平分线、中线和高（共2小题）
2．（2022秋 克什克腾旗期末）下列四个图形中，线段是的高的是
A． B．
C． D．
3．（2023春 织金县期末）是的中线，，，和的周长的差是 ．
三．三角形的面积（共4小题）
4．（2023秋 长岭县期末）如图，中，点、分别是、的中点且的面积为8，则阴影部分的面积是
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022秋 濮阳县校级期末）如图，在中，已知点、、分别为边、、的中点，且，则的面积为 平方厘米．
A．9 B．12 C．15 D．18
6．（2023秋 南昌期末）如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于
A． B． C． D．
7．（2023春 曲阳县期末）如图，在中，是边上的高．
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小．
四．三角形的稳定性（共4小题）
8．（2023秋 白云区期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
9．（2022秋 澧县期末）如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是
A．对顶角相等 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．两点之间线段最短
10．（2023春 清苑区期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
11．（2020秋 建安区期中）如图，木工师傅做好一门框后钉上木条，，使门框不变形，这种做法依据的数学原理是 ．
五．三角形三边关系（共10小题）
12．（2023秋 依安县期末）下列长度的各组线段不可以组成三角形的是
A．2，2，3 B．5，7，4 C．2，4，6 D．4，5，8
13．（2022秋 中江县期末）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是
A．，， B．，， C．，， D．，，
14．（2023秋 肥东县期末）用一根小木棒与两根长分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为
A． B． C． D．
15．（2023春 章丘区期末）小明家和小红家到学校的直线距离分别是和．那么小明和小红两家的直线距离不可能是
A． B． C． D．
16．（2022春 源城区期末）已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长的取值范围是 ．
17．（2019秋 柘城县期末）一个三角形有两边分别为和，则第三边长的取值范围 ．
18．（2021秋 藁城区期末）如果将长度为，和的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么的取值范围是 ．
19．（2021秋 灵宝市期末）若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长的取值范围是 ．
20．（2021秋 新罗区期末）已知的两条边长分别为2和5，则第三边的取值范围是 ．
21．（2023春 太康县期末）在中，，．
（1）若是整数，求的长；
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
六．三角形内角和定理（共6小题）
22．（2022春 桐柏县月考）三角形的内角和等于 ．
23．（2017秋 微山县校级期中）在中，若，则 ， ，这个三角形是 ．
24．（2022秋 同心县校级期末）在中，，，则的度数为 ．
25．（2023秋 凤山县期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；
操作二：折叠三角形纸片，得到折痕，使，，三点在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断和的大小关系是 ，直线，的位置关系是 ．
（2）深入探究
操作三：折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．
根据以上操作，如图2，判断和是否相等，并说明理由．
（3）结论应用
如图1，已知，，请直接写出的度数．
26．（2023秋 罗山县校级月考）在中，，是的平分线，求的度数．
27．（2023秋 舞阳县期中）如图，在中，，，是的高，是的角平分线，求的度数．
七．全等三角形的判定（共14小题）
28．（2022秋 渌口区期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为 时，在某一时刻，、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等．
A．1或 B．1或 C．2或 D．1
29．（2022秋 海南区期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是
A． B． C． D．
30．（2022秋 中江县期末）如图，，下列条件中，不能判定与全等的是
A．， B．， C．， D．，
31．（2023秋 武隆区期末）如图，，，欲证，则可增加的条件时
A． B． C． D．
32．（2022秋 社旗县期末）如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是
A． B． C． D．
33．（2022秋 淮南期末）如图，在和中，，，添加下列一个条件后，仍然不能证明，这个条件是
A． B． C． D．
34．（2022秋 建安区期末）如图，在中，，两点分别在边上（包括，和过点且垂直的射线上运动，连接交于点，在运动过程中始终保持，则此图形在这个过程中能产生与全等的三角形个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
35．（2023秋 润州区期中）如图，点在上，，要能证，只需再补充一个条件： ．
36．（2018秋 卢龙县期中）如图，，如果根据“”使，那么需添加条件 ．
37．（2019秋 常德期末）如图，，请你添加一个条件： ，能使（只添一个即可）．
