第二章 二次函数
1 二次函数
能力提升
1.给出下列函数(y是x的函数):①y=-2x2+1;②y=2(x-1)2;③y=-x+1;④y=(x-1)2+2;⑤y=x2-4x+m;⑥y=-.其中二次函数有( ).
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
2.下列函数关系中,可以看作二次函数的是( ).
A.多边形的对角线条数m与多边形的边数n之间的关系
B.正方体的体积V与棱长a之间的关系
C.直流电源条件下,电压和电阻的关系
D.圆的周长和圆的半径之间的关系
3.已知二次函数y=ax2+bx-1(a≠0),当x=1时y=1,则代数式1-a-b的值为( ).
A.-3 B.-1 C.2 D.5
4.某厂今年1月新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年3月的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y= .
5.如图,等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm,AC与MN在同一条直线上,开始时点A与点N重合.让△ABC以2 cm/s的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数关系式为 .
(第5题)
6.在冬天为了给蔬菜提供适宜的生长温度,需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图),则需要塑料布y(m2)与半径R(m)的函数关系式是 .(不考虑塑料布埋在土里的部分)
(第6题)
7.如图,矩形的长是4 cm,宽是3 cm,如果将长和宽都增加x cm,那么面积增加y cm2.
(第7题)
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当长和宽增加多少时,面积增加8 cm2
8.某公司试销一种成本为30元/件的新产品,按规定试销时的销售价格不低于成本价格,又不高于80元/件,试销中每天的销售量y(件)与销售价格x(元/件)满足下表中的函数关系.
x/(元/件) 35 40 45 50 55
y/件 550 500 450 400 350
(1)试求y与x之间的函数关系式;
(2)设公司试销该产品每天获得的毛利润为S(元),求S与x之间的函数关系式.(毛利润=销售总价-成本总价)
创新应用
9.如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形,并解答有关问题:
(第9题)
(1)在第n个图中,每一横行共有 块瓷砖,每一竖列共有 块瓷砖.(均用含n的代数式表示)
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中的n的函数关系式.(不要求写出自变量n的取值范围)
(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求此时n的值.
(4)若黑瓷砖每块4元,白瓷砖每块3元,在问题(3)中,共需花多少元钱购买瓷砖
(5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形 请通过计算说明为什么.
参考答案
能力提升
1.B 根据二次函数的定义,知①②④⑤是二次函数,共4个.
2.A 选项A中的关系式为m=n2-n;选项B中V=a3;选项C中U=IR;选项D中C=2πr.所以只有A符合二次函数关系式.
3.B 把x=1,y=1代入表达式,得a+b-1=1,
即a+b=2,故1-a-b=-1.
4.a(1+x)2
5.y=(20-2t)2 重叠部分为等腰直角三角形,它的边长是(20-2t)cm,所以面积为y=(20-2t)2.
6.y=30πR+πR2 塑料布展开后为矩形和两个半圆,所以它的面积等于半圆的周长乘30加上两个半圆的面积.
7.解 (1)y=(4+x)(3+x)-12=7x+x2.
(2)由8=7x+x2,得x1=1,x2=-8(舍去).
故当长和宽增加1 cm时,面积增加8 cm2.
8.解 (1)设y与x之间的函数关系满足y=kx+b.
把x=40,y=500;x=50,y=400分别代入上式得解得
∴y=-10x+900.
∵表中其他对应值都满足y=-10x+900,
∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+900.
(2)毛利润S=(x-30)·y
=(x-30)(-10x+900)
=-10x2+1 200x-27 000,
即S=-10x2+1 200x-27 000.
创新应用
9.解 (1)n+3 n+2
(2)y=(n+3)(n+2),即y=n2+5n+6.
(3)当y=506时,n2+5n+6=506,
即n2+5n-500=0,
解得n1=20,n2=-25(舍去).即n=20.
(4)白瓷砖块数是n(n+1)=20×(20+1)=420,黑瓷砖块数是506-420=86.购买瓷砖共需86×4+420×3=1 604(元).
(5)若黑瓷砖与白瓷砖块数相等,则n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1),化简得n2-3n-6=0,解得n1=,n2=(舍去).
∵n的值不为正整数,
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.2 二次函数的图象与性质
第1课时
能力提升
1.(2022黑龙江中考)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点 ( ).
