鄂尔多斯市西四旗2023-2024学年第一学期期末考试卷
高二 数学
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据得到选项.
【详解】设直线的倾斜角为，直线的斜率，所以.
故选：B.
【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于基础题.
2．已知向量(，6，2)，(﹣1，3，1)，满足∥，则实数的值是（ ）
A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6
【答案】C
【解析】根据向量平行的性质求解
【详解】因为∥，所以，解得。故选：C.
【点睛】此题考查向量平行的性质，属于基础题
3．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m＝（ ）
A．50 B．60 C．64 D．75
【答案】B
【分析】根据分层抽样的概念及抽取方法，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，高二年级有学生1000人，三个年级共有学生3000人，
因为用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演，
其中高二年级被抽取的人数为20，可得，解得．
故选：B．
4．直线平分圆C：，则（ ）
A． B．1 C．-1 D．-3
【答案】D
【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.
【详解】变形为，故圆心为，
由题意得圆心在上，故，解得.
故选：D
5．已知数列是等差数列，且，，则数列的前9项和（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】由已知条件列方程组，再结合等差数列求和公式运算即可得解.
【详解】解：由条件知，解得所以.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列基本量的求法，重点考查了等差数列求和公式，属基础题.
6．某中学团委为庆祝“五四”青年节，举行了以“弘‘五四’精神，扬青春风采”为主题的文艺汇演，初中部推荐了2位主持人，高中部推荐了4位主持人，现从这6位主持人中随机选2位主持文艺汇演，则选中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可列举出从6位主持人中随机选2位主持文艺汇演的所有组合情况，再挑选出符合题意的情况，利用概率计算公式即可得其概率为.
【详解】设初中部的2位主持人分别为，高中部的4位主持人分别为1，2，3，4，
则从这6位主持人中随机选2位，共有15种不同的选法，
分别是，，，，，，，，，，，，，，，
选中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人有8种不同的选法，
分别是，，
故所求概率为，
故选：D．
7．已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用余弦定理结合椭圆的定义求离心率即可.
【详解】在中，，
设，由题意知,，
由余弦定理得,，
由椭圆定义知，则离心率.
故选:C.
8．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的三角躁）,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设第层有个球,从上往下层球的总数为,则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据规律写出递推关系式,即可判断选项D的正误;再利用累加法即可求得通项公式,即选项C正误,求出前7项,即可得选项B正误,求出通项公式,利用裂项相消即可得选项A的正误.
【详解】解:由题知,第一层有1个球,
第二层有3个球,即,
第三层有6个球,即,
则第四层的球数为,
当第层有个球时,
第层有个球,
所以,
故选项D错误;
因为
,
,
,
,
将上述式子相加可得:
,
故,
所以,
故选项A正确;
因为,
,
故选项B错误;
因为,
故选项C错误.
故选:A
二、多选题
9．设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则，使得 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可得直线的方向向量及法向量间的关系.
【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，
所以则，使得，故C正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：ACD.
10．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是
【答案】BCD
【分析】由对立事件、互斥事件、并事件的概率计算公式代入计算，对选项逐一判断.
【详解】“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故D错误；
故选：BCD
11．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递减数列
B．数列是等差数列
C．当时，
D．数列有最大项，没有最小项
【答案】ACD
【分析】根据的关系可得通项公式，然后可以判断ABC；求出，根据单调性可判断D.
【详解】当时，，又，
所以，则是递减数列，故A正确，B错误；
当时，，故C正确；
是递减数列，故D正确.
故选：ACD
12．已知抛物线的焦点为,为上在第四象限内一点，且，直线与交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线方程为 B．点到直线的距离为
C．是钝角三角形为坐标原点) D．
【答案】ACD
【分析】通过点坐标以及，可以结合抛物线定义得到值，从而求得选项A和选项B的正误；通过直线方程和抛物线联立，得到关于点A和B坐标的和，从而通过分析和可得选项C和选项D的正误.
【详解】因为抛物线的焦点为，且，所以到准线的距离，所以，即，所以抛物线.
对于选项A，抛物线的准线方程为，故A正确；
对于选项B，抛物线的焦点坐标为，因为为上在第四象限内一点，代入抛物线可得，所以直线，计算点到直线的距离为，故B错误；
对于选项C，设，联立抛物线和直线，可得，即，所以，，而，所以是钝角三角形，故C正确；
对于选项D，，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．数据24，11，12，13，15，14，17，18，20，10的第60百分位数是 ．
【答案】16
【分析】先对这10个数据排列，然后根据百分位数的定义求解即可
【详解】这10个数从小到大排列为10，11，12，13，14，15，17，18，20，24，
因为，
所以第60百分位数是第6个数和第7个数的平均数，即，
故答案为：16
14．在正方体中，直线与AC所成角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】利用向量法求得直线与AC所成角的余弦值.
【详解】空间一组基底为，
设正方体的棱长为1，则，．
．
因为，
所以直线与AC所成角的余弦值为．
故答案为：
15．已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用构造法及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解.
