2023-2024学年江苏省南通市如皋市重点中学八年级（上）第二次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是，用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
2.下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是( )
A. B. C. D.
5.如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是( )
A. B.
C. D.
6.式子与的公因式是( )
A. B. C. D.
7.如图，是的平分线，于，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
9.如图，点是三个内角的角平分线的交点，连接、、，，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.已知实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.如果式子有意义，则的取值范围为______ ．
12.点关于轴的对称点的坐标为______ ．
13.分解因式：______．
14.如图，在中，，交于点，，则 ______ ．
15.若实数满足，则值为______ ．
16.如图，在中，，的平分线相交于点，，边的垂直平分线相交于点若，则的度数为______ ．
17.关于的分式方程的解满足不等式，则的取值范围是______ ．
18.如图，等边的边长为，于点，为射线上一点，以为边在左侧作等边，则的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分计算：
； ．
20.本小题分
先化简，再求值：，然后从中选出一个合适的整数作为的值代入求值．
求证：当是整数时，两个连续奇数的平方差是的倍数．
21.本小题分
已知；如图，在与中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．
求证：；
判断与的位置关系并证明．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
画出关于轴对称的图形并写出顶点，，的坐标；
求的面积；
已知为轴上一点，若与的面积相等，请直接写出点的坐标．
23.本小题分
老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：．
求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；
原代数式的值能等于吗？请说明理由．
24.本小题分
今年杭州亚运会期间，某商店用元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了个．
求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？
若两次购进的吉祥物售价均为元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？
本小题分
已知等腰和等腰中，，．
如图，若，，在等腰可绕点旋转过程中，线段的最大值为______ ；
若，当、、三点共线时，则的度数为______ ；
如图，若，且与重合，当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由；
在的条件下，是延长线上一点，且，连接，如图，试探究，，之间的关系，并证明．
26.本小题分
了解概念
定义：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则称这个三角形为“唯美三角形”，这条中线叫这条边的“唯美线”．
理解运用
如图，为“唯美三角形”，为边的“唯美线”，试判断的形状，并说明理由；
拓展提升
在中，，为外一点，连接，，若和均为“唯美三角形”，且和分别为这两个三角形边的“唯美线”．
如图，若点、在直线异侧，连接，求的度数；
若点为平面内一点，满足，，请直接写出点到的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，的绝对值是由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数，据此解答即可．
【解答】
解：用科学记数法表示是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，因此与不是同类二次根式，所以选项A不符合题意；
与不是同类二次根式，所以选项B不符合题意；
，与是同类二次根式，所以选项C符合题意；
，与不是同类二次根式，所以选项D不符合题意；
故选：．
将二次根式化成最简二次根式后，再根据同类二次根式的定义进行判断即可．
本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是正确判断的前提，将二次根式化成最简二次根式是正确判断的关键．
3.【答案】
【解析】解：等式不成立，不合题意；
B.等式不成立，不合题意；
C.由，左边分子分母同时除以，可得，等式成立，符合题意；
D.等式不成立，不合题意；
故选：．
依据分式的基本性质进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
4.【答案】
【解析】解：由图形可知三角形的两角和夹边，
两个三角形全等的依据是．
故选：．
由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据“”即可画出一个与原来完全样的三角形．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
5.【答案】
【解析】解：绕直角顶点顺时针旋转，得到，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
由旋转的性质得．
故选：．
根据旋转的性质可得，，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据旋转的性质可得．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
与的公因式是．
故选：．
把式子与分别进行因式分解后，根据公因式的确定方法，即可得到答案．
本题考查了公因式和因式分解，掌握因式分解是确定公因式的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
是的平分线，，
，
，，，
，
解得：．
故选：．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后根据的面积列出方程求解即可得到．
此题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，，过作于，
点关于的对称点恰好落在上，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
四边形中，，
，
．
故选：．
连接，，过作于，依据，，即可得出，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到．
本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
9.【答案】
【解析】解：如图，在上截取，连接，
，
点是三个内角的角平分线的交点，
，，，
，，
≌
，
，且，
，
，
，
，且，
，
故选：．
由角平分线的性质可得，由“”可证≌，可得，，可得，由等腰三角形的性质和外角性质可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