A.(2,4) B.(-2,-4)
C.(-4,2) D.(4,-2)
2.已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则( ).
A.y1
A.y=2x+2 B.y=x+4
C.y=-x+2 D.y=x+2
4.已知二次函数y=(m+1)x2的图象过点(-2,4),则m= ,这个二次函数的表达式为 .当x<0时,y随x的增大而 ;当x>0时,y随x的增大而 .
5.已知二次函数y=x2的图象如图所示,线段AB∥x轴,交抛物线于A,B两点,且点A的横坐标为2,则AB的长度为 .
(第5题)
6.已知点A(1,a)在抛物线y=x2上.
(1)求点A的坐标.
(2)在x轴上是否存在点P,使△OAP是等腰三角形 若存在,写出点P的坐标;若不存在,说明理由.
7.如图,直线l经过A(6,0)和B(0,6)两点,它与抛物线y=x2在第一象限内相交于点P,连接OP,求△AOP的面积.
(第7题)
创新应用
8.先阅读后解答:已知点A(-1,m),B(-2,n)在二次函数y=-x2的图象上,比较m和n的大小.
解:由于当x<0时,y=-x2的函数值y随x的增大而增大,而-1>-2,因此m>n.利用以上的解答信息解答下面的问题:
已知点A(a2+1,m)与点B(-1,n)在二次函数y=x2的图象上,试比较m和n的大小.
参考答案
能力提升
1.A
2.C ∵a<-1,∴a-1
4.0 y=x2 减小 增大 5.4
6.解 (1)∵点A(1,a)在抛物线y=x2上,
∴将点A的坐标代入y=x2中得a=12=1.∴点A的坐标为(1,1).
(2)假设存在点P,根据△OAP是等腰三角形,
当OA=AP时,OP=1+1=2,即点P的坐标是(2,0);
当AP=OP时,易得点P的坐标是(1,0);
当OA=OP时,此时符合条件的点P的坐标是(,0)或(-,0).
综上可知,点P的坐标是(2,0)或(1,0)或(,0)或(-,0).
7.解 设直线l的函数表达式为y=kx+b,把A(6,0)和B(0,6)的坐标代入y=kx+b,得k=-1,b=6,∴y=-x+6.解
∵点P在第一象限内,∴P(2,4),
∴△AOP的面积为6×4=12.
创新应用
8.解 由于点A(a2+1,m)在抛物线y=x2上,而a2+1>0,因此点C(-(a2+1),m)也在抛物线y=x2上,且与点A关于y轴对称.而-(a2+1)≤-1(当a=0时,-(a2+1)=-1),且当x<0时,y=x2的函数值y随x的增大而减小,所以m≥n.第2课时
能力提升
1.对于二次函数y=(a2+3)x2,下列命题正确的是( ).
A.对于任意实数x,都有y>0
B.当a<0时,抛物线开口向下
C.此抛物线的对称轴是y轴,顶点是坐标原点
D.当x<0时,y的值随x值的增大而增大
2.在二次函数①y=3x2;②y=x2;③y=x2中,它们的图象在同一平面直角坐标系中的开口大小关系是( ).
A.②>③>①
B.②>①>③
C.③>①>②
D.③>②>①
3.(2022湖北荆门中考)抛物线y=x2+3上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若y1
4.如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点,则实数a的取值范围是( ).
(第4题)
A.≤a≤3 B.≤a≤1
C.≤a≤3 D.≤a≤1
5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为 .
(第5题)
6.已知抛物线y=x2-k(k>0)的顶点为P,与x轴交于点A,B,且△ABP是等边三角形,则k的值是.
7.如图,小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分.若命中篮圈中心,求他与篮底的距离l.
(第7题)
创新应用
8.如图,矩形ABCD的顶点B,C在x轴上,A,D在抛物线y=-x2+2上,矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内.
(第8题)
(1)设点A的坐标为(x,y),试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数表达式,并求自变量x的取值范围.
(2)是否存在这样的矩形ABCD,使它的周长为9 试证明你的结论.
参考答案
能力提升
1.C 由a2+3>0,故抛物线开口向上,y≥0,A,B错误.该抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为y轴.当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小,D项错误.
2.A 在y=ax2(a≠0)中,|a|越大,开口越小;|a|越小,开口越大.故选A.
