2024年春九年级数学中考复习《二次函数与图形面积综合压轴题》专题训练（附答案）
1．如图，已知顶点为的抛物线过点，交x轴于A，B两点，交y轴于点C、点P是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线上方时，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
2．已知二次函数经过点、，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
(1)求此二次函数解析式；
(2)连接、、，判断的形状并说明理由；
(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形的面积．
3．如图抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值．
(3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
5．如图，抛物线过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求的坐标；
(3)在（2）条件下，是否存在点为抛物线上的点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，从点开始沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为，平移时间为秒，射线交抛物线于点、连接，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点的横坐标是，的面积是，求关于的函数关系式；
(3)如图1，当面积最大时，求的值
7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点，使，如果存在，求点的坐标，如果不存在，说明理由；
(3)若是抛物线第二象限上一动点，过点作轴于点，过点、、的圆与交于点，求的面积．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，若线段将分成面积比为两部分，，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
9．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．
(1)求直线的表达式．
(2)点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点E的坐标．
(3)在（2）的条件下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上找一点P，使以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
10．如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．
(1)请直接写出点，，的坐标；
(2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
(3)点是抛物线上的动点，作交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．综合与探究
如图，已知抛物线与x轴相交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点，连接．
(1)求该抛物线的解析式及对称轴；
(2)若过点B的直线与抛物线相交于另一点D，当时，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
12．如图，抛物线与直线交于两点，点在轴上，过点作轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式．
(2)将沿方向平移到．
①如图2，若经过点与轴交于点，求的值．
②如图3，直线与抛物线段交于点，与直线交于点，当顶点在线段上移动时，求与公共部分面积的最大值．
13．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标：
(2)在抛物线的对称轴上探求一点M的坐标，使得点M到点A、点C的距离之和最小；
(3)在直线上方的抛物线上探求一点P，使得的面积最大，并求出的面积的最大值．
15．综合与探究
如图，抛物线的图象与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点，其中，，连接．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
(3)在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上确定一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
16．如图1，经过原点O的抛物线（a、b为常数，）与x轴相交于另一点，在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使的面积等于8？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值，及此时点F的坐标．
17．如图抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
(3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)在（2）的条件下：当的面积取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M，B，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，抛物线与x轴交于，，交y轴于点C，点P是线段下方抛物线上一动点，过点P作交于点Q，连接，，，．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求周长的最小值；
(3)假设与的面积分别为，，且，求S的最大值．
20．如图1，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式；
(3)已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N．
①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．
参考答案
1．解:（1）根据题意设抛物线解析式为
把点的坐标代入得
解得 ．
所以抛物线解析式为．
（2）如图，由已知抛物线过点交x轴于A，B两点，交y轴于点C，
所以可得A，B，C的坐标为，且轴
经过 两点的直线的解析式为
把A，D的坐标代入得 解得
所以直线的解析式为
过点P作x轴的垂线，分别交，x轴于点G，H，E，连结
因为点P在抛物线上，故设点P的坐标为
则点H的坐标为
所以
所以
当时，有最大值4，此时点p的坐标为．
2．（1）解：二次函数经过点、，
，
解得：，，
二次函数解析式为；
（2）为直角三角形，理由如下：
由得：顶点D的坐标为，
与x轴交于另一点B，
令，即，解得：或，
，，
，，，
，，
，
为直角三角形；
（3）如图，
P、D、C构成以为底边的等腰三角形，
点D在的垂直平分线上，
点C与点P关于对称轴直线对称，
点P的坐标为，
，
.