当时，取等号，
，
当时，取等号，
，
，
，
，
即的最小值为．
故选：．
先化简，再判断出，即可求出答案．
此题主要考查了配方法，完全平方公式，整式的乘法，化简是解本题的关键．
11.【答案】且
【解析】解：根据题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式求解即可．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
12.【答案】
【解析】解：点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由垂直的定义得到，由含角的直角三角形的性质，得到，求出，得到，因此，推出，于是，即可求出的长，
本题考查含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出．
15.【答案】
【解析】解：实数满足，
，
解得，
，
．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：平分，平分，
，
，
，
，
，
，边的垂直平分线相交于点，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
由角平分线的定义可求，又由线段垂直平分线的性质可得，所以，即可求．
本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
17.【答案】且
【解析】解：解关于的分式方程，得，
解不等式，得．
关于的分式方程的解满足不等式，
，
，
的取值范围是且．
首先要解关于的分式方程，求出方程的解，根据解满足不等式，可以得到一个关于的不等式，就可以求出的范围．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程已经解不等式的方法是本题的一个难点．
18.【答案】
【解析】解：如图，，的是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，，
定值，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
的最小值．
故答案为．
首先证明≌，推出，由，，推出，，推出定值，根据垂线段最短可知，当时，的值最小．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．垂线段最短等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质判断出定值，属于中考常考题型．
19.【答案】解：，
，
，
；
，
，
，
；
【解析】根据二次根式的混合运算法则计算即可；
根据整式的混合运算法则计算即可．
本题考查二次根式的混合计算和整式的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题关键．
20.【答案】解：，
，即，
，即、，
，且为整数，
，
原式；
证明：，
当是整数时，两个连续奇数的平方差是的倍数．
【解析】先化简，分母不能为，排除不符合的的值，且，为整数，可得原式的值；
用因式分解可证．
本题考查了因式分解，关键是掌握并运用因式分解．
21.【答案】证明：，，
即，
在和中，
，
≌，
；
解：，证明如下：
由得：≌，
，
，
，
，
即，
．
【解析】由证得≌，即可得出结论；
由得≌，则，再由，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：如图，即为所求；
由图形可得：，，．
的面积；
或．
【解析】【分析】
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，，顺次连接可得到并写出顶点，，的坐标；
把三角形的面积看成长方形形的面积减去周围三个三角形面积即可；
设，构建方程求解即可．
【解答】
见答案；
见答案；
解：设，
则有，
解得，或，
所以或．
23.【答案】解：由题意得：
，
，
；
不能，
假设能，则，
，
，
，
当时，分式，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于．
【解析】根据加减和乘除的关系可得，然后先算乘法，后算加法即可；
假设能等于可得方程，解出的值，发现分式，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于．
此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握计算法则，注意除法中除数不能为零．
24.【答案】解：设第一次每个的进价为元，则第二次进价为 ，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的每个吉祥物的进价为元；
元，
答：该商店两次购进吉祥物的总利润为元．
【解析】设第一次每个的进价为元，则第二次进价为，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
根据总利润总售价总成本，列出算式，即可求解．
本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，，
，
，
，
线段的最大值为，
故答案为：．
如图，、、三点共线，设交于点，
，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
的度数不变，
理由：如图，，，，且与重合，
，
，，
，
，
的度数不变．
，
证明：如图，在线段上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
点、点都在的垂直平分线上，
垂直平分，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
连接，由，，，得，则线段的最大值为，于是得到问题的答案；
设交于点，由，，，得，，可证明≌，得，所以，则，即可求得，于是得到问题的答案；
由，得，，则，所以的度数不变．
在线段上截取，连接，可证明是等边三角形，得，，由，得，则，再证明垂直平分，则，所以是等边三角形，则，，可推导出，即可证明≌，得，所以．
此题重点考查等腰三角形的性质、旋转的性质、三角形的三边关系、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
26.【答案】解：结论：是直角三角形．
理由：为“唯美三角形”，为边的“唯美线”，
，
，，
，
，
，
，
是直角三角形；
过点作交的延长线于点，于点．
和均为“唯美三角形”，且和分别为这两个三角形边的“唯美线”，
，，都是直角三角形，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
≌，
，
，，
平分，
；
当点在的下方时，如图中，
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，
≌，
，
，
，
，即点到的距离为．
当点在的上方时，如图中，过点作交的延长线于点，于点．
同法可证≌，四边形是正方形，
，，
，
，即点到的距离为．
综上所述，点到的距离为或．
【解析】结论：是直角三角形．利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可；
过点作交的延长线于点，于点证明≌，推出，可得平分，即可解决问题；
分两种情形：当点在的下方时，如图中，当点在的上方时，如图中，过点作交的延长线于点，于点．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
第1页，共1页