38．（2018秋 湖里区校级期中）如图，已知，根据“”，还需要一个条件 ，可证明．
39．（2022秋 朔城区期末）如图，点，，，在一条直线上，，，当添加条件 时，可由“边角边”判定．
40．（2023秋 淮阳区期中）如图，已知正方形中，边长为，点在边上，．点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，设运动的时间为秒．
（1） ， ．（用含的代数式表示）
（2）若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值．
41．（2023秋 哈密市期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，且，．
（1）请你添加一个条件： ，使；（只添一个即可）
（2）根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由．
八．全等三角形的判定与性质（共16小题）
42．（2023秋 淅川县期中）如图，已知是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法中：①；②；③；④；⑤．正确的是
A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤
43．（2022春 铁岭期中）如图，已知中，，，是高和的交点，则线段的长度为 ．
44．（2019秋 定南县期末）如图所示，在中，，，，则的度数是 ．
45．（2020秋 通辽期末）如图，在的两边截取，，连接，交于点，则下列结论中：①，②，③点在的平分线上．正确的是 ；（填序号）
46．（2022秋 唐山期末）如图，点、、、在一条直线上（点，之间不能直接测量），点，在直线的异侧，测得，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
47．（2023秋 大理州期末）在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接．
（1）如图1，当点在边上时，
①若时，则 ；
②若时，则 ；
③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由．
（2）当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由．
48．（2023秋 泸县校级期末）已知：，，．延长交于点．求证：．
49．（2023秋 安阳县期中）如图，于点，且，在上取一点，使得，连接，．
（1）求证：．
（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
50．（2022秋 潢川县校级期末）如图，是的中线，分别过点，作的垂线，垂足为，，试判断与的关系，并说明理由．
51．（2023秋 魏都区期中）已知，如图，在中，点为线段上一点，，过点作且，求证：．
52．（2022秋 林州市期末）如图，点，在线段上，，于点，于点，连接，连接分别交，于点，，．
（1）由上述条件可得，下面是小唯同学的思考过程，请你在横线上填写内容，在括号内填写依据．
思考过程：
于点，于点，
和是直角三角形．
．
，即 （依据：等量代换）．
在和中
（依据： ．
（依据： ；
（2）若，判断的形状．
53．（2023秋 舞阳县期中）如图，已知，，，在同一条直线上，，，．与交于点，
（1）求证；
（2）若，，求的度数．
54．（2023秋 舞阳县期末）如图，在锐角中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．
（1）试说明：．
（2）试说明：．
55．（2022秋 荣昌区期末）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
56．（2023 雁塔区校级二模）如图，已知，点、点在线段上，与交于点，且，．求证：．
57．（2023秋 溧阳市期末）如图，与中，与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）当，求的度数．
九．全等三角形的应用（共2小题）
58．（2022秋 阳信县期末）如图，小健家的仿古家具有一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．将该三角形记为，若通过电话给玻璃店老板提供相关数据，则提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是
A．，， B．，， C．，， D．，，
59．（2023 铜仁市四模）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
一十．作图—基本作图（共1小题）
60．（2020秋 偃师市月考）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若，则 ．
第四章 三角形
基础题过关检测【10个考点60题专练】
2023-2024学年北师大版数学七年级下册
【解析版】
一．三角形（共1小题）
1．（2021秋 武陟县月考）图中以为边的三角形共有 3 个．
【答案】3
【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．
【解答】解：根据图示知，图中以为边的三角形有：，，．共有3个；
故答案为3．
二．三角形的角平分线、中线和高（共2小题）
2．（2022秋 克什克腾旗期末）下列四个图形中，线段是的高的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段是的高的图是选项．
故选：．
3．（2023春 织金县期末）是的中线，，，和的周长的差是 2 ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得，再求出和的周长的差．
【解答】解：是的中线，
，
和的周长的差，
，，
和的周长的差．
故答案为：2．
三．三角形的面积（共4小题）
4．（2023秋 长岭县期末）如图，中，点、分别是、的中点且的面积为8，则阴影部分的面积是
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：是阴影部分的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，依此即可求解．