3.D
4.A 由题图可知,当抛物线经过点(1,3)时,amax=3,当抛物线经过点(3,1)时,amin=,故a≤3.
5.6 由y=ax2+3,得A(0,3).把y=3代入y=x2,解得x=±3,∴点B(-3,3),点C(3,3),
∴BC=6.
6.3 由题意得P(0,-k),PO=k,OA=OB,∠OPB=30°.由tan 30°=,得OB=k.
∴B,将其代入y=x2-k,得-k=0,解得k1=0(舍去),k2=3.故k=3.
7.解 由题意,得当y=3.05时,3.05=-x2+3.5,解得x=±1.5.∵篮圈中心在第一象限,
∴篮圈中心的坐标是(1.5,3.05).
∴他与篮底的距离l=2.5+1.5=4(m).
答:他与篮底的距离l为4 m.
创新应用
8.解 (1)∵AD=BC=2|x|,∴AD+BC=4|x|.
AB=CD=|y|=y,
∴AB+CD=2y=2
∴P=2+4|x|=-x2+4|x|+4.
对于抛物线y=-x2+2,令y=0,
则-x2+2=0,∴x=±2.
∴x的取值范围是-2
证明如下:假设存在矩形ABCD,其周长为9,
当0
∵Δ<0,∴该方程无实数根.
当-2
∵Δ<0,∴该方程无实数根.
由此可知,不存在周长为9的矩形ABCD.第3课时
能力提升
1.图中的两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系不正确的是( ).
(第1题)
A.h=m
B.k>n
C.k=n
D.h>0,k>0
2.如图,二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A,B(-1,0)两点,则下列说法正确的是( ).
(第2题)
A.a<0
B.点A的坐标为(-4,0)
C.当x<0时,y随x的增大而减小
D.图象的对称轴为直线x=-2
3.已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是( ).
A.6 B.5 C.4 D.3
4.已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .(用“<”连接)
5.如图,在 ABCD中,BC=6,S ABCD=12,则抛物线的表达式为 ;若将抛物线向左平移,使它的对称轴为y轴,则应向左平移 个单位长度.
(第5题)
6.二次函数y=a(x+m)2的图象如图所示.
(第6题)
(1)求二次函数的表达式.
(2)将抛物线y=-x2经过怎样的平移才能得到此抛物线
(3)请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质.
(4)将(1)中所求的抛物线绕顶点旋转180°,求旋转后的抛物线的函数表达式.
7.已知y=a(x-t-1)2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的图象的顶点是A,y=(x-1)2的图象的顶点是B.
(1)判断点A是否在y=(x-1)2的图象上,为什么
(2)若y=a(x-t-1)2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的图象经过点B,求a的值.
创新应用
8.杂技团进行杂技表演时,演员从跷跷板前端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体在空中运动的路径是一条抛物线.已知演员跳离跷跷板时的高度为 m,飞行的最大高度为5 m,此时离起跳点A的水平距离为 m.
(第8题)
(1)建立适当的平面直角坐标系,并求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知人梯高BC等于 m,在某次表演中,起跳点A到人梯的水平距离为4 m,问此次表演是否成功 请说明理由.
参考答案
能力提升
1.C
2.D 由二次函数y=a(x+2)2+k的图象开口方向向上,知a>0,故A错误;
图象对称轴为直线x=-2,且过B(-1,0),故A点的坐标为(-3,0),故B错误,D正确;
由图象知,当x<0时,由图象可知y随x的增大先减小后增大,故C错误.故选D.
3.D 把A(0,2),B(8,3)代入y=a(x-h)2+k(a>0),得ah2+k=2,64a-16ah+ah2+k=3,
∴64a-16ah=1,即16a(4-h)=1.
∵a>0,∴4-h>0,h<4,因此,只有选项D符合要求,故选D.
4.y2
∵2-<2<4,且抛物线开口向上,
∴y2
∴C(3,0).设抛物线表达式为y=a(x-3)2,把A(0,2)代入,得a=,∴y=(x-3)2.将抛物线向左平移3个单位长度后,它的对称轴为y轴.
6.解 (1)由图象可知,顶点坐标为(2,0),∴m=-2.
将点(0,-1)的坐标代入y=a(x-2)2,得-1=4a,解得a=-,
∴二次函数的表达式为y=-(x-2)2.
(2)将抛物线y=-x2向右平移2个单位长度即可得到抛物线y=-(x-2)2.
