第9章 中心对称图形-平行四边形
9.4 平行四边形的判定
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．四边形中，．要判别四边形是平行四边形，还需满足条件
A． B． C． D．
2．四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，四边形的对角线，交于点，则不能判断四边形是平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
4．下列说法不正确的是
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
5．如图，四边形的对角线、相交于点，下列条件中，一定能判定四边形是平行四边形的是
A．， B．
C．， D．
6．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
7．已知四边形的对角线、相交于点，给出下列5个条件：①；②；③；④；⑤，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形是平行四边形的有 组．
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在平行四边形中，，是对角线上不同的两点，连接，，，．下列条件中，不能得出四边形一定是平行四边形的为
A． B． C． D．
9．如图，在中，点，分别在边，上，有下列条件：①；②；③；④．其中，能使四边形是平行四边形的条件有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在中，，，点是上一个动点，以、为邻边作另一个，当点由点向点运动时，下列说法正确的选项是
①的面积先由小变大，再由大变小
②的面积始终不变
③线段最小值为
A．① B．② C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上。
11．如图，是的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需增加的一个条件是____________．
12．如图，在平面直角坐标系中．已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为____________．
13．如图，在四边形中，若，则添加一个条件____________，能得到平行四边形．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
14．在平面直角坐标系中，，，，在轴上，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标____________．
15．如图，四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，直线截原四边形为两个新四边形．则当，同时出发________秒后其中一个新四边形为平行四边形．
16．如图，在平面直角坐标系中，有一，且、、，已知△是由旋转得到的．若点在轴上，点在直线上，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点的坐标为____________．
17．在平面直角坐标系里，，，，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为____________．
18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在的正半轴上，且，在直角坐标平面内确定点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请写出点的坐标为____________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，点，，，在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
20．，是四边形对角线上的两点，，，．
（1）根据题意，画出图形；
（2）求证：①；
②四边形是平行四边形．
21．已知，如图所示，，，点、在上．，连接、，求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
22．如图，四边形中、相交于点，延长至点，连接并延长交的延长线于点，，．
（1）求证：是线段的中点：
（2）连接、，证明四边形是平行四边形．
23．如图，，，分别为、上的点，连接，分别与、相交于点，．，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
24．已知，如图，在平行四边形中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交，于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、D
【分析】利用平行四边形的五种判定定理可得出答案；
【解析】，
，，
．，可得，这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
．从题目已知条件即可得出，无法证明四边形为平行四边形，此选项错误；
．同理，这样的四边形是等腰梯形，故此选项错误；
．，可得，则，故四边形是平行四边形，此选项正确；
故选：．
2、D
【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
【解析】，，
四边形是平行四边形，故选项不合题意；
，，
四边形是平行四边形，故选项不合题意；
，，
四边形是平行四边形，故选项不合题意；
，，
四边形不一定是平行四边形，故选项符合题意；
故选：．
3、D
【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
【解析】、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
、，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
、，，
又，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
、，不能判断四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：．
4、B
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解析】、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
选项不符合题意；
、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
选项符合题意；
、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
选项不符合题意；
、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
选项不符合题意；
故选：．
5、A
【分析】由两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论．
【解析】一定能判定四边形是平行四边形的是，，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
故选：．
6、C
【分析】分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得出结论．
【解析】、，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
、，，，不能判定，
不能得到，
不能得到，
不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
、，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：．
7、C
【分析】根据平行四边形的判定进行选择即可．
【解析】①与⑤根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形；
①与③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形；