3．（1）解：，点，
点，
则抛物线的表达式为：，
将点代入得，
故，解得：，
故抛物线的表达式为：，
∵，
函数的对称轴为：；
（2）四边形的周长，其中、是常数，
故最小时，周长最小，
取点关于直线对称点，则，
如图所示，取点，则，点与关于对称，则，
∴，
∴，则当三点共线时，最小，周长也最小，
四边形的周长的最小值
；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线把四边形的面积分为：两部分，
又∵
则BE：AE=3：5或5：3，
则或，
即：点的坐标为或，
∵，设直线的表达式：，
将点的坐标代入直线的表达式：，
解得：或，
故直线的表达式为：或，
联立，，
解得：或 舍去，
故点的坐标为或．
4．（1）解：∵，在二次函数的图像上，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）存在点，使四边形为菱形，理由如下：
设，则，交于，
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∵，
∴的中点坐标为，
∴，
解得：，（负值不合题意，舍去），
∴点的坐标为；
（3）过点作轴交于点，交轴于点，
∴轴，
∵二次函数的图像与轴交于、两点，点在原点的左侧，
当时，得，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为，
此时P点的坐标为，
∴当点的坐标为时，四边形的面积的最大值为．
5．解:（1）根据题意，得
，
解得，
抛物线解析式为：．
（2）连接，由（1）得，
点，且点，
．
当是以为底边的等腰三角形
，
，
，
，
设抛物线的对称轴与轴交于点，则，
，
，
抛物线对称轴，
，
，
．
点坐标为．
（3）存在．
理由如下：过点作轴，交于点，交轴于点．
设，则，
设直线的解析式为：，依题意，得：
，
解得，
直线的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
，
，
．
，
或，
解得或．
6．（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，
∴
解得：
∴
（2）解：由，
当时，
解得：
∴，又，
设直线的解析式为，将点代入得，
，
解得：，
∴
如图所示，过点作轴交于点，
设点的横坐标是，则，，
∴
∴
即
（3）解：∵
即当点的横坐标是时，面积最大，
∴
∴
∵，，
设直线的解析式为，将点代入，
得，
解得：
∴直线的解析式为
依题意，的解析式为，将代入，
即，解得：
∴直线的解析式为
令，解得：
则点的坐标为
∴
∴当面积最大时， ．
7．（1）解： ，
，，
抛物线过点，，
，解得，
抛物线为；
（2）解：存在，理由如下：
，，
，
若，
则轴或轴，
又点在抛物线上，
轴，
作轴交抛物线于点，
当时，，
解得，，
；
（3）解：时，，
解得，，
，故，
记过点、、的圆的圆心为点，
则点在线段的垂直平分线上，故可设，
同理，点在线段的垂直平分线上，
又 轴于点，
设，则，
，
，
，
即：①，
又点在抛物线上，
，即：②，
将②代入①得：
，
，
，即：，
，
法二（3）
连接，
当时，，
解得，，
，故，
，，
，
，即：，
设，则，
，，，
，
，
.
8．（1）解：抛物线经过点，，
，
解得．
该抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线与轴交于点，且当时，，
．
设直线的解析式为．
直线经过点，，
，
解得．
直线的解析式为．
设点 ，则，．
．
轴，
，
又线段将分成面积比为两部分，
或．
或，
即，或，
∴或，
解得或（舍去）或或（舍去），
点的坐标为或；
（3）解：存在点，使得，理由如下：
在轴负半轴上取点，使得，连接，如图．
设点的坐标为，则，．
在中， ，
，
解得，
，
．
，
，
，
，
．
又∵，
∴，
∴，即，
设 ，
∴，
解得或（舍去）．
存在点，当点的横坐标为时，．
9．（1）解：对于，令，则，
解得，．
点B在点A的右侧，
，．
令，得．
．
设直线的表达式为．
将，代入，得，
解得，
直线的表达式为．
（2）解：如图，过点E作轴，交直线于点F．
设点E的坐标为，则点F的坐标为．
．
由（1）知，
．
．
，
当时，的值最大．
当时，．
当的面积最大时，点E的坐标为．
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线．
点Q在抛物线的对称轴上，
点Q的横坐标为．
由（1）知，由（2）知点M的横坐标为3．
设点P的坐标为．
分三种情况：
①当为平行四边形的对角线时，如图．
，解得．
点P的坐标为．
②当为平行四边形的对角线时，如图．
，解得．
点P的坐标为．
③当为平行四边形的对角线时，如图．
，解得．
点P的坐标为．
综上，点P的坐标为或或．
10．（1）解：令，
则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
（2）解：过作轴交于，如下图．
设直线为，将、代入得
，
解得，
直线为，
根据三角形的面积，当平行于直线直线与抛物线只有一个交点时，点到的距离最大，此时，的面积最大，
，
，，
，
，
时，最大为，
而，
的面积最大为；
（3）解：存在．
点是抛物线上的动点，作交轴于点，如下图．
设．
当点在轴下方时，
，
即，
，
解得（舍去），，
．
当点在轴的上方时，令，
则 ，
解得，，
或．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
11．（1）解：把、代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：当点在轴上方时，如图1所示，
设与的交点为点，
，
，
直线垂直平分，
点在直线上，
点，，
设直线的解析式是，
将点A代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
点点关于对称，
，，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
∴满足题意的直线解析式为；
当点在轴下方时，如图2，
，
，
∵直线的解析式为，
可设直线的解析式为，
把代入中得，解得
∴符合题意的直线解析式为；
综上所述，符合题意的直线解析式为或；
（3）由（2）知，直线的解析式为，
联立解得或，
，
，
，
，
点在轴左侧的抛物线上，
设，过作轴的平行线交直线于，
，
，
，
∴，
∴或
∴或，
解得或（舍去）或或（舍去），
∵抛物线解析式为，
∴当时，；
当时，
∴点P的坐标为或。
12．解:（1）对于，令，则解得，
∴
∴
，
∴
∴
把代入，得
∴
把 代入得，
，
解得，，
所以，二次函数解析式为：；
（2）①设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
由平移得，
∴设直线的解析式为，
把代入得，，
