第9章 中心对称图形-平行四边形
9.9 正方形
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，菱形中，，，则以为边长的正方形的面积为
A．9 B．12 C．15 D．20
2．正方形具有而矩形不具有的性质是
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
4．将一个边长为的正方形与一个长，宽分别为，的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是
A． B． C． D．
5．如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一动点，于，于，则的最小值为
A． B． C．2 D．1
6．如图，在正方形中，，点、是正方形内的两点，且，，则的长为
A．2 B．4 C． D．
7．将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形的边长为4，正方形的边长为3，则正方形的面积为
A．25 B．5 C．16 D．12
8．如图，以边长为4的正方形的中心为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值为
A．2 B．4 C． D．
9．如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点在的延长线上，连接交于点，则的度数为
A． B． C． D．
10．如图1，某款桌布的中间图案由若干个正方形组成，小明买的桌布刚好有两个正方形图案，如图2，若，且点、、、在同一条直线上，则桌布的长为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，直线过正方形的顶点，点、到直线的距离、分别是、，则线段的长为 ．
12．正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，点在正方形内，且，则 ．
14．如图，在正方形中，点、为边和上的点，，，则 ．
15．如图，在正方形中，顶点，，将以为斜边的等腰直角与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第10次旋转结束时，点的坐标为 ．
16．正方形中，，点、分别在、上，且，线段、相交于点，若图中阴影部分的面积为14，则的周长为 ．
17．如图，正方形中，点、分别是、边上的点，且，垂足为点，的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知：如图，在平行四边形中，点、在对角线上，且．
（1）求证：；
（2）若四边形是正方形，且，，则四边形的面积为 ．
20．如图，在正方形中，点、、分别在、、上，且，垂足为．
（1）求证：；
（2）若是的中点，且，，求的长．
21．如图，正方形的对角线、相交于点，将向两个方向延长，分别至点和点，且使．
（1）判断四边形的形状，并证明你的猜想；
（2）若，，求四边形的周长．
22．如图，四边形为正方形，点、分别是、的中点，于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若正方形的边长为2，则线段的长度为 ．
23．如图，正方形中，点在边上，连接，过点作与的延长线相交于点，连接与边相交于点、与对角线相交于点．
（1）若，且，求的长；
（2）若，求证：．
24．阅读分析过程，解决问题：
如图，正方形（四条边都相等，四个角都是，点、在、上，并且，延长至点，使，并连接．
（1）求证：；
（2）若，则的周长 ．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、A
【分析】根据已知可求得是等边三角形，从而得到，从而求出正方形的边长，进而可求出其面积．
【解析】菱形，
，
，
是等边三角形，
，
正方形的边长为3，
正方形的面积为9，
故选：．
2、D
【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．
【解析】因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：．
3、A
【分析】先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质．
【解析】因为矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，
正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，
所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．
故选：．
4、B
【分析】分别计算出各个图形的重叠部分面积即可求解．
【解析】、；
、设重叠的平行四边形的较短边为，则较长边为
由正方形的面积重叠部分的面积个小直角三角形面积，可得可求，
、图与图对比，因为图的倾斜度比图的倾斜度小，所以，图的底比图的底小，两图为等高不等底，所以图阴影部分的面积小于图阴影部分的面积；
、
故选：．
5、B
【分析】连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．
【解析】连接，如图所示：
四边形是正方形，
，，
于，于
四边形为矩形，
，
当时，取得最小值，
此时是等腰直角三角形，
，
的最小值为；
故选：．
6、D
【分析】延长交于，再根据全等三角形的判定得出与全等，得出，由，得出，同理得出，再根据勾股定理得出的长．
【解析】延长交于，如图：
，，，
是直角三角形，
同理可得是直角三角形，
可得是直角三角形，
，
，
同理可得：，
在和中，
，
，
，，
，
同理可得：，
，
故选：．
7、A
【分析】根据正方形的性质证△，推出，根据勾股定理求出即可．
【解析】如图，
根据正方形的性质得：，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
则正方形的面积为25．
故选：．
8、D
【分析】如图，作辅助线；证明，进而得到，此为解决该题的关键性结论；求出的范围，借助勾股定理即可解决问题．
【解析】如图，连接，
四边形为正方形，
，；
，，
；
在与中，
，
，
（设为；
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：
；
，
正方形的边长是4，
，到的距离等于到的垂线段的长度），
由题意可得：，
．
所以线段的最小值为．
故选：．
9、A
【分析】由正方形的性质和菱形的性质可得，，，由三角形的外角性质可求解．
【解析】四边形是正方形，
，，
四边形是菱形，
，
，
故选：．
10、B
【分析】连接，，由正方形的性质可求，，即可求解．
【解析】如图，连接，，
四边形，四边形是正方形，，
，，
