2024重庆中考专题复习：一次函数综合题
一．动态函数探究题（交点个数问题）（共2小题）
1．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．点D为AB的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→C方向运动至点C处停止，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q．设点P运动的路程为x，点P、Q的距离为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，若直线与函数图象有2个交点，请直接写出t的取值范围．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O是AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动．设点P运动的路程为x，△AOP的面积为y，请解答下列问题：
（1）请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质： ；
（3）若直线y＝kx+2与该函数图象有且只有2个交点，则k的取值范围为 ．
二．动态函数探究题（面积问题）（共3小题）
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O是AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动，设点P运动的路程为x（x＞0），△AOP的面积为y1，请解答下列问题：
（1）请直接写出y1与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出y1与x的函数图象，并写出它的一条性质；
（3）已知函数，当y1≥y2时，请直接写出自变量x的取值范围．
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD＝5，tan∠ADC＝，点P从C出发，沿着折线CD→DA运动，到达点A停止运动．设点P运动的路程为x，连接AP、BP，记△ABP的面积为y，请解答下列问题：
（1）直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 ；
（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出函数的其中一条性质 ；
（3）已知y1＝﹣x+6图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出y≤y1时x的取值范围 ．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，M为BC中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发，沿折线M→B→A方向运动，设运动时间为t秒，△APC的面积为S．
（1）求出S关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）当4＜S≤6时，直接写出t的取值范围．
三．一次函数最短路径问题（共7小题）
6．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线BC交x轴于点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图2，过点A的直线交线段BC于点M，且满足△ABM与△ACM的面积比为4：5，点E和点F分别是直线AM和x轴上的两个动点，当CE+EF的值最小时，求出点M坐标及CE+EF的最小值．
（3）如图3，在（2）的条件下，将点M沿着射线OB方向平移2个单位得到点M'，将△BOC沿着射线MA方向平移2个单位得到△B'O'C'，若点Q是直线AB上的一个动点，当△M′O′Q是以M′Q为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点Q的横坐标．
7．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，直线y＝x+m与y轴交于点C，与直线AB交于点D，且BC＝5．
（1）如图1，求点D的坐标及m的值；
（2）如图2，点G是直线y＝﹣x上的一个动点，当|DG﹣AG|的值最大时，求点G的坐标；
（3）如图3，过点A作x轴的垂线，点P是垂线上的一点，当以点P，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时直接写出点P的坐标．
8．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝﹣x﹣8交于点A，已知点A的横坐标为﹣5，直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线l1的解析式；
（2）将直线l2向上平移6个单位得到直线l3，直线l3与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线l4，若点M为垂线l4上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当CM+MN+NA的值最小时，求此时点M的坐标及CM+MN+NA的最小值；
（3）在（2）条件下，如图2，已知点P、Q分别是直线l1、l2上的两个动点，连接EP、EQ、PQ，是否存在点P、Q，使得△EPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．
9．如图，已知直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝kx+3相交于y轴的B点，且分别交x轴于点A、C，已知OC＝OA．
（1）如图，求点C的坐标及k的值；
（2）如图，若E为直线l1上一点，且E点的横坐标为，点P为y轴上一个动点，求当|PC﹣PE|最大时，点P的坐标；
（3）若M为x轴上一点，当△ABM是等腰三角形时，直接写出点M的坐标．
10．如图，直线AD：y＝kx+b过点A（1，3），D（2，4），直线DG⊥x轴于G点，点B与点A关于直线DG对称，直线AB与y轴交于点C，点F为y轴上一动点．
（1）求直线AD的解析式；
（2）点P为线段AD上一动点，过点P作AB的垂线段PH交AB于点H，当点P为线段AD的中点时，求的最小值及此时点F的坐标；
（3）在直线AD上是否存在一点P，使得以PF为直角边的△PBF为等腰直角三角形，若存在，直接写出所有点P的坐标及对应点F的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图1，在平面直角坐标系中，Rt△ACD沿直线CD翻折得△BCD，且A（0，﹣2），D（0，3），点B在x轴负半轴上，A、C、B三点在同一条直线上，直线CD交x轴于点E．