【解答】解：、分别是，的中点，
，，
．
故选：．
5．（2022秋 濮阳县校级期末）如图，在中，已知点、、分别为边、、的中点，且，则的面积为 平方厘米．
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】
【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则，于是得到，再求出，利用点为的中点得到，然后利用求解．
【解答】解：点为的中点，
，
，
点为的中点，
，
点为的中点，
，
．
故选：．
6．（2023秋 南昌期末）如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可得出结果．
【解答】解：是的中点，，
，，
，
，
是的中点，
，
故选：．
7．（2023春 曲阳县期末）如图，在中，是边上的高．
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）三角形的面积知道了，高知道了，根据三角形的面积公式，求出底边长，再根据中线性质求出的长度．
（2）根据三角形内角和定理求出，再由角平分线性质求出的度数，三角形外角与内角的关系可求出的度数，在直角三角形中进而求出的大小．
【解答】解：（1），，
，
是边上的中线，
；
（2），，
，
是的平分线，
，
是的一个外角，
，
在直角三角形中．
四．三角形的稳定性（共4小题）
8．（2023秋 白云区期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【答案】
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：．
9．（2022秋 澧县期末）如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是
A．对顶角相等 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．两点之间线段最短
【答案】
【分析】利用三角形的稳定性直接回答即可．
【解答】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是三角形具有稳定性，
故选：．
10．（2023春 清苑区期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：．
11．（2020秋 建安区期中）如图，木工师傅做好一门框后钉上木条，，使门框不变形，这种做法依据的数学原理是 三角形的稳定性 ．
【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，这种做法根据的是三角形的稳定性．
【解答】解：木工师傅做好一门框后钉上木条，，使门框不变形，这种做法依据的数学原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
五．三角形三边关系（共10小题）
12．（2023秋 依安县期末）下列长度的各组线段不可以组成三角形的是
A．2，2，3 B．5，7，4 C．2，4，6 D．4，5，8
【答案】
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．
【解答】解：、，能构成三角形，不符合题意；
、，能构成三角形，不符合题意；
、，不能构成三角形，符合题意；
、，能构成三角形，不符合题意．
故选：．
13．（2022秋 中江县期末）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，
、，不能组成三角形，不符合题意；
、，不能够组成三角形，不符合题意；
、，能组成三角形，符合题意；
、，不能组成三角形，不符合题意．
故选：．
14．（2023秋 肥东县期末）用一根小木棒与两根长分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三根木条的取值范围．
【解答】解：设第三根木棒长为 ，由三角形三边关系定理得，
所以的取值范围是，
观察选项，只有选项符合题意．
故选：．
15．（2023春 章丘区期末）小明家和小红家到学校的直线距离分别是和．那么小明和小红两家的直线距离不可能是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系分析即可．
【解答】解：以小明家、小红家以及学校这三点来构造三角形，设小明家与小红家的直线距离为，根据题意得：
，
解得：，
当小明家、小红家以及学校这三点共线时，
或者，
综上的取值范围为：，
据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是．
故选：．
16．（2022春 源城区期末）已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长的取值范围是 ．
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【解答】解：此三角形的两边长分别为3和6，
第三边长的取值范围是：第三边．
即：，
故答案为：．
17．（2019秋 柘城县期末）一个三角形有两边分别为和，则第三边长的取值范围 ．
【分析】由三角形的两边的长分别为和，第三边的长为，根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案．
【解答】解：三角形的两边的长分别为和，第三边的长为，
根据三角形的三边关系，得：，即：．
故答案为：．
18．（2021秋 藁城区期末）如果将长度为，和的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么的取值范围是 ．
【分析】先判断三边的大小，再根据三角形的三边关系：较小两边之和大于第三边，列不等式求解．
【解答】解：因为，
所以，
所以由三角形三边关系可得，
解得：．
则不等式的解集是：．
故答案为：．
19．（2021秋 灵宝市期末）若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【解答】解：根据三角形三边关系，
三角形的第三边满足：，即，
故答案为：．
20．（2021秋 新罗区期末）已知的两条边长分别为2和5，则第三边的取值范围是 ．