(3)∵y=-(x-2)2,
∴顶点坐标为(2,0),对称轴为直线x=2,
抛物线开口向下,当x=2时函数有最大值0;
当x<2时,y随x的增大而增大;当x>2时,y随x的增大而减小.
(4)将(1)中所求的抛物线绕顶点旋转180°,旋转后的抛物线的表达式为y=(x-2)2.
7.解 (1)点A在y=(x-1)2的图象上.理由:y=a(x-t-1)2+t2的图象的顶点是A(t+1,t2),且当x=t+1时,y=(x-1)2=(t+1-1)2=t2,故点A在y=(x-1)2的图象上.
(2)y=(x-1)2的图象的顶点为点B(1,0).
∵y=a(x-t-1)2+t2的图象经过点B(1,0),
∴a(1-t-1)2+t2=0,
∴(a+1)t2=0.
∵t≠0,∴a+1=0,即a=-1.
创新应用
8.解 (1)建立如图所示的平面直角坐标系,则A,抛物线的顶点坐标为设抛物线的表达式为y=a+5,令x=0,y=,则=a+5,解得a=-所以抛物线的表达式为y=-+5.
(第8题)
(2)此次表演成功.理由:点B到y轴的距离为4 m,当x=4时,y=-+5=
因为BC= m,所以点B的坐标为,正好符合抛物线的表达式,说明此次表演成功.第4课时
能力提升
1.二次函数y=x2-2x-3的图象如图,下列说法错误的是( ).
(第1题)
A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3)
B.顶点坐标是(1,-3)
C.函数图象与x轴的交点坐标是(3,0),(-1,0)
D.当x<0时,y随x的增大而减小
2.抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到( ).
A.先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度
B.先向左平移6个单位长度,再向上平移7个单位长度
C.先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度
D.先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度
3.若点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上,则m-n的最大值等于( ).
A. B.4
C.- D.-
4.二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的对应值如下表:
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 …
y … 4 0 -2 -2 0 4 …
下列说法正确的是( ).
A.抛物线的开口向下
B.当x>-3时,y随x的增大而增大
C.二次函数的最小值是-2
D.抛物线的对称轴是直线x=-
5.(2022贵州毕节中考)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc>0;②2a-b=0;③9a+3b+c>0;④b2>4ac;⑤a+c
(第5题)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到图象的顶点坐标是 .
7.如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;
(2)点P是抛物线的对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
(第7题)
创新应用
8.我们知道,经过原点的抛物线的表达式可以是y=ax2+bx(a≠0).
(1)对于这样的抛物线:
当顶点坐标为(1,1)时,a= ;
当顶点坐标为(m,m),m≠0时,a与m之间的关系式是 .
(2)继续探究,如果b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上,请用含k的代数式表示b.
(3)现有一组过原点的抛物线,顶点A1,A2,…,An在直线y=x上,横坐标依次为1,2,…,n(n为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,Bn,以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn.若这组抛物线中有一条经过Dn,求所有满足条件的正方形边长.
参考答案
能力提升
1.B 2.A
3.C 由已知得a=0,
则y=x2+4.
因为点P(m,n)在二次函数y=x2+4的图象上,所以n=m2+4.
所以m-n=m-m2-4=-m-2-
当m=时,m-n取最大值,最大值为-
4.D 5.B
6.(1,-6) y=2x2+4x-3的顶点坐标为(-1,-5),向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后为(1,-6).
7.解 (1)把点B(3,0)的坐标代入抛物线的函数表达式y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2,
∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点坐标为(1,4).
(2)如图,连接BC交抛物线的对称轴l于点P,此时PA+PC的值最小.
设直线BC的函数表达式为y=kx+b,
∵点C(0,3),点B(3,0)在直线BC上,
解得
∴直线BC的函数表达式为y=-x+3.
当x=1时,y=-1+3=2,
∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).
(第7题)
创新应用
8.解 (1)-1 a=-(或am+1=0)
(2)∵a≠0,∴y=ax2+bx=a,∴顶点坐标为
∵顶点在直线y=kx上,∴k=-又b≠0,∴b=2k.
(3)∵顶点An在直线y=x上,且横坐标依次为1,2,…,n,∴可设点An的坐标为(n,n),点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t,t),由(1)(2)可得,点Dn所在的抛物线表达式为y=-x2+2x.