∴设直线的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴
∴
∴，
∵是由平移得到的，
∴,
∴；
②设点P的坐标为，
由平移知，
∴设直线的解析式为，
将代入得，，
∴
∴；
设与交于G，E，与交于K，F，
联立，
解得，，，
∴，，
在中，
当时，，
∴，
∵点P的横坐标为a，
∴，，
∴，
设和公共部分的面积为S，
①当时，
∵
∴当时，S有最大值，最大值为；
②当时，
；
∵，
∴当时，S有最大值1，
∵，
∴和公共部分的面积最大值为
13．解：（1）∵抛物线经过点，两点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）设直线与对称轴的交点为点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴点，
∵直线垂直平分，
∴，
∴，，
当点与点重合时，，此时有最小值，
∴，此时的值最小，
∵，是定值
∴当点时，有最小值，
故答案为：．
（3）过点作轴交于点，
设点的横坐标为，
∴，，
∴，
∵四边形的面积，，
∴，
∴，
当时，有最大值，，
∵，
∴当时，四边形面积有最大值为：，
∴点．
（4）存在，理由如下：
∵点，对称轴，
∴点，
∴，
设点，
设直线与轴交于点，
∴点与点关于轴对称，
∴，
∴是等腰三角形，
∴点；
延长交直线于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，三点共线，
∴不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形；
当，
∴，
解得：，
∴点或；
当时，
∴，
解得：；
综上所述，当点的坐标为：或或或时，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形．
14．（1）解：由题意，设该抛物线的解析式为，
将代入，得，∴，
∴该二次函数的解析式为，即，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵该抛物线的对称轴为直线，点A、B关于直线对称，
故直线与坐标轴的交点即为点M，可使得到点A、点C的距离之和最小，
设直线的解析式为，
将，代入，得，则，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴满足条件的点M坐标为；
（3）解：过点P作x轴的垂线，交直线于N，
由题意，设，则，，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴当时，最大，最大值为8，此时点P坐标为．
15．（1）解：把，代入得：，
解得：，
该抛物线的表达式为：；
（2）解：如图，作轴交于，
设直线的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
，
，则，
，
，
，
当时，最大，且最大值为；
（3）解：由（2）知，，，
由得：，，
，抛物线的对称轴是直线，
设，，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则有，
解得，
；
若、为对角线，则有，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或或．
16．（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点，
∴，
设点P的纵坐标为，
∵的面积等于8，
∴，
解得或，
当时，，即，
解得
∴点P的坐标为或；
当时，，即，
解得
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或；
（3）解：∵点与点E关于对称轴直线对称，
∴，
如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线于点M，N，
∴，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，的最大值为，此时．
17．（1）解：，点，
则抛物线的表达式为：，
故，解得：，
故抛物线的表达式为：①，
函数的对称轴为：；
（2）解：四边形的周长，其中、是常数，
故最小时，周长最小，
取点关于直线对称点，则，
取点，则，
故：，则当、、三点共线时，最小，周长也最小，
四边形的周长的最小值
；
（3）解：如图，设直线交轴于点，
直线把四边形的面积分为两部分，
又，
则或，
则或，
即：点的坐标为或，
将点的坐标代入直线的表达式：，
解得：或，
故直线的表达式为：或②
联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去），
故点的坐标为或．
18．（1）解：∵抛物线经过点
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：当时，由得
设直线的解析式为
则解得
设
则
∴当时，
∴的最大面积为：
∵点在直线上，
∴当时，
（3）解：在轴上存在这样的点，使得以点，为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：如图，
由（2）得， 当最大时， 当的面积取得最大值时，则
，
点在轴上，
当点与原点重合时，则
∴
当时， 则
当点 与点重合时，则
当时， 则
综上所述，存在以点、点、点为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或
19．（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点
∴
解得
∴抛物线的函数解析式为
（2）解：如图，作点O关于直线的对称点，连接
∵抛物线交y轴于点C
∴
∴
∴
∵关于直线对称
∴BC与OO′互相垂直平分
∴四边形是正方形，
∴
在中，
∵
∴
即点Q位于直线与直线交点时，的最小值为
∴周长的最小值为
（3）解：如图，连接，过点P作于点H
∵
∴与的面积相等
∴
设点
∴
∴当，有最大值，且最大值为；
20．（1）解：由题意知，，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴；
（2）解：由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等，
①当时，
当时，，
解得，或，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
②当过中点时，
由题意知，中点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
综上所述，直线的解析式为或；
（3）①解：由题意知，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为2，
∴；
②解：由题意知 ，
，
∴与的面积之和是定值，且定值为2．
