2024年春九年级数学中考复习《二次函数与特殊三角形综合压轴题》
专题训练（附答案）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．
(1)求线段AC的长；
(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．
2．如图，已知抛物线经过点B（4，0）和点C（0，－2），与x轴的另一个交点为点A，其对称轴与x轴交于点E，过点C且平行x轴的直线交抛物线于点D，连接AD．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)判断△ABD的形状，并说明理由；
(3)P为线段AD上一点，连接PE，若△APE是直角三角形，求点P的坐标；
(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△APD是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴并交抛物线于点，当线段取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；
(3)有一个点M在线段CB上运动，作MN⊥x轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，△BCN的面积最大，求最大面积.
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(-1，0)和点B(4，0)，与y轴交于点C，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点，过点P作PD⊥BC于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当PD取得最大值时，求点P的坐标和PD的最大值；
(3)将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，Q为新抛物线对称轴上的一点．当（2）中PD取得最大值时，直接写出使以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形的点Q的坐标．
6．已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C（0，3），且AB=5；
(1)求二次函数的解析式；
(2)点N是线段OB上（端点除外）的一个动点，过点N作NM∥y轴，交BC于点P，交抛物线于点M，且PN∶PM=1∶2．
①求此时的N点坐标；
②试探究，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，若存在，请求Q点坐标；不存在，请说明理由．
7．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．
(1)求出二次函数的解析式；
(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
(3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF＝∠BDF ：
(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
9．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标；
(3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；
(3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．
①求的值；
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
11．如图，抛物线过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
14．如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．
15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴的另一交点为B．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点M为直线BC下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N；
①当线段MN的长度最大时，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
②如图2，连接BM，当△BMN是等腰三角形时，求此时点M的坐标．
16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．
(1)求b，c，m的值；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
17．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②当S取得最大值时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．如图，已知点(0，)在抛物线C1：y＝x2+bx+c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MNy轴交线段DE于点N，连接ON，记EMD的面积为S1，EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；
(3)如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．
①直接写出P点坐标；
②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．
20．如图，抛物线：与轴交于点，顶点为点．
(1)直接写出抛物线的对称轴是______，用含的代数式表示顶点的坐标____；
(2)把抛物线绕点旋转得到抛物线（其中），抛物线与轴右侧的交点为点，顶点为点．
①如图1，当时，求的值；
②若，是否存在为等腰三角形，若存在请求出的值，若不存在，请说明理由；
③当四边形为矩形时，请求出与之间的数量关系，并直接写出当时矩形的面积．
参考答案
1．解：（1）与x轴交点：
令y=0，解得，
即A（-1，0），B（3，0），
与y轴交点：
令x=0，解得y=-3，
即C（0，-3），
∴AO=1,CO=3,
∴;
（2）抛物线的对称轴为：x=1，
设P（1，t），
∴，，
∴
∴t=-1，
∴P（1，-1）；
