第9章 中心对称图形-平行四边形
9.12矩形的性质与判定大题专练（重难点培优）
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
注意事项：
本试卷共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共24小题）
1．已知，如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
2．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过作，过作，与相交于点．求证：四边形为矩形．
3．如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若是边长为2的正三角形，求四边形的面积．
4．如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接交于点，当，时，求菱形的面积．
5．如图，菱形的对角线与交于点，，，．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是矩形．
6．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若菱形边长为10，面积为96，求矩形周长．
7．如图，在菱形中，点是对角线的中点，过点的直线与边、交于点、，，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，直接写出四边形的面积．
8．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）填空：①当的值为 时，四边形是矩形；
②当的值为 时，四边形是菱形．
9．在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，，求证：平分．
10．如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长至，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
11．已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当面积是的面积的5倍时，求出的值．
12．如图，在平行四边形中，对角线，交于点．
（1）若，求证：四边形为矩形；
（2）若于点，于点，求证：．
13．如图，在四边形中，、相交于点，，，．
（1）如图1，求证：四边形为矩形；
（2）如图2，是边上任意一点，，，、分别是垂足，若，，求的值．
14．如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接交于点，当，时，求的长度．
15．如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，若，，则的面积是： ．
16．如图，在平行四边形中，点是边上一点（不与，重合），，过点作，交边于点，连接．
（1）若，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，当，时，求的长．
17．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）①当的值为 时，四边形是矩形；
②若，求证：四边形是菱形．
18．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点、运动的时间为秒．
（1）当为何值时，四边形是矩形；
（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由．
19．如图，平行四边形中，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，
①当 时，四边形是矩形；
②当 时，四边形是菱形．
20．如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）① 时，四边形是矩形；
② 时，四边形是菱形．
21．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求菱形的面积．
22．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求菱形的面积．
23．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为8，，求的长．
24．已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
参考答案
一、解答题（共24小题）
1．
【分析】（1）根据菱形的性质得出，再根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形是矩形；
（2）证明是等边三角形，得出，由勾股定理得出，由菱形的性质得出，即可求出四边形的面积．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
在菱形中，，
平行四边形是矩形，
故四边形是矩形；
（2）解：，，
，
，
是等边三角形，
，
在菱形中，
由勾股定理，
四边形是菱形，
，
四边形的面积
2．
【分析】根据平行四边形的判定定理和菱形的性质定理即可得到结论．
【解析】证明：，，
四边形是平行四边形，
在菱形中，，
，
四边形为矩形．
3．
【分析】（1）根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，继而可判断出四边形是矩形；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出，得出，由矩形的面积公式即可得出答案．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：是边长为2的正三角形，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
四边形的面积．
4．
【分析】（1）根据菱形的性质求出，根据平行四边形和矩形的判定得出即可；
（2）根据矩形和菱形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：四边形是菱形，
，
即，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，，
菱形的面积．
5．
【分析】（1）由四边形是菱形，得到对边平行，且为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出度数；
（2）由四边形是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．
【解析】（1）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形．
6．
【分析】（1）根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，可判断出四边形是矩形；
（2）由菱形的面积和勾股定理求出，由矩形的性质即可得出答案．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：菱形边长为10，面积为96，
，，，，，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
矩形的周长．
7．
【分析】（1）求出，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出，即，求出，即得出，根据勾股定理求出，再求出矩形的面积即可．
【解析】（1）证明：，
，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形；
（2）解：设，
四边形是菱形，，
，
，
四边形是矩形，
，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
则，
四边形的面积是．
8．
【分析】（1）求出，根据全等及时向的性质得出，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）①根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，根据矩形的判定得出即可；
②求出是等边三角形，求出和重合，根据菱形的判定得出即可．．
【解析】（1）证明：点是边的中点，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：①当时，四边形是矩形，
理由是：连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
即当时，四边形是矩形，
故答案为：1.5；
②当时，四边形是菱形，
理由是，此时，
即和重合，