点、、、在同一条直线上，
，
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．
【分析】根据正方形的性质可得出、，由垂直的定义结合角的计算即可得出，利用全等三角形的判定定理即可找出，再根据全等三角形的性质即可得出、，由代入数据即可算出结论．
【解析】四边形为正方形，
，．
，，
，，．
，
，
．
在和中，
，
，
，，
．
故答案为：5．
12．
【分析】根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．
【解析】由图形可得：
．
故答案为：8．
13．
【分析】先根据正方形的性质得到，，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，，所以．
【解析】四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，，
，
即，
．
故答案为．
14．
【分析】将绕点顺时针旋转得，先证明，即有，再由，即可推得．
【解析】如图，将绕点顺时针旋转得，
则，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】过点作轴于点，根据，，四边形是正方形，可得，，根据是等腰直角三角形，可得是等腰直角三角形，可得，再根据旋转的性质可得每4次一个循环，进而可得第10次旋转结束时，点的坐标．
【解析】如图，过点作轴于点，
，，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
将以为斜边的等腰直角与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，
第1次旋转结束时，点的坐标为；
第2次旋转结束时，点的坐标为；
第3次旋转结束时，点的坐标为；
第4次旋转结束时，点的坐标为；
每4次一个循环，
，
第10次旋转结束时，点的坐标为．
故答案为：．
16．
【分析】由“”可证，可得，，可求，可得，由勾股定理可求的值，即可求解．
【解析】四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，，
图中阴影部分的面积为14，
，
，
，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
17．
【分析】证明得到，两个三角形的面积都减去的面积得到图中阴影部分的面积．
【解析】四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
图中阴影部分的面积．
故答案为．
18．
【分析】连接．证明，推出，推出点的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，的值最小．
【解析】连接．
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
，
，
最小值．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，即得，根据判定，得到，再根据平角的定义得出，即可判定；
（2）根据正方形的性质证出四边形是菱形，根据勾股定理求出，可得，再根据菱形的面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
在正方形中，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
四边形的面积，
故答案为：8．
20．
【分析】（1）作交于，于．根据正方形的性质证明可得．再证明四边形为平行四边形．即可得结论；
（2）连接、，设，则，根据勾股定理即可求出的长．
【解答】（1）证明：作交于，于．
在正方形中，
，，．
，
．
，
．
．
．
．
在和中，
，
，
．
，
．
，
四边形为平行四边形．
．
，
．
（2）如图，连接、，
，是的中点，
．
在正方形中，
．
，
．
设，则，
在中，由勾股定理得：
．
在中，由勾股定理得：
．
，
．
即，
解得：．
．
21．
【分析】（1）根据正方形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据正方形和菱形的性质以及勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：正方形的对角线，相交于点，
，，
．
，
，即．
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）四边形是正方形，
，，，，
，．
在直角中，由勾股定理知：，
．
．
在中，，．
四边形是菱形，
．
四边形的周长．
四边形的周长是．
22．
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得出结论；
（2）先证明，再证明，利用全等三角形的性质即可得出结论；
（3）先用等面积法求出的长度，再由（2）的结论得出的长度，利用勾股定理即可求出的长度．
【解答】（1）四边形为正方形，
，，
点、分别是、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）证明：如图，取和交于，
，，
于，
是的中点，
，
是等腰三角形，
是的中点，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：，，
，
又，
，
解得，
，
，
故答案为．
23．
【分析】（1）在正方形中，由与垂直，利用等式的性质得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，进而利用计算的长；
（2）在上取一点，使，连接，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到，，进而确定出三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质即可得证．
【解答】（1）解：四边形是正方形，且，
，，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）在上取一点，使，连接，
由（1）得是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，（对顶角相等），
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
．
24．
【分析】（1）如图，将绕点逆时针旋转，得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，
将绕点逆时针旋转，得到，
则，
，，，，
，
，，三点共线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
的周长，
，
的周长，
故答案为：4．