∵四边形AnBnCnDn是正方形,∴点Dn的坐标为(2n,n).∴-(2n)2+2×2n=n,∴4n=3t.
∵t,n是正整数,且t≤12,n≤12,∴n=3或6或9,∴满足条件的正方形边长为3或6或9.3 确定二次函数的表达式
能力提升
1.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表:
x -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时,y的值为( ).
A.5 B.-3 C.-13 D.-27
2.某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1 m的喷水管最大喷水高度为3 m,此时喷水水平距离为 m,如图,在平面直角坐标系中,这支喷水管喷出的水形成的抛物线的函数表达式为( ).
(第2题)
A.y=-+3
B.y=3+1
C.y=-8+3
D.y=-8+3
3.若二次函数y=a2x2-bx-c的图象过不同的六点A(-1,n),B(5,n-1),C(6,n+1),D(,y1),E(2,y2),F(4,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( ).
A.y1
(第4题)
5.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,顶点C到x轴的距离为2,则此函数表达式为 .
6.如图,在 ABCD中,AB=4,点D的坐标是(0,8),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A,B.
(第6题)
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的函数表达式.
7.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,抛物线y=-x2+bx+c经过B,C两点,点D为抛物线的顶点,连接AC,BD,CD.
(第7题)
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积.
创新应用
8.(2022黑龙江中考)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),B(2,-3),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积是△BCD面积的4倍,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(第8题)
参考答案
能力提升
1.D 2.C
3.D 依题意解得
则二次函数图象的对称轴为x=
作出二次函数的大致图象(图略),可知y2
5.y=-x2-x+或y=x2+x- 这是一个较典型的利用数形结合解决的题目.因为抛物线与x轴交于点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,
所以另一个交点为(1,0).
因为顶点C到x轴的距离为2,所以顶点为(-1,2)或(-1,-2).
可以设为交点式:y=a(x+3)(x-1),把顶点坐标(-1,2)或(-1,-2)代入表达式可求得y=-x2-x+或y=x2+x-
6.解 (1)在 ABCD中,CD∥AB,且CD=AB=4,
∴点C的坐标为(4,8).
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H,则AH=BH=2.
∴点A,B的坐标分别为(2,0),(6,0).
(2)由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(4,8),
设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+8,把点A(2,0)的坐标代入上式,解得a=-2.
设平移后抛物线的表达式为y=-2(x-4)2+8+k,把点D(0,8)的坐标代入上式,解得k=32.
∴平移后抛物线的表达式为y=-2(x-4)2+40,即y=-2x2+16x+8.
7.解 (1)由已知得C(0,4),B(4,4),
把B与C的坐标代入y=-x2+bx+c得解得
则抛物线的表达式为y=-x2+2x+4.
(2)∵y=-x2+2x+4=-(x-2)2+6,
∴抛物线顶点D的坐标为(2,6),
则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=4×4+4×2=8+4=12.
创新应用
8.解 (1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),B(2,-3),
解得
∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.
(2)存在.∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴点D的坐标为(1,-4).
令x=0,则y=-3,∴点C的坐标为(0,-3).
又∵点B的坐标为(2,-3),∴BC∥x轴,BC=2,
∴S△BCD=2×1=1.
设抛物线上点P的坐标为(m,m2-2m-3),
∴S△PBC=2×|m2-2m-3-(-3)|=|m2-2m|.
依题意,|m2-2m|=4×1,解得m=1±
当m=1+时,m2-2m-3=1,
当m=1-时,m2-2m-3=1.
综上,点P的坐标为(1+,1)或(1-,1).4 二次函数的应用
第1课时
能力提升
1.某拱形大桥的示意图如图所示,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=-(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,且有AC⊥x轴.若OA=10 m,则桥面离水面的高度AC为( ).
(第1题)
A.16 m B. m
C.16 m D. m
2.如图,有一块边长为6 cm的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是 ( ).
(第2题)
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
3.如图,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB和BC分别在两直角边上,设AB=x m,长方形的面积为y m2,要使长方形的面积最大,其边长x应为( ).
(第3题)
A. m B.6 m C.15 m D. m
4.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门,已知计划中的材料可建墙体总长为27 m,则能建成的饲养室总占地面积最大为 m2.
(第4题)
5.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s 的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过 s,四边形APQC的面积最小.