【分析】根据三角形三边关系定理可得，进而求解即可．
【解答】解：由题意，得
，
即．
故答案为：．
21．（2023春 太康县期末）在中，，．
（1）若是整数，求的长；
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：，
，
是整数，
；
（2）是的中线，
的周长为10，
，
，
，
的周长．
六．三角形内角和定理（共6小题）
22．（2022春 桐柏县月考）三角形的内角和等于 ．
【答案】．
【分析】直接根据三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：三角形的内角和等于．
故答案为：．
23．（2017秋 微山县校级期中）在中，若，则 ， ，这个三角形是 ．
【分析】根据已知和三角形内角和定理求出，求出，即可得出答案．
【解答】解：在中，若，，
，
，
，
故答案为：，，直角三角形．
24．（2022秋 同心县校级期末）在中，，，则的度数为 ．
【答案】．
【分析】根据三角形的内角和定理得，从而可求的度数．
【解答】解：，，
．
故答案为：．
25．（2023秋 凤山县期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；
操作二：折叠三角形纸片，得到折痕，使，，三点在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断和的大小关系是 ，直线，的位置关系是 ．
（2）深入探究
操作三：折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．
根据以上操作，如图2，判断和是否相等，并说明理由．
（3）结论应用
如图1，已知，，请直接写出的度数．
【答案】（1），；
（2），见解答过程；
（3）．
【分析】（1）根据折叠的性质进行求解即可；
（2）由折叠的性质可得，则有，从而可求解；
（3）由三角形的内角和可求，再由折叠可求得，利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：（1）和的大小关系是：，直线，的位置关系是：．
故答案为：，；
（2），理由如下：
由（1）得：，，，
，
，
；
（3），，
，
，
，
．
26．（2023秋 罗山县校级月考）在中，，是的平分线，求的度数．
【答案】．
【分析】可设出的度数为，根据三角形外角的性质可表示出，再利用等腰三角形的性质，在中由三角形内角和定理得出方程，求解即可．
【解答】解：设，
，
，
，
，
在中，由三角形的内角和定理可得：，
解得，
即为．
27．（2023秋 舞阳县期中）如图，在中，，，是的高，是的角平分线，求的度数．
【答案】．
【分析】在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由是的高，可得出，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再将其代入中，即可求出的度数．
【解答】解：在中，，，
，
平分，
．
是的高，
．
在中，，，
，
．
七．全等三角形的判定（共14小题）
28．（2022秋 渌口区期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为 时，在某一时刻，、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等．
A．1或 B．1或 C．2或 D．1
【答案】
【分析】设点的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设点的运动速度是，
，
、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
则，
解得：；
②，，
则，，
解得：，，
故选：．
29．（2022秋 海南区期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】要判定，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定，而添加后则不能．
【解答】解：、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
、添加时，不能判定，故选项符合题意；
、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
故选：．
30．（2022秋 中江县期末）如图，，下列条件中，不能判定与全等的是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
．，，，符合直角三角形全等的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故选：．
31．（2023秋 武隆区期末）如图，，，欲证，则可增加的条件时
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
．，
，
即，
，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项符合题意；
故选：．
32．（2022秋 社旗县期末）如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知可以得到，，然后再分别判断各个选项中的条件能否使得即可．
【解答】解：，，
若添加，则，故选项不符合题意；
若添加，则，故选项不符合题意；
若添加，则，故选项不符合题意；
若添加条件，无法判定，故选项符合题意；
故选：．
33．（2022秋 淮南期末）如图，在和中，，，添加下列一个条件后，仍然不能证明，这个条件是
A． B． C． D．
【分析】根据全等三角形的判定，利用、、即可得答案．
【解答】解：，，
添加，利用可得；
添加，利用可得；
添加，利用可得；
故选：．
34．（2022秋 建安区期末）如图，在中，，两点分别在边上（包括，和过点且垂直的射线上运动，连接交于点，在运动过程中始终保持，则此图形在这个过程中能产生与全等的三角形个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】由所给的条件，结合图形进行分析即可得出结论．
【解答】解：在运动过程中始终保持，，
在、运动的过程中，
能与全等的三角形有：
