第9章 分式
9.2 分式的运算
第2课时 分式的加减
基础过关全练
知识点4 分式的通分
19.(2023湖南常德期末)分式的分母经过通分后变成2(a-b)2(a+b),那么分子应变为( )
A.6a(a-b)2(a+b) B.2(a-b)
C.6a(a-b) D.6a(a+b)
20.,,的最简公分母是 .
21.通分:
(1),; (2),.
22.通分:
(1),,;(2),,.
知识点5 分式的加减
23.(2023河南中考)化简+的结果是( )
A.0 B.1 C.a D.a-2
24.(2023安徽阜阳临泉期末)化简-的结果是( )
A. B.a-3 C.a+3 D.
25.【跨学科·物理】(2022浙江杭州中考)照相机成像应用了一个重要原理,用公式=+(v≠f)表示,其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f,v,则u=( )
A. B. C. D.
26.【作差法】比较两数的大小时,通常采用作差法,即A-B>0时,A>B.已知a,b,c,d都是正实数,且<,若B=,C=,则B与C的大小关系是( )
A.B>C B.B≥C
C.B
28.(2023河南郑州中原三模)计算:-= .
29.【新独家原创】若x+y+z=0,则x+y+z的值为 .
30.化简:(1)-;
(2)+-;
(3)+;
(4)++.
31.【新考向·开放型试型】(2023河南南阳镇平模拟)计算-x+1时,小明、小亮两位同学的解法如下:
小 明:-x+1 =-① =-② …… 小 亮:-x+1 =-+③ =-+④ ……
(1)小明、小亮两位同学的解题过程中有无错误 若无误,请直接跳到下一问;若有误,则找出先出错的式子: (填序号).
(2)请任选一种自己喜欢的解法,完成解答.
32.(2023北京延庆期末)老师留的作业中有这样一道题:计算+,小明解答的过程如下:
+
=+第一步
=x-3+(x+9)第二步
=2x+6.第三步
老师发现小明的解答过程有错误.
(1)请你帮助小明分析错误原因.小明的解答从第 步开始出现错误,错误的原因是 ;正确的解题思路是
.
(2)请写出正确的解答过程.
33.(2021四川乐山中考)已知-=,求A、B的值.
34.(2023安徽合肥庐江月考)观察下列等式:
第1个等式:--=-;
第2个等式:--=-;
第3个等式:--=-;
第4个等式:--=-;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式: .
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明.
知识点6 分式的混合运算
35.(2023四川成都期末)化简÷的结果为( )
A. B. C. D.
36.【一题多解】(2023北京海淀二模)如果a-b=2,那么代数式·的值是( )
A. B.1 C. D.2
37.(2023安徽滁州明光一模)计算:÷= .
38.(2023安徽滁州全椒二模)先化简,再求值:÷,其中a=-2.
39.(2023安徽合肥瑶海期末)先化简,再求值:÷,请从1,-1,2,-2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值.
能力提升全练
40.(2023安徽合肥瑶海期末,8,★★☆)若x+y=2,xy=-2,则+的值是( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
41.(2023安徽合肥包河三模,6,★★☆)化简÷+的最后结果是( )
A. B.
C.1 D.
42.(2022山东威海中考,7,★★☆)试卷上一个正确的式子÷★=被小颖同学不小心滴上墨汁,被墨汁遮住部分的代数式为( )
A. B. C. D.
43.(2023湖北荆州中考,17,★★☆)先化简,再求值:÷,其中x=,y=(-2 023)0.
44.(2023山东枣庄中考,17,★★☆)先化简,再求值:÷,其中a的值从不等式组
-1
(1)甲同学解法的依据是 ,乙同学解法的依据是 .(填序号)
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③乘法分配律;④乘法交换律.
(2)请选择一种解法,写出完整的解答过程.
素养探究全练
46.【运算能力】【设参法】(2023江苏徐州期中)【阅读】在处理分式问题时,我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和(差)的形式,通过对简单式子的分析来解决问题,我们称之为分离整式法.
例:将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
解:设x+2=t,则x=t-2,
则原式===t-7+,
所以=x-5+.
