2024年北京市中考数学复习与检测（解析版）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．第24届北京冬季奥运会总建筑面积约为平方米，数字用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示方法：，，为整数，进行表示即可．确定，的值，即可．
【详解】解：；
故选：B．
2．下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．如图所示，已知，，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点B作BM∥AC，求出∠EBM即可．
【详解】过点B作BM∥AC，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
4．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．
【详解】由图可知，，且，
∴，，，，
∴关系式不成立的是选项C．
故选C．
5．如图，是上的四个点，是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，根据是的直径，可得，可求出的度数，根据同弧所对圆周角相等即可求解，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
在中，，
∵与所对弧相同，
∴，
故选：．
6．一次函数中，随的增大而增大，且，则此函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据一次函数的增减性可得，再根据可得，由此即可得出答案．
【详解】解：一次函数中，随着的增大而增大，
，且可排除选项A和B，
又，
，
函数图象与轴的交点在轴下方，
故选：D．
如图，在中，，，
以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，
再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，
连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
【答案】D
【分析】由作图可得：平分 可判断A，再求解 可得 可判断B，再证明 可判断C，过作于 再证明 再利用 ，可判断D 从而可得答案．
【详解】解：
由作图可得：平分 故A不符合题意；
故B不符合题意；
在的垂直平分线上，故C不符合题意；
过作于
平分
故D符合题意；
故选：D．
对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．
若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a2+a+c=0，根据二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1-4c＞0，且（a1-1）+（a2-1）＜0，（a1-1）（a2-1）＞0，即可解得-2＜c＜．
【详解】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a=a2+2a+c，即a2+a+c=0，
∵二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，
设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2=-1，a1 a2=c，
∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，
∴Δ=1-4c＞0①，
且（a1-1）+（a2-1）＜0②，
（a1-1）（a2-1）＞0③，
由①得c＜，
∵a1+a2=-1，
∴②总成立，
由③得：a1 a2-（a1+a2）+1＞0，即c-（-1）+1＞0，
∴c＞-2，
综上所述，c的范围是-2＜c＜，
故选：C．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
10． 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
【答案】6
【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为．
∵袋子中有4个黑球，
∴袋子中共有10个球，
∴白球有6个．
故答案为：6．
11．已知一元二次方程的两根为与，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与，
∴，
∴，
故答案为：．
12．已知，点，，在反比例函数的图像上，
则，，的大小关系是 ．（用“＞”连接）
【答案】
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：根据，反比例函数经过第一、三象限，随的增大而减小，
，且，
由在第一象限内，随的增大而减小，得，
而在第三象限，得，
故答案为：．
13． 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，
若的顶点均是格点，则的值是__________
【答案】
【分析】利用格点构造，根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：如图，利用格点作交的延长线于点D，
则，，
因此，
故答案为
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
15．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，
甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，
该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，
那么从开始，经过___________分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
16 . 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；
再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，
若，则线段的长等于_______
【答案】20
【分析】根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为9，12，15，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．
【详解】解：过点P作，垂足为G、H，
由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：20．
解答题（共68分，17~20题，每题5分，21题6分，22~23题，每题5分，24~26题，每题6分，
27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
【答案】．
【分析】分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再合并即可.