（3）设点M（m,m2-2m-3），
，
，
,
①当时，
，
解得，（舍），，
∴M（1，-4）；
②当时，
，
解得，，（舍），
∴M（-2，5）；
③当时，
，
解得，，
∴M或；
综上所述：满足条件的M为或或或．
2．解：（1）∵经过点B（4，0）和点C（0，－2），
∴，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）△ABD为直角三角形.理由如下：
如图①，连接BD，
对于抛物线，令y＝0，
，
得，
∵B(4，0)，
∴点A的坐标为(－1，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，
∵CD∥x轴，且点C、D均在抛物线上，
∴点C与点D关于直线x＝对称，
∵C(0，－2)，
∴点D的坐标为(3，－2)，
过点D作DM⊥AB于点M，
∴在Rt△ADM、Rt△BDM中，利用勾股定理可得
，，，
∴，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°．
（3）
∵由(2)得BD⊥AD，
∴当PE∥BD时有PE⊥AD，
∵E是抛物线对称轴x＝与x轴的交点，
∴点E是AB的中点，
∴点P是AD的中点，
∴此时点P的坐标为(1，－1)，
如图，当点P是直线与AD的交点时，
有∠AEP＝90°，由A(－1，0)，D(3，－2)得直线AD的解析式
为y＝－x－；
当x＝ 时，有y＝－×－＝－，
∴此时点P的坐标为(，－)，
∴当△APE是直角三角形时，
点P的坐标为(1，－1)或(，－)．
（4）
∵点P在直线：x＝上，则设点P的坐标为( ，p)，
如图，由勾股定理得AP ＝( ＋1) ＋p ＝ ＋p ，
PD ＝(3－ ) ＋(p＋2) ＝＋(p＋2) ，
由题意可得AD ＝20， 当△APD是直角三角形时，
①当∠APD＝90°时， 则AP ＋PD ＝AD ，
即 ＋p ＋ ＋(p＋2) ＝20，
解得p1＝－1＋ ，p2＝－1－ ，
此时点P的坐标为( ,－1＋ )，( ,－1－ )
②当∠PAD＝90°时，则AP ＋AD ＝PD ，
即＋p ＋20＝＋(p＋2) ，解得p＝5，
此时点P的坐标为( ，5)；
③当∠PDA＝90°，则PD ＋AD ＝AP ，
即 ＋ (p＋2) ＋20＝ ＋p ，解得p＝－5，
此时点P的坐标为( ，－5)．
∴当△APD为直角三角形时，
点P坐标分别为( ,－1＋ )，( ,－1－ )，( ，5)，( ，－5)．
3．（1）解：∵抛物线经过点，，，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为．
（2）存在点P，以EB为腰的等腰三角形△EBP，理由如下：
当时，，
∴，
设直线AC的解析式为，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 时，EF取得最大值，最大值为：，此时，
又∵，
∴．
当时，
∵，点在轴上，
∴点P的坐标为或；
当时，关于直线对称，
∴点P的坐标为；
综上所述，，或，或．
4．（1）解：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点C（0，3），
，
解得，
二次函数的解析式为
（2）解：存在，
由（1）知抛物线的对称轴为直线x=2，
设P（2，n），C（0，3），B（3，0），则根据两点之间距离公式可得PC2=22+（n-3）2 ，PB2=（2-3）2+n2，CB2=18，当△PBC为等腰三角形时，分三种情况：
①当PC=PB时，22+（n-3）2=（2-3）2+n2，解得n=2；
②当PC=BC时，22+（n-3）2=18，解得n1=3+，n2=3-；
③当PB=CB时，（2-3）2+n2=18，解得n1=，n2=-；
综上所述：P（2，2）、（2，）、（2，）、（2，）、（2，）；
（3）解：设直线，
把C（3，0）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为，
设，
∴，
∴，
∴ ，
当时，最大，
当时，，
∴，
当时， ，
∴
综上所述，当，时，△BCN的面积最大，最大面积为．
5．（1）解：将点A、B分别代入中，
得，
解得：，
∴
（2）解：过点P作PH∥y轴交BC于点H，
由（1）可得抛物线解析式为，
∴C（0，-4），
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45，
∴∠PHD=∠OCB=45，
∵∠PDH=90，
∴PH=，
设直线BC的解析式为y=kx+，将点代入可得：
，
解得：，
y=x-4，
设P（x, ），则H（x，x-4），
∴PH=x-4-( )=
当x=2时，PH取得最大值为4，
此时点P的坐标为（2，-6）时，的最大值为4
（3）解：∵抛物线向右平移个单位长度，
∴，
∴新抛物线的对称轴为直线x=4，
设Q（4，y），
∵A（-1,0），P（2，-6），
∴，
，
，
①当点P为直角顶点时，设点Q（x，y），
∵，
∴，
解得：y=-5；
∴Q（4，-5）；
②当点A为直角顶点时，
∵，
∴，
解得：y=2.5；
∴Q（4，2.5）；
③当点Q为直角顶点时，
∵，
∴，
整理，得，
∵，
∴这个方程没有实数根；
综上可得：Q（4，-5），Q（4，2.5）．
6．（1）解：抛物线过点，
将点代入抛物线中得：．
抛物线．
则对称轴是：，
将点代入抛物线中得：
二次函数的解析式为：．
（2）解：，
设直线BC的解析式为：
则，解得：
直线BC的解析式为：．
设点，则点，．
．
PN∶PM=1∶2
．
即，化简得：，
解得：（舍去）
此时的N点坐标为．
解：在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形．
如图所示点Q有4个位置，使得△CNQ为直角三角形，分别以点C、Q、N为直角顶点，共3种情况
第一种情况：如图所示，以点C为直角顶点，过点Q作QH轴交于点H．
由①可知点,则
设，则
解得：，则
点Q的坐标为
第二种情况：如图所示，以点Q为直角顶点，有两个位置，分别为x轴上方和下方，设对称轴交x轴于点F．
当点Q在x轴上方时，过点C作CH对称轴交于点H．
由第一种情况同理可证：
设，则
，解得：或（舍去）,
则
点Q的坐标为
当点Q在x轴下方时，过点C作CH对称轴交于点H．
同理可证：
设，则
，解得：或（舍去）
则
点Q的坐标为
第三种情况：如图所示，以点N为直角顶点，设对称轴交x轴于点F．
同理可证:
设，则，解得：
则
点Q的坐标为
综上所述：点Q的坐标为或或或
7．（1）解∶∵二次函数的图像经过点和原点O．
∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4），