（1）求直线CD的解析式；
（2）如图1，在线段CE上有一动点F，连接OF，P为AB上一动点，K为y轴上一动点，连接PF、PK，当S△DOF＝时，求PF+PK的最小值；
（3）如图2，将△DOE沿直线DC平移得到△D'O'E'，若在平移过程中△BD'E'是以BE'为一腰的等腰三角形，请直接写出点D′的横坐标．
12．如图1，在平面直角坐标系中，直线AC：和直线BC：的图象交于y轴上的点C，且分别交x轴于点A和B，AB＝4．
（1）求k和b的值；
（2）如图2，已知点D是AC的中点，点M是x轴上一动点，点N是直线BC上一动点，连接DM，DN，MN．求△DMN周长的最小值和此时点M的坐标；
（3）如图3，在（2）中△DMN的周长取得最小值的条件下，P为x轴上一动点，是否存在点P，使△PCM是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
四．一次函数综合题：面积问题（共2小题）
13．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标；
（3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．
14．如图1，直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点C，与直线l1交于点D，AC＝7．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点P为直线AB上一动点，若有S△PCD＝，请求出点P的坐标；
（3）如图2，将直线l2水平向左平移（4+）个单位得直线l3，直线l3与x轴交于点E，连接BE，若点M为平面内一动点，是否存在点M，使得∠MEB+∠ABE＝75°，若存在，请直接写出直线ME与y轴交点的坐标，若不存在，请说明理由．
2024重庆中考专题复习：一次函数综合题（答案）
一．动态函数探究题（交点个数问题）（共2小题）
1．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．点D为AB的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→C方向运动至点C处停止，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q．设点P运动的路程为x，点P、Q的距离为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，若直线与函数图象有2个交点，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）y＝；
（2）见解析过程，图象有最大值为2；
（3）1＜t＜．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O是AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动．设点P运动的路程为x，△AOP的面积为y，请解答下列问题：
（1）请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质： 当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小（答案不唯一） ；
（3）若直线y＝kx+2与该函数图象有且只有2个交点，则k的取值范围为 ﹣≤k＜ ．
【答案】（1）y＝；
（2）函数见解答；当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）﹣＜k＜．
二．动态函数探究题（面积问题）（共3小题）
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O是AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动，设点P运动的路程为x（x＞0），△AOP的面积为y1，请解答下列问题：
（1）请直接写出y1与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出y1与x的函数图象，并写出它的一条性质；
（3）已知函数，当y1≥y2时，请直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）y1＝；
（2）作图见解答过程；当x＜3时，y1随x的增大而增大，当x＞3时，y1随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）当y1≥y2时，2≤x≤5．
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD＝5，tan∠ADC＝，点P从C出发，沿着折线CD→DA运动，到达点A停止运动．设点P运动的路程为x，连接AP、BP，记△ABP的面积为y，请解答下列问题：
（1）直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 y＝ ；
（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出函数的其中一条性质 当0≤x≤5时，y随x的增大而增大，当5＜x＜10时，y随x的增大而减小（答案不唯一） ；
（3）已知y1＝﹣x+6图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出y≤y1时x的取值范围 0≤x≤或≤x＜10 ．
【答案】（1）y＝；
（2）图象见解答；当0≤x≤5时，y随x的增大而增大，当5＜x＜10时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）0≤x≤或≤x＜10．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，M为BC中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发，沿折线M→B→A方向运动，设运动时间为t秒，△APC的面积为S．
（1）求出S关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）当4＜S≤6时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）S＝；
（2）在0≤t＜2时，S随t的增大而增大（答案不唯一）；
（3）＜t＜3．
三．一次函数最短路径问题（共7小题）
