第16章 二次根式 测试卷
(考试时间：100分钟，赋分：120分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案
1．使代数式有意义的x的取值范围是( )
A．x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≠
2．下列二次根式中，为最简二次根式的是( )
A．－ B. C. D.
3．下列计算中，正确的是( )
A．5 －2 ＝21 B．2＋＝2 C.×＝3 D.÷＝3
4．若是整数，则正整数n的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若x＝＋1，则代数式x2－2x＋2的值为( )
A．7 B．4 C．3 D．3－2
6．等式＝成立的条件是( )
A．a≠5 B．a≥3 C．a≥3且a≠5 D．a＞5
7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|，则化简－|a＋b|的结果为( )
A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b
8．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c
9．已知a＋＝，则a－的值为( )
A．±2 B．8 C．± D．6
10．将1，，三个数按图中方式排列，若规定(a，b)表示第a排第b列的数，则(8，2)与(10，10)表示的两个数的积是( )
A. B. C. D．1
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．一般地，如果x4＝a(a≥0)，则称x为a的四次方根．一个正数a的四次方根有两个，它们互为相反数，记为±.若＝10，则m＝ .
12．等式()2＝x－4成立的条件是 .
13．把二次根式化成最简二次根式：＝ (a≥0)；＝ .
14．计算(＋)×＝ .
15．已知xy＞0，化简二次根式x的结果是 ．
16．已知x＝＋，y＝－，则x3y＋xy3＝ ．
17．小明家新房装修，妈妈选中了一套北欧风格的装饰画，套画是由三块大小相同的矩形组成的，每块装饰画长为20 cm，宽为10 cm，则每块装饰画的面积为 cm2.
18．对于任意的正数a，b定义运算“★”为：a★b＝则(3★2)×(8★12)的运算结果为 ．
三、解答题(共66分)
19．(8分)计算：
(1)－＋3＋；(2)(＋1)(－1)＋－；
20．(8分)已知x＝＋，y＝－，试求代数式3x2－5xy＋3y2的值．
21．(8分)若实数x，y满足y＝＋＋2，求的值．
22．(10分)已知a＋b＝－2，ab＝，求＋的值．
23．(10分)某校有一块四边形空地ABCD，如图，为了绿化环境，学校打算利用这块空地种植花草，已知AB⊥BC，CD⊥BC，AB＝CD＝ m，BC＝3 m, 试求这块空地的面积．
24．(10分)阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2.善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝(m＋n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn.
所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： ＋ ＝( ＋ )2；
(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
25．(12分) 观察下列各式及其变形过程：a1＝＝1－，a2＝＝－，a3＝＝－.
(1)按照此规律和格式，请你写出第五个等式的变形过程：a5＝ ；
(2)请通过计算验证(1)中a5变形过程的正确性；
(3)按照此规律，计算(a1＋a2＋a3＋…＋an)(a1－a2－a3－…－an＋)的值．
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参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 C A C B C D C C C B
1．使代数式有意义的x的取值范围是( C )
A．x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≠
2．下列二次根式中，为最简二次根式的是( A )
A．－ B. C. D.
3．下列计算中，正确的是( C )
A．5 －2 ＝21 B．2＋＝2 C.×＝3 D.÷＝3
4．若是整数，则正整数n的最小值是( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若x＝＋1，则代数式x2－2x＋2的值为( C )
A．7 B．4 C．3 D．3－2
6．等式＝成立的条件是( D )
A．a≠5 B．a≥3 C．a≥3且a≠5 D．a＞5
7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|，则化简－|a＋b|的结果为( C )
A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b
8．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c的大小关系是( C )
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c
9．已知a＋＝，则a－的值为( C )
A．±2 B．8 C．± D．6
10．将1，，三个数按图中方式排列，若规定(a，b)表示第a排第b列的数，则(8，2)与(10，10)表示的两个数的积是( B )
A. B. C. D．1
【解析】根据题意，把这些数排成一列时，每三个数1，，为一个循环组依次循环，∵(8，2)在数列中是第(1＋7)×7÷2＋2＝30(个)位置，∴(8，2)表示的数正好是第10轮的最后一个，是，∵(10，10)在数列中是第(1＋9)×9÷2＋10＝55(个)位置，∵55＝3×18＋1，∴(10，10)表示的数正好是第19轮的第1个数，是1，∴×1＝.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．一般地，如果x4＝a(a≥0)，则称x为a的四次方根．一个正数a的四次方根有两个，它们互为相反数，记为±.若＝10，则m＝ .