把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4），
解得：a=-1，
∴二次函数的解析式为y=- x（x-4）=-x2+4x；
（2）解：根据题意得：0
把点A（3，3）代入，得：3=3k，
解得：k=1，
∴直线OA的解析式为y=x，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上，
∴P（m，-m2+4m），C（m，m），
∴PD=-m2+4m，CD= m，
∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m ，
∴当时，线段PC最大，最大；值为；
（3）解：存在，理由如下：
∵C（m，m），P（m，-m2+4m），
∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m，
，，
当0
∴，解得：或0（舍去），
∴此时；
当m≥3时，点C在点P的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m，
当OC=PC时，，
解得：或0（舍去），
∴此时点；
当OC=OP时，有OC2=OP2，
∴，
解得：m=5或3（舍去）或0（舍去），
∴此时点P（5，-5），
当PC=OP时，
，
解得：m=4或0（舍去），
∴此时点P（4，0）；
综上所述，存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）．
8．解：（1）设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M为射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
．
当点M在线段BD上时，此时，，
，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或．
9．（1）解：将代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点D作于点G，交于点H，
设过点的直线的解析式为，则
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
解得或
将分别代入得
∴或；
（3）解：如图1所示，当点D与点C重合时，
∵点A（-4，0），点C（0，4），
∴OA=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
当点C与点D重合时，∵OP是OD逆时针旋转45°得到的，
∴∠POD=45°，即∠FOC=45°，
∴∠AOF=∠FOC=45°，
又∵OA=OC，
∴OF⊥AC，即∠OFC=90°，
∴△OFC是直角三角形，
∴此时点D的坐标为（0，4）；
如图2所示，当∠DFO=90°时，连接CD，
由旋转的性质可得∠DOF=45°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OF=OD，∠FDO=∠FCO=45°，
∴C、D、F、O四点共圆，
∴∠FCD=∠FOD=45°，
∴∠OCD=∠FCD+∠FCO=90°，
∴CD⊥OC，
∴点D的纵坐标为4，
∴当y=4时，，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为（-3，4）；
如图3所示，当∠ODF=90°时，过点D作DH⊥y轴于H，过点F作FG⊥DH交HD延长线于G，同理可证△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=DF，
∵FG⊥DH，DH⊥y轴，
∴∠FGD=∠DHO=90°，
∴∠GDF+∠GFD=90°，
又∵∠GDF+∠HDO=90°，
∴∠GFD=∠HDO，
∴△GDF≌△HOD（AAS），
∴GD=OH，GF=DH，
设点D的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴点F的坐标为（，），
∵点F在直线AC：上，
∴，
∴，
解得，
∴点D的坐标为或；
综上所述，点D的坐标为（-3，4）或（0，4）或或
10．（1）解：将点代入得：，
解得，
则此抛物线的解析式为．
（2）解：对于二次函数，
当时，，解得或，
则此抛物线与轴的另一个交点坐标为，
画出函数图象如下：
则当点在轴上方时，的取值范围为或．
（3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
即，
（Ⅰ）如图，当时，
当时，随的增大而减小，
则此时点即为最低点，
所以，
解得或（不符题设，舍去）；
（Ⅱ）如图，当时，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则此时抛物线的顶点即为最低点，
所以，
解得，符合题设，
综上，的值为或3；
②设点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点，
则在等腰中，只能是，
垂直平分，且，
（等腰三角形的三线合一），
，
解得，
则此时点的坐标为或；
（Ⅱ）当时，
由（3）①可知，此时，
则点，
，
，
，
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
综上，点的坐标为或或．
11．解：（1）根据题意，得
，
解得，
抛物线解析式为：．
（2）由（1）得，
点，且点，
．
∵当是以BC为底边的等腰三角形
∴PC=PB，
∵OP=OP，
∴，
∴，
设抛物线的对称轴与轴交于H点，则，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴，
∴，
∴，
．
点P坐标为．
（3）存在．
理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F．
设，则，
设直线BC的解析式为：，依题意，得：
，
解得，
直线BC的解析式为：，
当时，，
点E的坐标为，
∵点M在第一象限内，且在BC的上方，
，
，
．
∵，
，
解得．
12．（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为；
（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在，理由如下：
∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，
∴或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，
，解得：或，
13．（1）解：∵抛物线，
∴抛物线过点．
∵抛物线与轴交于点和点，
∴设抛物线，
∵抛物线过点，
∴将点代入中，