(第5题)
6.(2022江苏无锡中考)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形,已知栅栏的总长度为24 m,设较小矩形的宽为x m(如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为36 m2,求此时x的值;
(2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大 最大值为多少
(第6题)
7.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(m)与飞行时间t(s)之间满足函数关系式y=at2+5t+c,已知足球飞行 s时,离地面的高度为 m.
(第7题)
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高 最大高度是多少
(2)若足球飞行的水平距离x(m)与飞行时间t(s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44 m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28 m,他能否将球直接射入球门
创新应用
8.把长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图①,②,③中的一种).
(第8题)
设竖档AB=x m,请根据以上图案回答下列问题:(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和,所有横档和竖档分别与AD,AB平行)
(1)如图①,如果不锈钢材料总长度为12 m,当x为多少时,矩形框架ABCD的面积为3 m2
(2)如图②,如果不锈钢材料总长度为12 m,当x为多少时,矩形框架ABCD的面积S最大 最大面积是多少
(3)如图③,如果不锈钢材料总长度为a m,共有n条竖档,那么当x为多少时,矩形框架ABCD的面积S最大 最大面积是多少
参考答案
能力提升
1.B ∵OA=10 m,
∴点C的横坐标为-10.把xC=-10代入y=-(x-80)2+16,得yC=-,
∴AC=|yC|= m.
2.C
3.D 由△FAD∽△FBE,得,
∴AD=
∴y=x=-x2+12x.
∴当x=-时,y最大.故选D.
4.75 设饲养室的宽为x m,则长为(27+3-3x)m,则建成的饲养室总占地面积为y=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,所以能建成的饲养室总占地面积最大为75 m2.
5.3 设经过x s,四边形APQC的面积为y mm2,
则依题意,得y=S△ABC-S△BPQ=12×24-4x(12-2x)=4x2-24x+144=4(x-3)2+108.
∴当x=3时,四边形APQC的面积最小.
6.解 (1)根据题意知,较大矩形的宽为2x m,长为=(8-x) m,
∴(x+2x)(8-x)=36,解得x=2或x=6.
经检验,当x=6时,3x=18>10,不符合题意,舍去,
∴x=2.
故此时x的值为2.
(2)设矩形养殖场的总面积是y m2,
∵墙的长度为10 m,∴0
当x=时,y取最大值,最大值为
故当x=时,矩形养殖场的总面积最大,最大值为 m2.
7.解 (1)将点的坐标代入y=at2+5t+c,得a=-,c=
∴y=-t2+5t+=-
∴足球飞行的时间是 s时,足球离地面最高,最大高度是 m.
(2)当x=28时,由28=10t,得t=
当t=时,y=+5
=2.25<2.44,
∴他能将球直接射入球门.
创新应用
8.解 (1)当不锈钢材料总长度为12 m,共有3条竖档时,BC=(4-x)m,∴x(4-x)=3,解得x=1或x=3.
(2)当不锈钢材料总长度为12 m,共有4条竖档时,BC=m,矩形框架ABCD的面积S=x=-x2+4x(m2).
当x=时,S最大=3 m2.∴当x=时,矩形框架ABCD的面积S最大,最大面积为3 m2.
(3)当不锈钢材料总长度为a m,共有n条竖档时,BC=m,矩形框架ABCD的面积
S=x=-x2+x(m2).
当x=时,S最大= m2.
∴当x=时,矩形框架ABCD的面积S最大,最大面积为 m2.第2课时
能力提升
1.已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点,则m的取值范围是( ).
A.m<-1 B.m<1
C.m>-1 D.m>-2
2.某旅店有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出.若每床每晚收费每提高2元,则租出的床位减少10张.以每次提高2元的这种方法变化下去,该旅店为投资最少而获利最大,每床每晚收费应提高( ).
A.4元或6元 B.4元
C.6元 D.8元
3.每年六、七月份某市荔枝大量上市,某水果商以5元/kg的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/kg,假设不计其他费用.
(1)水果商要把荔枝售价至少定为每千克 才不会亏本;
(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售价格定为 时,每天获得的利润w最大.
4.某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为 元.
5.(2022山东聊城中考)某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示,当10≤x≤20时,其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元.
(第5题)
6.(2022内蒙古鄂尔多斯中考)某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件,第一批花了6 600元,第二批花了8 000元,第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍,且第二批比第一批多购进50个.