①与④，⑤与④根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形；
①与②，②与⑤根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形．
所以能推出四边形为平行四边形的有6组．
故选：．
8、B
【分析】连接与相交于，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解析】如图，连接与相交于，
在中，，，
要使四边形为平行四边形，只需证明得到即可；
、若，则，即，故本选项不符合题意；
、若，则无法判断，故本选项符合题意；
、能够利用“角角边”证明和全等，从而得到，故本选项不符合题意；
、由，从而推出，然后得出，，，由全等可知，所以四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：．
9、C
【分析】在中，，，又，得出，即可得出四边形是平行四边形，①正确；由，，得出四边形是平行四边形，②正确；由平行四边形的性质和证出，得出四边形是平行四边形，④正确；③不正确；即可得出结果．
【解析】①正确，理由如下：
四边形平行四边形，
，，
又，
．
又，
四边形是平行四边形．
②正确，理由如下：
，，
四边形是平行四边形；
④正确；理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
．
，
．
．
．
，
四边形是平行四边形．
不能得出四边形是平行四边形，
③不正确；
能使四边形是平行四边形的条件有3个．
故选：．
10、D
【分析】过点作于点，根据三角形的面积公式知的面积始终不变化，进而根据平行四边形与三角形的面积关系得出的面积始终不变，便可判断①、②的正误；连接，与交于点，由于始终经过的中点，当与垂直时，的值最小，求出此时的的值便可．
【解析】过点作于点，
则，
与的值始终不变化，
的面积始终不变化，
的面积的面积，
的面积始终不变
①错误，②正确；
连接，与交于点，
四边形是平行四边形，
，，
当时，的值最小，的值也最小，
此时，，
，，
，
，
，
，
线段最小值为．
③正确，
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．
【分析】根据平行四边形的判定添加条件即可．
【解析】
如图，连接交于点，
四边形为平行四边形，
，，
当时，可得，则四边形为平行四边形，
可增加，
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】当平行四边形的一组对边平行于轴时，可得可能的2个点；当平行于轴的一边为平行四边形的对角线时，利用平移的性质可得另一点．
【解析】①如图1，以为边时，、两点之间的距离为：，
第四个顶点的纵坐标为2，横坐标为，或，即或；
②如图2，以为对角线时，从到，是横坐标减1，纵坐标减2，
第四个顶点的横坐标为：，纵坐标为，即
综上所述，第四个顶点的坐标为或或．
故答案为：或或．
13．
【分析】可再添加一个条件，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
【解析】根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：．
故答案为：（答案不唯一）．
14．
【分析】需要以已知线段为边和对角线分类讨论，为边时，利用对边的平行且相等的性质，为对角线时，利用对角线互相平分，对角线的交点也是对角线的中点，从而求出点坐标．
【解析】由点的坐标可以判断出点在直线上
已知、两点，所以以为边和对角线分类讨论
当为边时，，，如图
可证得
，
若点在轴正半轴时
点坐标为，
点坐标为，
若点在轴负半轴时
点坐标为，
点坐标为，
当为对角线时
与相交于的中点，
设点可得点坐标为
将点坐标代入解析式可得
点坐标为，
故点的坐标为，或，或，．
15．
【分析】当时，四边形是平行四边形，建立关于的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的值即可；
当时，四边形是平行四边形；建立关于的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的值即可．
【解析】根据题意有，，，．
①，
当时，四边形是平行四边形．
，
解得．
时四边形是平行四边形；
②，，
，，
，
，
当时，四边形是平行四边形．
即：，
解得，
当时，四边形是平行四边形．
综上所述，当，同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案是：4或5．
16．
【分析】要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则，在直线上到轴的距离等于2 的点，就是点，因此令或求得的值即可．
【解析】点在轴上，点在直线上，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，
，
点在直线上，
令时，，解得，
令时，，解得，
点的坐标为，，
当为平行四边形的对角线时，
的中点坐标为，
的纵坐标为4，
代入得，，
解得，
，
的中点坐标为：，
直线的解析式为：，
当时，即，
解得：，
故为或或．
故答案为或或．
17．
【分析】根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形结合平行四边形的性质、、、的坐标求出即可．
【解析】
如图有三种情况：①平行四边形，
，，，
，，
则的坐标是；
②平行四边形，
，，，
，，
则的坐标是；
③平行四边形，
，，，
的纵坐标是，横坐标是，
则的坐标是，
故答案为：或或．
18．
【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形．
【解析】如图，①当为对角线时，易求；
②当为对角线时，，且．所以；
③当为对角线时，，且．则，，所以．
综上所述，符合条件的点的坐标是，，．
故答案为：，，，．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得，，则，即可得出结论．
【解答】证明：（1），
，
，
，
即，
在和中，
，
；
（2）由（1）得：，
，，
，
四边形是平行四边形．
20．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）①根据全等三角形的判定定理证得；
②利用①中的全等三角形的对应边相等得到，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”即可证得结论．
【解答】（1）解：如图，即为所画的图形；
（2）证明：①如图，，，
，，
又，
，
即，
在与中，
，
；
②由①知，，
则，
又，
四边形是平行四边形．
21．
【分析】（1）要证，需证．由，可知，由，可知，即可证得．
（2）由得，，故，即，，，故四边形是平行四边形．
【解答】证明：（1），
．
在和中，
，
．
．
（2）由（1）得，，
，
即．
．
，
四边形是平行四边形．
22．
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，则结论得出；
（2）证明．则，可得出结论．
【解答】证明：（1），
，
，
四边形是平行四边形，
，互相平分；
即是线段的中点．
（2），
，
在和中，
，
．
，
又，
四边形是平行四边形．
23．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可得到结论．
【解答】证明：（1），
，
，
在与中，
，
；
（2），
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
24．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得出，，再根据平行线的性质及补角的性质得出，，从而利用可作出证明；
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得，，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，
，
又，
．
在与中，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，
又由（1）得，
，，
四边形是平行四边形．