【详解】由，得，即
由所以，
于是数列是以首项为，公比为的等比数列，
因此，即，
当时，,此式满足，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
16．设圆：上有且仅有两个点到直线的距离等于,则圆半径的取值范围是 .
【答案】
【分析】计算圆心到直线的距离为，根据条件得到，解得答案.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，
因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于，
所以，
即，所以.
故答案为：
四、解答题
17．近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中．
（I）求的值；
（Ⅱ）求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数；
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 平均数74.9,众数75.14,中位数75；
【分析】（I）根据频率之和为列方程，结合求出的值.（II）利用各组中点值乘以频率然后相加，求得平均数.利用中位数是面积之和为的地方，列式求得中位数.以频率分布直方图最高一组的中点作为中位数
【详解】解：(I)依题意得,所以,
又,所以．
(Ⅱ)平均数为
中位数为
众数为
【点睛】本小题主要考查求解频率分布直方图上的未知数，考查利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数的方法。
18．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1）设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；
（2）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
【答案】（1）答案见解析；（2）游戏不公平，理由见解析.
【分析】（1）方片4用表示，列举可得共12种不同的情况；
（2）列举可得甲胜的概率为，乙胜的概率为，此游戏不公平．
【详解】解：（1）方片4用表示，则甲乙抽到牌的所有情况为：
，，，，，，
，，，，，，
共12种不同的情况．
（2）甲抽到的牌的数字比乙大，有，，，
，共5种情况，
甲胜的概率为，乙胜的概率为，
，此游戏不公平．
19．已知的三个顶点坐标分别是，，.求：
(1)外接圆的方程；
(2)若点P是外接圆上的一动点，点为平面内一定点，求线段MP的中点N的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用线段求中垂线方程以及两直线求交点，确定三角形外接圆的圆心坐标，进而求该圆的半径，可得答案.
（2）利用中点坐标公式，建立等量关系，代入（1）所得的外接圆的方程，可得答案.
【详解】（1）由题意可作图如下：
由，则线段的中点坐标为，
线段的中垂线的斜率，
直线的方程为：；
同理可得线段的中垂线的方程：，
联立可得，解得，则直线与的交点，
显然点为外接圆的圆心，则该圆的半径，
所以外接圆的方程为：.
（2）由题意可作图如下：
设的坐标为，的坐标为，
由为的中点，且，则，整理可得，
由在圆上，则，
所以，化简可得：.
20．在棱长为4的正方体中，点P在棱上，且．
(1)求直线与平面所成的角的正切值；
(2)求点P到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和直线方向向量的坐标，由向量的夹角公式求解即可；
（2）根据点面距离的向量法即可求解法向量得解.
【详解】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为正方体的棱长为4，且
则,0,,,4,，所以，
又平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
所以，
故直线与平面所成的角的余弦值为；正切值为；
（2）,0,,, ,0,，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，,
故点P到平面的距离为
21．已知等比数列的前n项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列及数列的前n项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据已知条件求出数列的首项和公比，即可得出通项公式；
（Ⅱ）先求出等比数列的前n项和，即可，再利用错位相减法即可求出.
【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比为，
由，可得，＝9，
由，可得q＝3，由，可得，可得，
可得；
（Ⅱ）由，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得的通项公式：，
可得：①
②
①﹣②得：，
可得.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
22．已知点，是椭圆的两个焦点，椭圆上的任意一点P使得，且的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明详见解析，定点坐标为
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据“以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程，由此求得定点坐标.
【详解】（1）依题意，，
由于的最大值为，所以，
所以，所以椭圆的标准方程是.
（2）椭圆的右顶点为，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
由得，
设，则，
由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点，
所以，，解得，
所以直线过.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
即①.
设，则，
由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点，
所以，，
， ，
，
，
，
整理得，或，
若，代入①得，成立，
若，代入①得成立，
所以直线的方程为，过点；
或，过点，不符合题意，舍去.
综上所述，直线过定点.