6．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线BC交x轴于点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图2，过点A的直线交线段BC于点M，且满足△ABM与△ACM的面积比为4：5，点E和点F分别是直线AM和x轴上的两个动点，当CE+EF的值最小时，求出点M坐标及CE+EF的最小值．
（3）如图3，在（2）的条件下，将点M沿着射线OB方向平移2个单位得到点M'，将△BOC沿着射线MA方向平移2个单位得到△B'O'C'，若点Q是直线AB上的一个动点，当△M′O′Q是以M′Q为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点Q的横坐标．
【答案】（1）直线BC的解析式为y＝x+9．
（2）点M的坐标为（2，5）；CE+EF的最小值为．
（3）点Q的横坐标为：或﹣或﹣．
7．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，直线y＝x+m与y轴交于点C，与直线AB交于点D，且BC＝5．
（1）如图1，求点D的坐标及m的值；
（2）如图2，点G是直线y＝﹣x上的一个动点，当|DG﹣AG|的值最大时，求点G的坐标；
（3）如图3，过点A作x轴的垂线，点P是垂线上的一点，当以点P，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时直接写出点P的坐标．
【答案】（1）m＝﹣3，D（6，5）；
（2）（﹣，）；
（3）点P的坐标为P（﹣4，）或（﹣4，﹣3+2）或（﹣4，﹣3﹣2）或（﹣4，5）．
8．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝﹣x﹣8交于点A，已知点A的横坐标为﹣5，直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线l1的解析式；
（2）将直线l2向上平移6个单位得到直线l3，直线l3与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线l4，若点M为垂线l4上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当CM+MN+NA的值最小时，求此时点M的坐标及CM+MN+NA的最小值；
（3）在（2）条件下，如图2，已知点P、Q分别是直线l1、l2上的两个动点，连接EP、EQ、PQ，是否存在点P、Q，使得△EPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
9．如图，已知直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝kx+3相交于y轴的B点，且分别交x轴于点A、C，已知OC＝OA．
（1）如图，求点C的坐标及k的值；
（2）如图，若E为直线l1上一点，且E点的横坐标为，点P为y轴上一个动点，求当|PC﹣PE|最大时，点P的坐标；
（3）若M为x轴上一点，当△ABM是等腰三角形时，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）C（﹣，0），k＝；
（2）P（0，﹣3）；
（3）（﹣3，0）或（，0）或（3﹣6，0）或（3+6，0）．
10．如图，直线AD：y＝kx+b过点A（1，3），D（2，4），直线DG⊥x轴于G点，点B与点A关于直线DG对称，直线AB与y轴交于点C，点F为y轴上一动点．
（1）求直线AD的解析式；
（2）点P为线段AD上一动点，过点P作AB的垂线段PH交AB于点H，当点P为线段AD的中点时，求的最小值及此时点F的坐标；
（3）在直线AD上是否存在一点P，使得以PF为直角边的△PBF为等腰直角三角形，若存在，直接写出所有点P的坐标及对应点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x+2；
（2），；
（3）在直线AD上存在一点P，使得以PF为直角边的△PBF为等腰直角三角形，；，F（0，5）或P（﹣1，1），F（0，4）．
11．如图1，在平面直角坐标系中，Rt△ACD沿直线CD翻折得△BCD，且A（0，﹣2），D（0，3），点B在x轴负半轴上，A、C、B三点在同一条直线上，直线CD交x轴于点E．
（1）求直线CD的解析式；
（2）如图1，在线段CE上有一动点F，连接OF，P为AB上一动点，K为y轴上一动点，连接PF、PK，当S△DOF＝时，求PF+PK的最小值；
（3）如图2，将△DOE沿直线DC平移得到△D'O'E'，若在平移过程中△BD'E'是以BE'为一腰的等腰三角形，请直接写出点D′的横坐标．
【答案】（1）y＝2x+3；
（2）；
（3）﹣或．
12．如图1，在平面直角坐标系中，直线AC：和直线BC：的图象交于y轴上的点C，且分别交x轴于点A和B，AB＝4．
（1）求k和b的值；
（2）如图2，已知点D是AC的中点，点M是x轴上一动点，点N是直线BC上一动点，连接DM，DN，MN．求△DMN周长的最小值和此时点M的坐标；
（3）如图3，在（2）中△DMN的周长取得最小值的条件下，P为x轴上一动点，是否存在点P，使△PCM是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k＝，b＝；
（2）△DMN周长的最小值为，点M的坐标为（﹣，0）；
（3）点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
四．一次函数综合题：面积问题（共2小题）
13．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标；
（3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝3x+6；
（2）或；
（3）存在，点M的坐标为（﹣3，3）或或（3，1）或（0，2）．
14．如图1，直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点C，与直线l1交于点D，AC＝7．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点P为直线AB上一动点，若有S△PCD＝，请求出点P的坐标；
（3）如图2，将直线l2水平向左平移（4+）个单位得直线l3，直线l3与x轴交于点E，连接BE，若点M为平面内一动点，是否存在点M，使得∠MEB+∠ABE＝75°，若存在，请直接写出直线ME与y轴交点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x+2；
（2）点P的坐标为（，）或（﹣，）；
（3）直线ME与y轴交点的坐标为（0，0）或（0，﹣3）．