得 ，解得，
故抛物线解析式为，
∴抛物线解析式为．
（2）解：连接、，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，
∵抛物线解析式为，与轴交于点，顶点为，
∴，．
∵，，
∴直线BC为：，
∵交抛物线的对称轴于点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
∵，点P在射线DE上，
∴，
∵DP交x轴于点F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故P点坐标．
（3）解：∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴设，其中，
又∵，点是对称轴右侧抛物线上的一点，
∴设，其中．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴分两种情况进行讨论：
①如图1，当，时，过点N作NK⊥DE于点K，过点M作ML⊥DE于点L，
∵，
∴，
∵ML⊥DE，
∴，
∵，
∴．
∵NK⊥DE，ML⊥DE，
∴，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，．
∵，，，
∴，
解得或，
∵，，
∴舍去，
∴M点坐标为．
②如图2，当，时，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴当，解得，
∵，
∴，即．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴M点坐标为．
综上，满足题意的M点坐标为或．
14．（1）解：把点和点代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，则，
解得：，
∴点A（-1，0）；
（2）解：存在，理由如下：
∵点A（-1，0），点，点是线段的中点，
∴点，
设点E（0，m），
∴，
，
，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
整理得：，
解得：或-1，
∴点E的坐标为（0，2）或（0，-1）；
（3）解：∵点B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，CF=a，
∴，
若∠PCM=2∠OBC，过点C作CFx轴交PM于点F，如图甲所示，
∴∠FCM=∠OBC，即，
∴∠PCF=∠FCM，
∵轴，
∴CF⊥PQ，
∴PM=2FM，
∴，
∴，解得：解得：a=2或0（舍去），
∴点P的横坐标为2；
若∠PMC=2∠OBC，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵∠OBC+∠BMN=90°，
∴∠OBC=30°，与相矛盾，不合题意，舍去；
若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的横坐标为；
综上所述，点P的横坐标为2或．
图甲 图乙
15．（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0），C（0，5）两点，
∴c＝5，1+b+5＝0，
解得b＝﹣6，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）解：（2）①令y＝0，即x2﹣6x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝5，
∴B（5，0），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，
设M（m，m2﹣6m+5），则N（m，﹣m+5），
∴MN＝（﹣m+5）﹣（m2﹣6m+5），
∴，
∴当时，MN的最大值为，此时M的坐标为（）即，
∴线段MN的长度最大时，当M的坐标为，线段MN的长度最大为；
②∵点M在抛物线y＝x2﹣6x+5上，点N在直线y＝﹣x+5上，
设M（m，m2﹣6m+5），则N（m，﹣m+5），
∴MN＝﹣m2+5m，BN，
∵OB＝OC，
∴∠MNB＝∠OCB＝45°，
i．当MN＝BN时，﹣m2+5m，
解得：m，m＝5（舍去），
∴M（，），
ii．当BM＝MN时，则∠NBM＝∠MNB＝45°，
∴∠NMB＝90°，则m2﹣6m+5＝0，
解得m＝1或m＝5（舍去），
∴M（1，0），
iii．当BM＝BN时，∠BMN＝∠BNM＝45°，
∴∠NBM＝90°，
∴﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m+5，
解得m＝2或m＝5（舍），
∴M（2，﹣3），
当△BMN是等腰三角形时，点M的坐标为（，）或（1，0）或（2，﹣3）．
16．(1)b=4，c=5， m=5
(2)当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）
(3)所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）
解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
，解得：
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∴m＝5；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5），
∵轴，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴
∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，
∴∠NKC＝∠MHC＝90°，
由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B（5，0），C（0，5）．
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥对称轴于H，
∴轴，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BCH＝∠OCB，
∴∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK（AAS），
∴NK＝MH，CK＝CH，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，M（2，9），
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴N（﹣4，3），
设直线BN的解析式为y＝mx+n，
∴ 解得：