(1)求第二批每个挂件的进价;
(2)两批挂件售完后,该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件,经市场调查发现,当售价为每个60元时,每周能卖出40个,若每降价1元,每周多卖10个,由于货源紧缺,每周最多能卖90个,求每个挂件售价定为多少元时,每周可获得最大利润,最大利润是多少
创新应用
7.善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪有20 min时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间x(min)与学习收益量y的关系如图①,用于回顾反思的时间x(min)与学习收益量y的关系如图②(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.
(1)求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数表达式;
(2)求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数表达式;
(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这20 min的学习收益总量最大
(第7题)
参考答案
能力提升
1.A 原点是最高点,图象开口向下,所以m+1<0,即m<-1.
2.C 设每床每晚收费提高x元时,获利为y元,则y=(10+x)=-5x2+50x+1 000=-5(x-5)2+1 125,即当提高5元时,可获得最大利润,为1 125元,但题目要求提高的价格为2的倍数,因而选取与5接近的4元或6元可获得较大利润,而题意想投资少获利大,即想床位租出少而获较大利润,此时床位价格提高6元最合适,故选C.
3.(1)6元 (2)9元/kg (1)设荔枝售价定为y元/kg时,水果商才不会亏本.由题意得y(1-5%)≥5+0.7,解得y≥6.所以,水果商把荔枝售价至少定为6元/kg才不会亏本.
(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90.因此,当x=9时,w有最大值.所以,当销售单价定为9元/kg时,每天获得的利润w最大.
4.70 设每顶头盔的售价为x元,每月获得利润为y元,则y=(x-50)[200+20(80-x)]=-20(x-70)2+8 000.
当x=70时,ymax=8 000.
5.121 当10≤x≤20时,设y=kx+b,
把点(10,20),(20,10)的坐标分别代入y=kx+b,可得
解得
∴y=-x+30.
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元,
则w=(x-8)y=(x-8)(-x+30)=-x2+38x-240=-(x-19)2+121,
当x=19时,w取得最大值121.
故该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为121元.
6.解 (1)设第二批每个挂件的进价为x元,则第一批每个挂件的进价为1.1x元,
根据题意可知,+50=,解得x=40.
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合实际意义,
故第二批每个挂件的进价为40元.
(2)设每个售价定为y元,每周所获利润为w元,
根据题意可知,w=(y-40)[40+10(60-y)]=-10(y-52)2+1 440,
当y≥52时,w随y的增大而减小.
∵40+10(60-y)≤90,∴y≥55,
∴当y=55时,w取得最大值,此时w=-10×(55-52)2+1 440=1 350.
故当每个挂件售价定为55元时,每周可获得最大利润,最大利润为1 350元.
创新应用
7.解 (1)由题图①,设y=kx.
当x=1时,y=2,∴k=2,
∴y=2x(0≤x≤20).
(2)由题图②,当0≤x<4时,
设y=a(x-4)2+16.
当x=0时,y=0,
∴0=16a+16,∴a=-1.
∴y=-(x-4)2+16,即y=-x2+8x.
当4≤x≤10时,y=16.
因此y=
(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x≤10)min,学习收益总量为y,则她用于解题的时间为(20-x)min.
当0≤x<4时,y=-x2+8x+2(20-x)=-x2+6x+40=-(x-3)2+49.
当x=3时,y最大=49.
当4≤x≤10时,y=16+2(20-x)=56-2x.
y随x的增大而减小,因此当x=4时,y最大=48.
综上可知,当x=3时,y最大=49,此时20-x=17.
故小迪用于回顾反思的时间为3 min,用于解题的时间为17 min时,学习收益总量最大.5 二次函数与一元二次方程
能力提升
1.如果函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为( ).
A.0 B.0或2
C.2或-2 D.0,2或-2
2.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,则二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是( ).
3.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=2.若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,且x1
A.x1+x2<0 B.4
4.已知二次函数y=2x2-8x+6的图象交x轴于A,B两点.若其图象上有且只有P1,P2,P3三点满足=m,则m的值是( ).
A.1 B. C.2 D.4
5.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根是 .
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:
x … -5 -4 -3 -2 -1 …
y … 3 -2 -5 -6 -5 …
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-2的根是 .
7.已知二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x轴总有交点,则m的取值范围是 .
