平原县2023-2024学年第一学期九年级期末测试
数学试题
本试题分选择题，48分；非选择题，102分；全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共计48分）
一、选择题：（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选均计零分．）
1．下列选项中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0或2 D．1或2
4．如图，在的方格中，点都是格点，从四点中任意取一点，以所取点及为顶点画三角形，所画三角形是直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．若两个点均在反比例函数的图象上，且，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，中，于点，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
7．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中：
①如果，那么
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等
④关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
10．如图，在中，，，是的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，分别与相交于点．若圆半径为2．
则阴影部分面积（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方形的边上取一点，连接并延长交的延长线于点，将射线绕点顺时针旋转后交的延长线于点，连接，若，
则的大小是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正三角形和正三角形的边在同一条直线上，将向右平移，直到点与点重合为止，设点平移的距离为．两个三角形重合部分的面积为，现有一正方形的面积为，已知，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分，只要求填写最后结果．）
13．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______．
14．小刚和小明在太阳光下行走，小刚身高，他的影长为，小刚比小明矮，此刻小明的影长是______．
15．函数的部分图像如图所示，当时，的取值范围是______．
第15题图
16．如图，在中，，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（其中点为切点），则线段长度的最小值为______．
第16题图
17．已知反比例与的图象如图所示，为轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图象于点，点（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为______．
第17题图
18．如图，在平面直角坐标系内，，，以为直角边向外作，使，，以为直角边向外作，使，，按此方法进行下去，得到，，，若点，则点的横坐标为______．
第18题图
三、解答题（本大题共7小题，共计78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）．
20．（10分）为弘扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校组织学生参加“诗词朗诵，传承经典”活动，活动结束后对此次活动中的读书情况随机抽取部分学生进行问卷调查，并将统计结果绘制成如图所示的统计图（不完整）：
（1）补全条形统计图，本次调查的学生有______名；
（2）若该校八年级共有400名学生，则读书数量为4本的学生大约有多少名？
（3）已知读书数量为4本的学生中有3名女生，现在准备从读书数量为4本的学生中随机选2名学生进行经验分享，请用列表法或画树状图的方法，求选中的2名学生恰好是两名女生的概率．
21．某动物园根据杠杆原理上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下：
如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤（重量可以忽略不计）和装有大象的铁笼，其中弹簧秤与钢梁之间的距离为，装有大象的铁笼与钢梁之间的距离为．已知当钢梁又呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧秤显示的读数为，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量为．
（1）求装有大象的铁笼及其挂钩的总重量；
（2）若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量不变，那么是关于的什么函数？直接写出函数解析式；
（3）当时，求弹簧秤的显示读数；当弹簧秤的显示读数，求．
22．（12分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为，又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上，参考数据：，，）
23．（12分）某商店经营学习用具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件学习用具售价不能高于40元．设每件学习用具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元．
（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）每件学习用具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件学习用具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
24．（12分）如图，是的直径，相交于点，过点作与的延长线相交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
25．（14分）如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，且当和时，的值相等．直线与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）为线段上一点，过点向轴引垂线，垂足为．若点在线段上运动（点不与点、重合），设的长为，四边形的面积为．求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（3）在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
九年级数学参考答案
1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．D
13．12 14． 15．x＜-1或0＜x＜1 16． 17．7 18．-．
19．（1）解：，
，
，即，
，
，；
（2）解：，
，
，
，即，
或，
，．
20．（1）解：本次调查的学生人数有∶名，
则读书数量为4本的学生人数为∶名，
补全条形统计图如下∶
故答案为∶；
（2）解：名，
答∶若该校八年级共有名学生，则读书数量为本的学生大约有名；
（3）解：读书数量为本的学生中有名女生，则读书数量为本的学生中有名男生，
画树状图如下∶
共有种等可能的结果，其中选中的名学生恰好是两名女生的结果有种，
∴选中的名学生恰好是两名女生的概率为．
21．（1）解：由题意，将，，代入中，
得，解得，
答：大象的铁笼及其挂钩的总重量为；
（2）解：由题意，，
∴是关于的反比例函数，且；
（3）解：当时，，
当时，由得
22．解：过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，...2分
由题意得，，，，，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：教学楼高约米．
23．（1）解：根据题意得：
自变量的取值范围是：且为正整数；
（2）当时，得
解得(不合题意，舍去)，
当时，
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；
（3）根据题意得：
∴当时，有最大值为2722.5，
∵且为正整数，
∴当时，(元)，当时，(元)，
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利得，最大的月利润是2720元..12分
24．（1）证明：连接，连接交于，
，
，
，
，
，，
，
半径，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，，
是的中位线，
．
25．解：（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．
当x=1时，y=3x﹣7=﹣4，因此抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）．
当x=4时，y=3x﹣7=5，因此直线y=3x﹣7与抛物线的另一交点为（4，5）．
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，则有：a（4﹣1）2﹣4=5，解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
（2）根据（1）的抛物线可知：A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；
易知直线BM的解析式为y=2x﹣6；
当x=t时，y=2t﹣6；
因此PQ=6﹣2t；
∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=×（3+6﹣2t）×t+×3×1
即：S四边形PQAC=﹣t2+t+（1＜t＜3）．
（3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．
∵点N在BM上，不妨设N点坐标为（m，2m﹣6），则CM2=12+12=2，CN2=m2+[（6﹣2m）﹣3]2，MN2=（m﹣1）2+[4﹣（6﹣2m）]2．
△NMC为等腰三角形，有以下三种可能：
①若CN=CM，则m2+[（6﹣2m）﹣3]2=2，∴m1=，m2=1（舍去），∴N（，﹣）．
②若MC=MN，则（m﹣1）2+[4﹣（6﹣2m）]2=12+12，∴m=1±．
∵1＜m＜3，∴m=1﹣舍去，∴N（1+﹣4）．
③若NC=NM，则m2+[3﹣（6﹣2m）]2=（m﹣1）2+[4﹣（6﹣2m）]2．
解得：m=2，∴N（2，﹣2）．
故假设成立．
综上所述：存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为：
N1（，﹣），N2（1+﹣4），N3（2，﹣2）．