当时，有，
当时，有，共2个．
故选：．
35．（2023秋 润州区期中）如图，点在上，，要能证，只需再补充一个条件： ．
【答案】．
【分析】根据全等三角形的判定定理加条件．
【解答】解：在和中
故答案为：．
36．（2018秋 卢龙县期中）如图，，如果根据“”使，那么需添加条件 ．
【分析】现有一边和一公共角，再找到夹这角的另一边即可．
【解答】解：，，
若以“”得出，
则．
故答案为：．
37．（2019秋 常德期末）如图，，请你添加一个条件： ，能使（只添一个即可）．
【分析】本题要判定，已知是公共边，具备了一组边、一对角对应相等，故添加后可以根据判定．
【解答】解：（已知），（公共边），，
；
故答案为：．本题答案不唯一．
38．（2018秋 湖里区校级期中）如图，已知，根据“”，还需要一个条件 ，可证明．
【分析】要使，已知，，具备了两组边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【解答】解：需添加的条件是；
证明：，，，
．
故填．
39．（2022秋 朔城区期末）如图，点，，，在一条直线上，，，当添加条件 （答案不唯一） 时，可由“边角边”判定．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】用“边角边”证明两个三角形全等，已知条件给出两组边相等，因此只需要添加一组对应角相等即可．
【解答】解：，
，
，
，
用“边角边”证明，
需要添加条件是：．
故答案为：（答案不唯一）．
40．（2023秋 淮阳区期中）如图，已知正方形中，边长为，点在边上，．点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，设运动的时间为秒．
（1） ， ．（用含的代数式表示）
（2）若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）根据正方形边长为和点在线段上的速度为秒即可求出的长；
（2）分和两种情况进行解答；
【解答】解：（1）；
；
故答案为：；；
（2）①若，
则，即，，
得：；
②若，
则，，则，
得：，
解得：．
41．（2023秋 哈密市期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，且，．
（1）请你添加一个条件： （答案不唯一） ，使；（只添一个即可）
（2）根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由．
【答案】（1）（答案不唯一）；
（2）理由见解析．
【分析】（1）添加，可根据证明；
（2）证明过程见（1）．
【解答】解：（1）添加，
，
，
在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）理由见（1）．
八．全等三角形的判定与性质（共16小题）
42．（2023秋 淅川县期中）如图，已知是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法中：①；②；③；④；⑤．正确的是
A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤
【答案】
【分析】根据三角形中线的定义可得，判断出①正确，②错误；然后根据平行线的性质得出，利用“”证明，根据全等三角形对应边相等可得，则③正确，④错误；根据三角形外角相似判定⑤正确．
【解答】解：是的中线，
，故①正确；
为的中线，
，和不一定相等，故②错误；
，
，
在和中，
，
，故③正确；
，
故④错误；
，，
，
故⑤正确；
故选：．
43．（2022春 铁岭期中）如图，已知中，，，是高和的交点，则线段的长度为 4 ．
【分析】由，是高，得出后，证后求解．
【解答】解：，，
．
（同角的余角相等），，，
．
在和中，
，
，
．
故答案为：4．
44．（2019秋 定南县期末）如图所示，在中，，，，则的度数是 ．
【分析】由题中条件可得，即，可由与、的差表示，进而求解即可．
【解答】解：如图，在与中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
45．（2020秋 通辽期末）如图，在的两边截取，，连接，交于点，则下列结论中：①，②，③点在的平分线上．正确的是 ①②③ ；（填序号）
【分析】根据题中条件，由两边夹一角可得，得出对应角相等，又由已知得出，可得，同理连接，可证，进而可得出结论．
【解答】解：，，为公共角，
，
，
又，
，
，即，
，
，
连接，
即可得，得出，
点在的平分线上．
故题中结论都正确．
故答案为：①②③．
46．（2022秋 唐山期末）如图，点、、、在一条直线上（点，之间不能直接测量），点，在直线的异侧，测得，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【分析】（1）先证明，再根据即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，，
．
47．（2023秋 大理州期末）在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接．
（1）如图1，当点在边上时，
①若时，则 140 ；
②若时，则 ；
③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由．
（2）当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①140；
②100；
③，理由见解析；
（2），理由见解析．
【分析】（1）①根据证明，根据全等三角形的性质可得，即可求出的度数；
②根据证明，根据全等三角形的性质可得，即可求出的度数；
③根据证明，根据全等三角形的性质可得；
（2）根据证明，根据全等三角形的性质可得，进一步可得．
【解答】解：（1）①当时，
，
，
即，
在和中，，
，
，
；
，
故答案为：140；
②当时，
，
，
即，
在和中，，
，
，
；
，
故答案为：100；
③．理由如下：
，
，
即，
在和中，，
，
，
；
（2）当点在的延长线上，，如图所示：
，
，
在和中，
，
，
，，
．
48．（2023秋 泸县校级期末）已知：，，．延长交于点．求证：．
【答案】见解析．
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：，