8.已知关于x的方程x2-(m-2)x+m-3=0.
(1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)设抛物线y=x2-(m-2)x+m-3与y轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好是点M,求m的值.
9.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点A,B.
(1)求m的取值范围;
(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标.
创新应用
10.据统计,每年由于汽车超速行驶而造成的交通事故是造成人员伤亡的主要原因之一.行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的原因,还要继续向前滑行一段距离才能停住,这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h),对这种汽车的刹车距离进行测试,测得的数据如下表:
刹车时车速/(km/h) 0 5 10 15 20 25 30
刹车距离/m 0 0.1 0.3 0.6 1 1.5 2.1
(1)在如图的平面直角坐标系中以车速为x轴,以刹车距离为y轴,描出这些数据所表示的点,并用光滑的曲线连接这些点,得到某函数的大致图象;
(第10题)
(2)观察图象估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数表达式;
(3)一辆该型号汽车在国道上发生了交通事故,现场测得刹车距离为46.5 m,请推测刹车时速度是多少,请问在事故发生时,汽车是否超速行驶
参考答案
能力提升
1.D 分为两种情况:①当函数是二次函数时,∵函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,
∴Δ=(m+2)2-4m=0,且m≠0,解得m=±2;②当函数是一次函数时,m=0,此时函数表达式是y=2x+1,与x轴只有一个交点,故选D.
2.C 由x1+x2=4,x1·x2=3,知x1,x2都是正数,∴抛物线与x轴相交于x轴的正半轴.故选C.
3.B
4.C 二次函数y=2x2-8x+6的图象上有且只有P1,P2,P3三点满足=m,
故三点中必有一点在二次函数y=2x2-8x+6的顶点上,
y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2=2(x-1)(x-3),故二次函数y=2x2-8x+6的图象的顶点坐标为(2,-2).
令y=0,则2(x-1)(x-3)=0,
解得x=1或x=3,
故其图象与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),故AB=3-1=2.
∴m=2×2=2.
故选C.
5.x1=1,x2=2 ∵二次函数的表达式是y=x2-3x+m(m为常数),
∴该抛物线的对称轴是直线x=
又二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),
∴根据抛物线的对称性质知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0).
∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根分别是x1=1,x2=2.
6.x1=-4,x2=0
7.m≤-,且m≠-6 ∵二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x轴总有交点,
∴4(m-1)2-4(m+6)(m+1)≥0,
解得m≤-
∵该函数是二次函数,
∴m+6≠0,∴m≠-6,
∴m的取值范围是m≤-,且m≠-6.
8.(1)证明 ∵Δ=(m-2)2-4(m-3)=m2-8m+16=(m-4)2≥0,
∴此方程总有两个实数根.
(2)解 抛物线y=x2-(m-2)x+m-3与y轴交点为M(0,m-3),抛物线与x轴的交点为(1,0)和(m-3,0),它们关于直线y=-x的对称点分别为(0,-1)和(0,3-m).
由题意,可得-1=m-3或m-3=3-m,即m=2或m=3.
9.(1)解 当m=0时,函数为一次函数,不符合题意,舍去;
当m≠0时,
∵抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点A,B,
∴Δ=(1-2m)2-4m(1-3m)=(1-4m)2>0,
∴1-4m≠0,∴m
∴m的取值范围为m≠0,且m
(2)证明 ∵抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m,
∴y=m(x2-2x-3)+x+1.
抛物线过定点说明在这一点y与m无关,
显然当x2-2x-3=0时,y与m无关,
解得x=3或x=-1.
当x=3时,y=4,定点坐标为(3,4);
当x=-1时,y=0,定点坐标为(-1,0).
∵P不在坐标轴上,
∴点P的坐标为(3,4).
创新应用
10.解 (1)描点,连线(画出函数图象如图).
(第10题)
(2)根据图象可估计为二次函数.
设y=ax2+bx+c(a≠0).
把表内前三对数据代入函数表达式,可得
解得
∴y=0.002x2+0.01x.
经检验,其他各对数据均满足这个函数.
(3)当y=46.5时,
即46.5=0.002x2+0.01x,
整理可得x2+5x-23 250=0,解得x1=150,x2=-155(不符合题意,舍去).
∴可以推测刹车时速度为150 km/h.
∵150>140,
∴汽车发生事故时超速行驶.