这样,分式就拆分成一个整式(x-5)与一个分式的和的形式.
【应用】(1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式,则结果为 ;
(2)将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式,则结果为 .
【拓展】已知分式的值为整数,求正整数x的值.
第9章 分式
第2课时 分式的加减
答案全解全析
基础过关全练
19.C 分式的分母a2-b2=(a-b)(a+b),经过通分后变成2(a-b)2(a+b),所以分母乘了2(a-b),根据分式的基本性质,将分子3a乘2(a-b),所以分子应变为6a(a-b).
20. 答案 12(x-y)x2y
解析 确定最简公分母的方法:(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式;(3)同底数幂取次数最高的,得到的因式的积就是最简公分母.由此可知题中三个分式的最简公分母是12(x-y)x2y.
21. 解析 (1)最简公分母为12a2b2c,
所以=,=.
(2)最简公分母是x(x-1)2,
所以==,
==.
22. 解析 (1),,的最简公分母是2ab,
故通分后分别是,,.
(2)三个分式的最简公分母是3(x-y)2,故通分后分别是,-,.
23.B 原式==1.
24.A 原式=-===.
25.C 因为=+,所以=-,所以=,所以u= .
26.A 因为B-C=-=-=,a,b,c,d都是正实数,且<,所以ad
27. 答案 2
解析 原式===2.
28. 答案
解析 原式=-==.
29. 答案 -3
解析 因为x+y+z=0,所以x+y=-z,x+z=-y,y+z=-x,所以原式=+++++=++=++=-1-1-1=-3.
30. 解析 (1)原式===1.
(2)原式=--
===-.
(3)原式=+
=+==1.
(4)原式=++
==
=0.
31. 解析 (1)①.
(2)答案不唯一,选第一种解法.
-x+1=-=-=.
32. 解析 (1)小明的解答从第二步开始出现错误,错误的原因是去分母;正确的解题思路是利用同分母分数相加减法则,分母不变,分子相加减.
故答案为二;去分母;利用同分母分数相加减法则,分母不变,分子相加减.
(2)+=+
==
==.
33. 解析 因为-=
==,
所以解得
34. 解析 (1)--=-.
(2)猜想第n个等式为--=-.
证明:等式左边=--
==
==-=右边,
故等式成立.
35.D 原式=÷=·=.
36.B 方法一:因为a-b=2,所以·=·=·===1.
方法二:当a=2,b=0时,a+b=2≠0,a-b=2≠0,则原式=1×(1+0)=1.
37. 答案 x
解析 原式=÷=÷
=·=x.
38. 解析 原式=÷
=·=a-1,
当a=-2时,原式=-2-1=-3.
39. 解析 原式=·
=·=a-1,
因为a+2≠0,a2-1≠0,所以a≠-2和±1,所以a=2,当a=2时,原式=2-1=1.
能力提升全练
40.D 因为x+y=2,xy=-2,所以原式====-4.
41.C 原式=÷+
=·(x-1)2+=+=
=1.
42.A 被墨汁遮住部分的代数式为÷=·=·=.
43. 解析 原式=·
=·
=·=,
因为x==2,y=(-2 023)0=1,
所以原式==2.
44. 解析 原式=·
=a·-·
=-1=,
不等式组-1
所以a=2,当a=2时,原式==.
45. 解析 (1)甲同学的解法是先把括号内两个分式通分后相加,再进行乘法运算,通分的依据是分式的基本性质.
乙同学的解法是根据乘法分配律,去掉括号后,先算分式的乘法,再算加法.
故答案为②;③.
(2)答案不唯一,选择乙同学的解法.
·=·+·
=·+·
=x-1+x+1=2x.
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46. 解析 【应用】(1)由题意得==2+.故答案为2+.
(2)设x-1=t,则x=t+1,
所以=
===t+,
所以=x-1+.
故答案为x-1+.
【拓展】设x-3=t,则x=t+3,
所以=
===t+5+,
所以=x-3+5+=x+2+,
因为的值为整数,
所以x-3=±1或±13,
所以x=2或4或16或-10,
又因为x是正整数,所以x=2或4或16.