∴直线的解析式为：
设P（2，p），
∴PQ2
BP2＝，
BQ2
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，
∴
解得：
∴（2，）
②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，
∴
解得：
∴点P′的坐标为（2，﹣9）．
综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）
17．（1）解：∵y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3），
，
∴，
抛物线的解析式为；
由
抛物线顶点；
（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥ BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．
，
，
，
，
，
，
轴， 轴，
，
，
，
，
与 的面积之和
，
S有最小值，最小值为，此时，
时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．
（3）存在，如图2，
，，的对称轴为直线，
将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．
抛物线的对称轴为直线，
设 ，
当 时，
，
，
，
当 时，
，
解得， ，
，
当 时，
，
解得， ，
综上所述，满足条件的的坐标为 ．
18．（1）解：将点代入中，得，
∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①∵
∴．
∵令，则，
解得，
∴．
∵点，点，
∴直线的解析式为．
∵点P在直线上，且轴于点D，，
∴点，
∴．
∵点P在线段上，且点，点，
∴．
∴S与m之间的函数关系式为；
②∵
∴当时，S有最大值为，
此时
把代入，得
∴
∴当时，S有最大值为，此时．
（3）解：存在满足条件的点P，点P的坐标为或．理由如下：
设，则，，
所以，
，
，
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得或，均不合题意，故舍去，
所以点P的坐标为或．
19．（1）解：∵点(0, )在抛物线C1：y＝x2+bx+c上，
∴c＝．
∵该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，
∴b＜0，b2﹣4××＝0．
∴b＝﹣．
∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣x+．
（2）解：∵y＝x2﹣x+＝(x-1)2，
又∵抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，
∴抛物线C2的解析式为y＝＝x2﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，
∴E(0，2)．
∴OE＝2．
令y＝0，则x2﹣x+2＝0，
解得：x＝1或3，
∴C(1，0)，D(3，0)．
∴OC＝1，OD＝3，
∴CD＝2．
∵点M在抛物线C2上，
∴设M(m，m2﹣m+2))，
设直线ED的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线ED的解析式为y＝﹣x+2．
∵MN∥y轴交线段DE于点N，
∴N(m，﹣m+2)，
∵点M在线段ED的下方，
∴MN＝﹣x+2﹣(m2﹣m+2)＝﹣m2+2m，
∵S△EMD＝S△EMN+S△DMN＝×MN OD＝﹣m2+3m，S△EON=OE×m＝m，
∴S1+2S2＝﹣m2+2m+2m＝﹣m2+4m＝﹣(m﹣2)2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝2时，S1+2S2有最大值4；
（3）解：①点P的坐标为(，)，理由：
设直线EP与x轴交于点G，如图，
∵抛物线C2的解析式为y＝，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴F(2，0)．
∴OF＝2．
∵OC＝1，
∴CF＝OF﹣OC＝1．
EC＝，
∵∠PEC＝∠EFO，∠PEC＝∠PEF+∠CEF，∠EFO＝∠PEF+∠G，
∴∠CEF＝∠G．
∵∠ECF＝∠GCE，
∴△ECF∽△GCE，
∴．
∴CE2＝CF CG，
∴CG＝5，
∴OG＝OC+CG＝6，
∴G(6，0)．
设直线EG的解析式为y＝ax+2，
∴6a+2＝0，
∴a＝﹣．
∴直线EG的解析式为y＝﹣x+2，
∴，
解得：或，
∴P(,)；
②在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，理由：
过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，PH⊥x轴于点H，连接PD，如图，
∵P(，)，
∴OK＝，PK＝，
∴DK＝OK﹣OD＝，PG＝KF＝OK﹣OF＝，
∴DP＝＜1，
∵DF＝1，
∴抛物线C2的对称轴上不存在点H，使得HD＝DP，HP＝PD；
当HP＝HD时，设H(2，h)，则HF＝h，
过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，如图，
则PG＝KF＝OK﹣OF＝，GF＝，
∵HP＝HD，
∴．
∴12+h2＝，
解得：h＝，
∴H(2，)．
综上，在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，点H的坐标为(2,)．
20．（1）解：∵抛物线C1：y1=ax2+2ax=a（x+1）2-a，
∴x=-1，P（-1，-a）
故答案为：直线x=-1，（-1，-a），
（2）①由旋转知，MA=MB，
当y1=0时，x1=-2，x2=0，
∴A（-2，0），
∴AO=2，
∵M（0，0），
∴AM=2，
∴AB=2MA=2×2=4；
②∵A（-2，0），M（2，0），则AB=8，
∴B（6，0）
∵A（-2，0），P（-1，-a），
∴AP＝，
BP＝
当AB=AP时，1+a2=82，解得：a＝（负值已舍去）；
当AB=BP时，49+a2=82，解得：a＝（负值已舍去）；
当AP=BP时，1+a2=49+a2，不成立，
即当a 取或时，△ABP为等腰三角形；
③如图，过点P作PH⊥x轴于H，
∵点A与点B，点P与点Q均关于M点成中心对称，
故四边形APBQ为平行四边形，
当∠APB=90°时，四边形APBQ为矩形，
，
△APH∽△PBH，
∴，
即，
∴a2=2m+3，
∴m＝a2 ，
当a=3时，m＝
∴S=（2m+4）a=（2×3+4）×3=30．