【点睛】求解直线过定点问题，关键点是研究直线方程中参数的关系，从而求得定点的坐标.有关直线和圆锥曲线相交的题目，要注意验证判别式是否成立.鄂尔多斯市西四旗 2023-2024 学年第一学期期末考试卷 8．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状后人称为“三
角垛”（如图所示的是一个 4层的三角躁）,“三角垛”最上层有 1个球,第二层有 3个
球,第三层有 6个球,…,设第 层有 个球,从上往下 层球的总数为 ,则下列结论正
确的是（ ）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一 A
1 + 1 + 1． + + 1 = 2023
1 2 3 2023 1012
项是符合题目要求的。 B． 7 = 85
1．直线 + 1 = 0 的倾斜角为（ ）
C． 98 =
99×100
A B C ． ． ． D 3 2．
4 4 2 4
D． 1 = + 1 ≥ 22．已知向量 =( ，6，2)， =(﹣1，3，1)，满足 ∥ ，则实数 的值是（ ）
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6
9．设直线 1, 2的方向向量分别为 1, 2，平面 , 的法向量分别为 1, 2，则下列命题
3．某中学高一年级有学生 1200人，高二年级有学生 1000人，高三年级有学生 800
正确的是（ ）
人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取 m人参加表演，若高二年级
被抽取的人数为 20，则 m＝（ ） A．若 1 ⊥ 2，则 1 2 = 0 B．若 1 ⊥ ，则 1 1 = 0
A．50 B．60 C．64 D．75 C．若 // ，则 ∈ R，使得 1 = 2 D．若 ⊥ ，则 1 ⊥ 2
4．直线 3 + 2 = 0 平分圆 C： 2 + 2 + 2 2 = 0，则 =（ ） 10 1 1．甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获胜的概率为 ，则下列说法错误的是（ ）
2 3
A 3． B．1 C．-1 D．-3
2
A 1 1．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是
5．已知数列 是等差数列，且 2 = 2， 8 = 4，则数列 的前 9项和 9 =（ ）
6 2
A．9 B．10 C．11 D 12 C 2 1． ．乙输的概率是 D．乙不输的概率是
3 2
6．某中学团委为庆祝“五四”青年节，举行了以“弘‘五四’精神，扬青春风采”为主题的
11．数列 的前 项和为 ，已知 = 2 + 9 + 1，则下列说法正确的是（ ）
文艺汇演，初中部推荐了 2位主持人，高中部推荐了 4位主持人，现从这 6位主持
A．数列 是递减数列 B．数列 是等差数列
人中随机选 2位主持文艺汇演，则选中的 2位主持人恰好是初中部和高中部各 1
人的概率为（ ） C．当 > 5 时， < 0 D．数列
有最大项，没有最小项
A 1 2 3 8． B． C． D．
3 3 4 15 12．已知抛物线 :
2 = 2 > 0 的焦点为 , 1, 为 上在第四象限内一点，
7
2 2
．已知 1， 2分别是椭圆 ： + = 1（ > > 0）的左，右焦点， 是 上的一点， 且 = 2，直线 : = + 与 交于 , 两点，则下列结论正确的是（ ） 2 2
若 3 1 = 2 1 2 ，且∠ 1 2 = 60°，则 的离心率为（ ） A 1． 的准线方程为 = 1 B．点 到直线 的距离为2
A 3 5． B．2 3 C． 7 2 D．3 2 2 C．△ 是钝角三角形( 为坐标原点) D． = 4 6
2
高二期末数学试卷 第 1 页（共 2 页）
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三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 19．(本小题 12分)
13．数据 24，11，12，13，15，14，17，18，20，10
已知△ 的三个顶点坐标分别是 0,5 ， 1, 2 ， 3, 4 .求：
的第 60百分位数是 ．
(1)△ 外接圆的方程；
14．在正方体 1 1 1 1中，直线 1与 AC (2)若点 P是△ 外接圆上的一动点，点 3, 1 为平面内一定点，求线段 MP
所成角的余弦值为 ．
的中点 N的轨迹方程.
15．已知数列 中， 1 = 1，且 = 2 1 + 3（ ≥ 2，且 ∈ N ），则数列 的
通项公式为 ．
20．(本小题 12分)
16．设圆 ： 1 2 + + 1 2 = 2 > 0 上有且仅有两个点到直线 + 2 = 0 的
在棱长为 4的正方体 1 1 1 1中，
距离等于 2,则圆半径 的取值范围是 .
点 P在棱 1上，且 1 = 4 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(1)求直线 与平面 1 1所成的角的正切值；17．(本小题 10分)
(2)求点 P到平面 1的距离．
近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目．无论是市内的井
字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内
21．(本小题 12分)
无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了 1000名市民
已知等比数列 的前 n项和为 ， > 0且 , 1
3 = 36， 3 + 4 = 9 1 + 2 ．
进行调查 并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率
（1）求数列 的通项公式；
分布直方图,其中 = 4 ．
（2）若 + 1 = 3 ，求数列 及数列 的前 n项和 ．
（1）求 , 的值；
（2）求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、
22．(本小题 12分)
中位数；
2 2
18．(本小题 12分) 已知点
1， 2是椭圆 : 2 +
2 = 1 > > 0 的两个焦点，椭圆上的任意一点 P
甲、乙二人用 4张扑克牌(分别是红桃 2，红桃 3，红桃 4，方片 4)玩游戏，他们 使得 1 + 2 = 4，且 1 的最大值为 2 + 2．
将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一 (1)求椭圆的标准方程；
张． (2)若直线 l与椭圆 C交于 A，B两点（A，B不是左右顶点），且以 AB为直径的圆
（1）设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间； 经过椭圆的右顶点．求证直线 l过定点，并求出该定点的坐标．
（2）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜．你
认为此游戏是否公平？说明你的理由．
高二期末数学试卷 第 2 页（共 2 页）
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