【详解】解：原式
．
18．（5分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【分析】分别求出每个不等式的解集，并将其解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得x＜3，
∴原不等式组的解集为，
∴将不等式组的解集在数轴上表示为：
19．（5分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
把代入得：原式=．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程．
(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（）根据根的情况确定参数的范围，由即可求解；
（）利用根与系数的关系得出，解方程即可；
此题考查了根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键时，，熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（2）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，
则，
解得：．
21．（6分）已知：如图，平行四边形中，，交于点，于点，于点．
求证：．
【答案】见解析．
【分析】根据平行四边形的性质与垂线定义证明即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵于点，于点，
∴，
在和中，
∵，
∴≌，
∴．
（5分）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：
A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，
学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
【答案】(1)50，72
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果；
（2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选兵乓球的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：50；72；
（2）解：由题意可得：
选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：兵乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．
（5分）如图1，直线AB与反比例函数的图象交于点A (1， 3)和点B (3， n)，
与x轴交于点C，与y轴交于点D，
(1)求反比例函数的表达式及n的值；
(2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处， EC与反比例函数的图象交于点F，
请求出点F的坐标；
【答案】（1）；（2）① ；②存在，或
【分析】（1）把A （1，3）代入得到反比例函数的表达式为y=，把B（3，n）代入y=即可得到结论；
（2）①设直线AB的解析式为：y=kx+b，解方程组得到直线AB的解析式为y=-x+4，求得点C （4，0），点D（0，4），得到△COD是等腰直角三角形，推出四边形OCED是正方形，得到E（4，4），把x=4代入y=中即可得到结论；
【详解】解：（1）∵直线AB与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A （1，3）和点B（3，n），
∴把A （1，3）代入y得，3，
∴k＝3，
∴反比例函数的表达式为y，
把B（3，n）代入y得，n1；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝4，
∴点C （4，0），点D（0，4），
∴OC＝OD＝4，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠ODC＝∠OCD＝45°，
∵将△OCD沿直线AB翻折，
∴四边形OCED是正方形，
∴DE＝CE＝4，
∴E（4，4），
把x＝4代入y中得，y，
∴F（4，）；
（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E ,
交EC的延长线于点D，连接AC .
(1)求证: AC平分∠DAE ;
(2)若，求⊙O的半径.
【答案】（1）详见解析；（2）4.
【分析】(1)连接OC，由DE与⊙O相切与点C，得OC⊥EC，从而得OC∥AD，即∠DAC=∠OCA，结合∠OAC=∠OCA，即可得到结论；
(2)由∠DAE=∠COE，，设OC=2x，则OC=3x，列出方程，即可求解.
【详解】（1）连接OC，
∵DE与⊙O相切与点C，
∴OC⊥EC，
∵，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAE ；
（2）∵OC∥AD，
∴∠DAE=∠COE，
∴，
设OC=2x，则OC=3x，
∵OB=OC=2x，BE=2，
∴2x+2=3x，解得：x=2，
∴OC=2x=2×2=4，
∴⊙O的半径是4.
25．（6分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，(单位：克)．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录，与x的几组对应值如下：
x(分钟) 0 5 10 15 20 …
(克) 25 23.5 20 14.5 7 …
(克) 25 20 15 10 5 …
在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，
并画出函数的图象；
(2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，则 (填“＞”，“=”或“＜”)．
【答案】(1)见解析；(2)，；(3)＞
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当时x的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意，作图如下．
；
（2）解：由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系.
又点在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景A函数关系式为．
对于场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系
又在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景B函数关系式为．
（3）解：由题意，当时，
场景A中，
场景B中，，
解得：，
∴．
26．（6分）．如图1，抛物线y=ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP=∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，周长的最小值为；
(3)存在，．
【分析】（1）运用待定系数法即可确定a、b的值．
（2）根据△ACM的周长最小值为，分别求出AC，BC的长即可；
（3）过点 作直线l∥x轴，过点 作EF⊥直线l于点 ，交 轴于点 ．证明 BDF∽ DCE，得出，求出点D的坐标，运用待定系数法求出直线CP的解析式，最后联立方程组，求出方程组的解即可得出结论．
【详解】（1）将点，代入中，得：
，
解得 ，
∴，
（2）存在，
抛物线对称轴：直线 ，
将代入中，得，
连接BC，交抛物线对称轴于点M，
当C，M，B三点共线时，周长最小 ，
∴AM+CM=BM+CM=BC，
∵，
∴，
∴的最小值为.
（3）存在,
∵，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作于点，
过点作直线轴，过点作于点，交轴于点．
∵
∴，
∵，
∴，
∴=，
又∵
∴
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，解得，
∴ ，
设直线CP的解析式为，
把（0，3），（）代入得，
解得，，
∴直线：，
联立，
解得，，，
∴.