，
在和中：
，
，
，
，
，
．
49．（2023秋 安阳县期中）如图，于点，且，在上取一点，使得，连接，．
（1）求证：．
（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解答；
（2），理由见解答．
【分析】（1）由得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得．；
（2）延长交于点，因为，所以，则．
【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：，
理由：延长交于点，
，
，
．
50．（2022秋 潢川县校级期末）如图，是的中线，分别过点，作的垂线，垂足为，，试判断与的关系，并说明理由．
【答案】．，理由见解答．
【分析】证明，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．
【解答】解：．，理由如下：
是的中线，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
，
．
51．（2023秋 魏都区期中）已知，如图，在中，点为线段上一点，，过点作且，求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】证出，证明，由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：，
，
在和中，
，
，
．
52．（2022秋 林州市期末）如图，点，在线段上，，于点，于点，连接，连接分别交，于点，，．
（1）由上述条件可得，下面是小唯同学的思考过程，请你在横线上填写内容，在括号内填写依据．
思考过程：
于点，于点，
和是直角三角形．
．
，即 （依据：等量代换）．
在和中
（依据： ．
（依据： ；
（2）若，判断的形状．
【答案】（1）；；；全等三角形对应角相等；
（2）等边三角形．
【分析】（1）根据证明即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，再根据对顶角相等以及三角形内角和求出其余内角的度数，从而判定的形状．
【解答】解：（1）于点，于点，
和是直角三角形．
．
，即（依据：等量代换）．
在和中，
，
（依据：．
（依据：全等三角形对应角相等），
故答案为：；；；全等三角形对应角相等；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
53．（2023秋 舞阳县期中）如图，已知，，，在同一条直线上，，，．与交于点，
（1）求证；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）由，可得，证明即可；
（2）如图，由（1）知，，则，，，由三角形内角和定理可得，进而可求的度数．
【解答】（1）证明：，
，即，
，，，
；
（2）解：如图，
由（1）知，，
，
，
，
，，
，
．
54．（2023秋 舞阳县期末）如图，在锐角中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．
（1）试说明：．
（2）试说明：．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程．
【分析】（1）根据证明；
（2）根据证明，得到，，由（1）得，再利用直角三角形的两锐角互余得出．
【解答】解：（1），
，
在与中，
，
，
（2）为中点，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
．
55．（2022秋 荣昌区期末）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】见解析．
【分析】（1）利用证明，得；
（2）利用证明，得，从而解决问题．
【解答】证明：（1）是的中线，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）在和中，
，
，
，
．
，
，
．
56．（2023 雁塔区校级二模）如图，已知，点、点在线段上，与交于点，且，．求证：．
【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：，
，即，
在和中，
，
，
．
57．（2023秋 溧阳市期末）如图，与中，与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）当，求的度数．
【分析】（1）根据即可推出和全等；
（2）根据三角形全等得出，推出，根据三角形的外角性质得出，代入求出即可．
【解答】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
九．全等三角形的应用（共2小题）
58．（2022秋 阳信县期末）如图，小健家的仿古家具有一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．将该三角形记为，若通过电话给玻璃店老板提供相关数据，则提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
．，，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
．根据，，，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：．
59．（2023 铜仁市四模）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【分析】（1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】（1）证明：由题意得：，，，，
，
，，
在和中，
；
（2）解：由题意得：，，
，
，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
一十．作图—基本作图（共1小题）
60．（2020秋 偃师市月考）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若，则 ．
【答案】．
【分析】利用基本作图得到平分，然后根据角平分线的定义求解．
【解答】解：由作法得平分，
所以．
故答案为．