由①知：是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
故答案为：3．
9．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，即，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，推出，求出，即可得出答案．
【解析】证明：（1）四边形为平行四边形，
，即，
又，
四边形为平行四边形，
又，
，
四边形为矩形；
（2）四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
平分．
10．
【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）设，则根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：在菱形中，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：设，则
在中，
，
，
．
11．
【分析】（1）由，可得，可求的长，当时，四边形是矩形，列出方程即可解决问题；
（2）根据计算即可．
【解析】（1）在中，，，，
，
，
，
，
，
当时，四边形是矩形，
，
解得．
（2）当面积是的面积的5倍时，
12．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和矩形的判定解答即可；
（2）根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解析】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
于点，于点，
，
在与中，
，
，
．
13．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得出，，再证出，即可得出结论；
（2）由勾股定理可求，由面积法可求解．
【解析】证明：（1），
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形；
（2）如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
．
14．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质求出，即可得出结论；
（2）证，得，由直角三角形的性质得，则，再根据勾股定理求出即可．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：如图，四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
．
15．
【分析】（1）证出四边形有三个直角即可；
（2）由矩形的性质得，由勾股定理求出，再由三角形面积公式即可得答案．
【解析】（1）证明：在中，，是边的中线，
，，
，
为的外角的平分线，
，
，
，
，
四边形为矩形；
（2）解：是边的中线，，
，
由（1）得：四边形是矩形，
，
在中，，
的面积；
故答案为：12．
16．
【分析】（1）证出即可；
（2）由证明，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】（1）证明：，，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
在和中，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的长是．
17．
【分析】（1）由菱形的性质可得，再由点是边的中点，可得，从而可证明，则，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；
（2）①当的值为3时，四边形是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；
②根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定．
【解析】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
点是边的中点，
，
在和中，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）①解：当的值为3时，四边形是矩形．理由如下：
四边形为菱形，
，
点是边的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
故答案为：3；
②证明：，，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
18．
【分析】（1）由矩形性质得出，，由已知可得，，，当时，四边形为矩形，得出方程，解方程即可；
（2）时，，，得出，，，，则四边形为平行四边形，由勾股定理求出，得出，即可得出结论．
【解析】（1）在矩形中，，，
，，
由已知可得，，，
在矩形中，，，
当时，四边形为矩形，
，
解得：，
当时，四边形为矩形；
（2）四边形为菱形；理由如下：
，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
在中，，
，
平行四边形为菱形，
即当时，四边形为菱形．
19．
【分析】（1）证，推出，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①求出，推出，根据矩形的判定推出即可；
②求出是等边三角形，推出，根据菱形的判定推出即可．
【解析】（1）证明：
四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）①解：当时，平行四边形是矩形，
理由是：过作于，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
故答案为：7；
②当时，四边形是菱形，
理由是：，，
，
，，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
故答案为：4．
20．
【分析】（1）证，推出，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①证明，推出，即可得出结论；
②证明是等边三角形，推出，即可得出结论．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
（2）解：①当时，四边形是矩形；理由如下：
过作于，如图所示：
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
平行四边形是矩形，
故答案为：8；
②当时，四边形是菱形，理由如下：
，，
，
，，
是等边三角形，
，
平行四边形是菱形，
故答案为：4．
21．
【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，从而可得四边形是矩形；
（2）根据勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
【解析】（1）四边形是矩形，理由如下：
，
四边形是平行四边形．
又菱形对角线交于点
，即．
四边形是矩形；
（2）四边形是菱形，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
菱形的面积．
22．
【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形；
（2）根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．
【解析】（1）四边形是矩形．
证明：，
四边形是平行四边形．
又菱形对角线交于点
，即．
四边形是矩形．
（2）菱形，
，
，
，
，
的面积，
菱形的面积的面积．
23．
【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形，可得；
（2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出与的长，再根据勾股定理得出的长度即可．
【解析】（1）在菱形中，，．
又，
．
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形．
．
（2）在菱形中，，，
是等边三角形，
，．
在矩形中，．
又矩形中，，
在中，．
24．
【分析】（1）根据菱形的性质得出，再根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形是矩形；
（2）证明是等边三角形，得出，由勾股定理得出，由菱形的性质得出，即可求出四边形的面积．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
在菱形中，，
平行四边形是矩形，
故四边形是矩形；
（2）解：，，
，
，
是等边三角形，
，
在菱形中，
由勾股定理，
四边形是菱形，
，
四边形的面积．