【答案】±10
12．等式()2＝x－4成立的条件是 .
【答案】x≥4
13．把二次根式化成最简二次根式：＝ (a≥0)；＝ .
【答案】2ab
14．计算(＋)×＝ .
【答案】13
15．已知xy＞0，化简二次根式x的结果是 ．
【答案】－
16．已知x＝＋，y＝－，则x3y＋xy3＝ ．
【答案】10
17．小明家新房装修，妈妈选中了一套北欧风格的装饰画，套画是由三块大小相同的矩形组成的，每块装饰画长为20 cm，宽为10 cm，则每块装饰画的面积为 cm2.
【答案】1000
18．对于任意的正数a，b定义运算“★”为：a★b＝则(3★2)×(8★12)的运算结果为 ．
【答案】2
三、解答题(共66分)
19．(8分)计算：
(1)－＋3＋；
解：原式＝2－3＋＋2＝3－.
(2)(＋1)(－1)＋－；
解：原式＝()2－1＋2 －＝3－1＋＝2＋.
20．(8分)已知x＝＋，y＝－，试求代数式3x2－5xy＋3y2的值．
解：当x＝＋，y＝－时，
原式＝3(x2－2xy＋y2)＋xy
＝3(x－y)2＋xy
＝3(＋－＋)2＋(＋)×(－)
＝3×28－4＝80.
21．(8分)若实数x，y满足y＝＋＋2，求的值．
解：由题意，得x－1≥0，1－x≥0，解得x＝1，当x＝1时，y＝2.
∴＝.
22．(10分)已知a＋b＝－2，ab＝，求＋的值．
解：由题意知a<0，b<0，
∴原式＝－－＝－(＋)＝－，
将a＋b＝－2，ab＝代入，得
原式＝2.
23．(10分)某校有一块四边形空地ABCD，如图，为了绿化环境，学校打算利用这块空地种植花草，已知AB⊥BC，CD⊥BC，AB＝CD＝ m，BC＝3 m, 试求这块空地的面积．
解：由题意可知四边形ABCD为直角梯形．
∵AB＝CD＝ m，
∴CD＝4 m.
∴这块空地的面积为(AB＋CD)·BC＝×(＋4 )×3＝＝15(m2)．
24．(10分)阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2.善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝(m＋n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn.
所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： ＋ ＝( ＋ )2；
(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
解：(1)因为a＋b＝(m＋n)2，所以a＋b＝m2＋3n2＋2mn，所以a＝m2＋3n2，b＝2mn.故答案为m2＋3n2,2mn；
(2)答案不唯一，如设m＝1，n＝1，所以a＝m2＋3n2＝4，b＝2mn＝2.故答案为4,2,1,1；
(3)由题意得：a＝m2＋3n2，b＝2mn.因为4＝2mn，且m、n为正整数，所以m＝2，n＝1或者m＝1，n＝2，所以a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13.
25．(12分) 观察下列各式及其变形过程：a1＝＝1－，a2＝＝－，a3＝＝－.
(1)按照此规律和格式，请你写出第五个等式的变形过程：a5＝ ；
【答案】＝－
(2)请通过计算验证(1)中a5变形过程的正确性；
(3)按照此规律，计算(a1＋a2＋a3＋…＋an)(a1－a2－a3－…－an＋)的值．
解：(2)a5＝＝＝＝＝－.
∴a5＝＝－.
(3)原式＝(1－＋－＋…＋－)(1－－＋－…－＋＋)
＝(1－)(1＋)＝1－＝.
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