河南省商丘市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关系式中，是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下面是4个有关航天领域的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在一个不透明的袋子里装有红球．黄球共个，其中红球有2个，这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球，摸出的是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．下列四条线段中，能与，，这三条线段组成比例线段的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图象中，有可能是函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
6．“绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，年新能源汽车年销售量为万辆，预计年新能源汽车手销售量将达到万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．对于反比例函数，下列结论中错误的是（ ）
A．图像位于第二，四象限
B．图像关于y轴对称
C．当时，y随x的增大而增大
D．若点在图像上，则点也一定在图像上
9．如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，若路面，此圆的半径的长为5，则净高的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．9
10．如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（ ）
A． B．10 C． D．
二、填空题
11．“海日生残夜，江春入旧年”，如图所记录的日出美景中，太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 ．
12．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ．
13．抛物线的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是 ．
14．小诚和爸爸搭乘长途汽车回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是长途汽车座位示意图），则小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是 ．
15．如图，已知反比例函数，，点A在y轴的正半轴上，过点A作直线轴，且分别与两反比例函数的图象交于点C和点B，连接，，若的面积为9，，则 ．
三、解答题
16．用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
17．如图．在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网络的格点上，已知点C的坐标为．
(1)以点O为位似中心，在给出的网格内作使与位似，并且点的坐标为；
(2)与的相似比是______．
18．如图，文文应用所学的三角形相关知识测量河南广播电视塔的高度，她站在距离塔底A点处的D点，测得自己的影长DE为，此时该塔的影子为，她测得点D与点C的距离为，已知文文的身高DF为，求河南广播电视塔的高．（图中各点都在同一平面内，点A，C，D，E在同一直线上）
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出当时，关于x的不等式的解集．
20．掷实心球是2024年郑州巿高中阶段学校招生体育考试的抽考项目，如图1是一名男生投实心球，实心球的行进路线是—条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为5m时，实心球行进至最高点4m处．
(1)求y关于x的函数表达式（不写x的取值范围）；
(2)根据郑州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于m时，此项考试得分为满分分，请判断该男生在此项考试中是否能得满分，并说明理由．
21．如图，是的直径，点C，D是上位于直线异侧的两点，，交的延长线于点E，且评分．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，
①求的长；
②图中阴影部分的面积为______．
22．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交干点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标．
23．已知与都为等腰三角形，，．
(1)当时．
①如图1，当点D在上时，与的数量关系是______；
②如图2，当点D不在上时，与的数量关系是______．
(2)如图3（点B位于的内部），当时．
①探究线段与数量关系，并说明理由；
②当，，时，请直接写出的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫做反比例函数，据此即可求解
【详解】解：由反比例函数的定义可知，B选项符合题意；
故选：B
2．C
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；
B中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；
C中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
D中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键．
根据简单的概率计算公式求解作答即可．
【详解】解：由题意知，摸出的是红球的概率是，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握若四条线段满足，则是成比例的线段是解题的关键．
根据成比例的线段的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，故A不符合要求；
，故B不符合要求；
，故C不符合要求；
，故D符合要求；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，若开口向上，则；反之，．对称轴为轴；图象与轴交点在轴上方，则；反之，则，据此即可求解．
【详解】解：若，则图象开口向上，对称轴为轴，与轴交点在轴上方，故A满足题意；
若，则图象开口向下，对称轴为轴，与轴交点在轴下方；
故选：A
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
由题意知，年新能源汽车手销售量将达到万辆，年新能源汽车手销售量将达到万辆，然后依据题意列方程即可．
【详解】解：依题意得，，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
先计算，解不等式即可．
【详解】解：，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
，
∴．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了反比例函数的图像分布，性质，对称性和图像过点问题，正确理解性质，是解题的关键．
【详解】反比例函数，
A. 图像位于第二，四象限，正确，不符合题意；
B. 图像关于原点对称，错误，符合题意；
C. 当时，y随x的增大而增大；正确，不符合题意；
D. 若点在图像上，则，故点也一定在图像上，正确，不符合题意；
故选B．
9．D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