27．（7分）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝．
【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝1；
（2）①k值发生变化，k＝，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴，即EC＝BD，
∴k＝；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AE＝a，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，AC＝，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴，即，
解得，EF＝，
∴AF＝，
则tan∠EAC＝．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点，．对于一个角（），将一个图形先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，称为一次“对称旋转”．
(1)点在线段上，则在点，，，中，有可能是由点经过一次“对称旋转”后得到的点是________；
(2)轴上的一点经过一次“对称旋转”得到点．
①当时，________；
②当时，若轴，求点的坐标；
(3)以点为圆心作半径为1的圆．若在上存在点，使得点经过一次“对称旋转”后得到的点在轴上，直接写出的取值范围．
【答案】(1)、；(2)①2；②；(3)或
【分析】（1）由一次“对称旋转”定义，将，，，先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，即可验证；
（2）①作出图形，数形结合，分类讨论，由等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质即可得到答案；②作出图形，由含的直角三角形的性质，求出三角形边长即可得到点的坐标；
（3）设点经过一次“对称旋转”后得到的点为点，则点先绕点顺时针旋转，再绕点S逆时针旋转得到点M，进行分类讨论：①当时，令和相交于G，连接，过点S作的垂线，垂足为点H，易得，根据点M再上，则与有公共点，得出，即，即可求解；②当时，用相同的方法，即可解答．
【详解】（1）解：由一次“对称旋转”定义，将先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，如图所示：
不是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；
同理可得是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；不是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；
故答案为：、；
（2）解∶①令点P绕点顺时针旋转得到点，连接，
∵经过一次“对称旋转”得到时，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
故答案为：2；
②经过一次“对称旋转”得到时，由题意作图，如图所示：
则
轴，
，则，
，
，，
，则，，
，
，则；
（3）解：设点经过一次“对称旋转”后得到的点为点，
∵点M先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转得到点，
∴点先绕点顺时针旋转，再绕点S逆时针旋转得到点M，
∵点在x轴上，
∴将x轴先绕点顺时针旋转得到，再绕点S逆时针旋转得到，
①当时，
令和相交于G，连接，过点S作的垂线，垂足为点H，
由旋转的性质可得：，
∵为直径，
∴，即，
∴，
∵，，绕点S逆时针旋转得到，
∴，
∵点M再上，
∴与有公共点，
∴，
即，
，
∴；
②当时，
∵x轴先绕点顺时针旋转得到，再绕点S逆时针旋转得到，
∴，则，
同理可得：，
则，
∴，
整理得：，
综上：或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年北京市中考数学复习与检测
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．第24届北京冬季奥运会总建筑面积约为平方米，数字用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
3．如图所示，已知，，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是上的四个点，是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．一次函数中，随的增大而增大，且，则此函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，，
以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，
再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，
连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．
若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．因式分解： ．
10． 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
11．已知一元二次方程的两根为与，则的值为 ．
12．已知，点，，在反比例函数的图像上，
则，，的大小关系是 ．（用“＞”连接）
13． 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，
若的顶点均是格点，则的值是__________
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
15．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，
甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，
该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，
那么从开始，经过___________分钟时，当两仓库快递件数相同．
16 . 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；
再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，
若，则线段的长等于_______
解答题（共68分，17~20题，每题5分，21题6分，22~23题，每题5分，24~26题，每题6分，
27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
19．（5分）先化简，再求值：，其中．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程．
(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值．
21．（6分）已知：如图，平行四边形中，，交于点，于点，于点．
求证：．
（5分）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：
A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，
学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
23.（5分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E ,
交EC的延长线于点D，连接AC .
(1)求证: AC平分∠DAE ;
(2)若，求⊙O的半径.
25．（6分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，(单位：克)．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录，与x的几组对应值如下：
x(分钟) 0 5 10 15 20 …
(克) 25 23.5 20 14.5 7 …
(克) 25 20 15 10 5 …
在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，
并画出函数的图象；
(2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，则 (填“＞”，“=”或“＜”)．
26．（6分）．如图1，抛物线y=ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP=∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（7分）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点，．对于一个角（），将一个图形先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，称为一次“对称旋转”．
(1)点在线段上，则在点，，，中，有可能是由点经过一次“对称旋转”后得到的点是________；
(2)轴上的一点经过一次“对称旋转”得到点．
①当时，________；
②当时，若轴，求点的坐标；
(3)以点为圆心作半径为1的圆．若在上存在点，使得点经过一次“对称旋转”后得到的点在轴上，直接写出的取值范围．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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