由题意知，，，勾股定理求，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
由勾股定理得，，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理等知识点，连接，延长交于点，可证得，求出，即可求解．
【详解】解：连接，延长交于点，如图所示：
由题意得：
，
∴是等边三角形，
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴，
∵，
∴
∴
故选：C
11．相交
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据直线与圆有两个公共点，直线与圆相交，即可得到答案，掌握直线和圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
【详解】解：由题可知，太阳与海天交接所看成的圆和直线有两个公共点，
∴太阳和海天交界处所看出看成的直线位置关系是相交，
故答案为：相交．
12．
【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：如图：
，
，即相似比为,
，
,
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
由图象可知，抛物线的图象开口向下，对称轴为直线，图象经过点，则关于对称轴对称的点坐标为，结合图象作答即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的图象开口向下，对称轴为直线，图象经过点，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∴当时，x的取值范围是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解．
【详解】解：画出树状图如下：
一共有种可能的情况，小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座的情况有种，
∴小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是：，
故答案为：
15．
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
根据反比例函数系数k的几何意义得到，而的面积为9，，根据三角形面积公式得到，即有，然后计算出，最后计算它们的乘积．
【详解】解：轴，
,
的面积是9，
故答案为：．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】（）方程整理得，再利用直接开平方法解答即可求解；
（）移项，利用配方法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：去括号得，，
移项、合并同类项得，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解： 移项得，，
配方得，，
即，
∴
∴，．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查位似图形的作法及性质：
（1）利用点C和的坐标特征得到位似比，进而得到、的坐标，然后描点连线即可；
（2）根据位似比等于相似比即可求解．
【详解】（1）解：点C的坐标为，点的坐标为，
，，
与位似，点O为位似中心，
与的位似比为：，
连接至，使，连接至，使，得到、，
如下图所示；
（2）解：由（1）知与的位似比为：，
与的相似比是，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用，先证，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：太阳光是平行光线，
．
由题意得，．
，
，
．
，，
．
，，
，
．
即河南广播电视塔的高度为．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用图象求不等式的解集：
（1）先求出点A的坐标，再代入即可求解；
（2）反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
．
即点A的坐标为．
∵点A在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）知点A的坐标为，
结合图象可得当时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
当时，关于x的不等式的解集为．
20．(1)；
(2)该男生在此项考试中能得满分，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，掌握待定系数法是解题关键．
（1）设y关于x的函数表达式为．把代入即可求解；
（2）计算时的自变量的值，即可进行判断．
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为．
把代入表达式得:，
解得．
．
（2）解：该男生在此项考试中能得满分．理由如下：
令，即，
解得，（舍去）．
，
该男生在此项考试中能得满分．
21．(1)见解析；
(2)①；②
【分析】本题考查了切线的证明，圆中阴影面积的计算，垂径定理的应用，勾股定理的应用
（1）连接，证明即可．
（2）①过点O作，垂足为F,利用矩形的判定和勾股定理，垂径定理计算即可．
②根据计算即可．
【详解】（1）证明：连接．
∵平分，
．
，
．
．
．
，
．
∵点D在上，
为的切线．
（2）解：①如图，过点O作，垂足为F．
，
．
，
．
．
在中，．
由（1）得，，
．
四边形为矩形．
．
②根据题意，得
，
．
．
22．(1)；
(2)．
【分析】（）利用待定系数法先求得抛物线的解析式；
（）先利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，由对称可得点的坐标为，将其代入抛物线的解析式即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称，掌握待定系数法求函数解析式及关于轴对称的点坐标特征是解题的关键．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
由（）中得，点的坐标为，
将，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵点与点关于轴对称，
∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，
，
解得，，
又∵点不与点重合，
，
，
∴点的坐标为．
23．(1)①；②；
(2)①，理由见解析；②．
【分析】（1）①根据题意当时，根据等腰三角形的性质以及线段的和差即可求解；
②利用证明，由三角形全等的性质即可求解．
（2）①根据已知，利用两边对应成比例且夹角相等证得，利用三角形相似的性质即可求解；
②如图：过点D作垂直于延长线于H，根据题意得出，再根据勾股定理可得，再根据线段的和差可得，再利用勾股定理可得、即可解答．
【详解】（1）解：①∵与都为等腰三角形，
∴，，．
，，，
，，
；
故答案为：；
②，理由如下：
，，
，
在和中，，
，
．
故答案为：；
（2）解：①，理由如下，
当时，，
，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，则，
，
同理：；
∵，，
∴，
在和中，
，
，
，
；
②当点B在内部时，如图：过点D作垂直于延长线于H，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形基本性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形的相关判定及性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
