江苏省镇江市扬中市重点中学2023-2024第二学期初高三数学检测
姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数z＝－＋i对应的向量为，复数z＋1对应的向量为，那么向量对应的复数是
A．1 B．－1 C．i D．－I （ A ）
2．函数的图象如图所示，则 （ D ）
A．
B．
C．
D．
3．已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱的高为2，这个球的体积为，则这个正三棱柱的体积为（ B ）
A. B. C. 6 D. 4
4．已知函数，若满足，则实数的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段,作一个等边三角形为圆心，为半径按逆时针方向画圆弧，交线段（第一段圆弧），再以点为半径按逆时针方向画圆弧，交线段为半径按逆时针方向画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为 （ D ）
A． B． C． D．
6．在，角的对边分别为，若，且，则的最小值为 （ B ）
A. B. 2 C. D.
7．已知斜率为分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为的面积之比为2，则实数的值为 （ D ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.令函数若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值范围为 （ B ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，则 （ACD ）
A. 函数的最小正周期为
B. 将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称
C. 函数在区间上单调递减 D. 若，则
10．已知过点的直线与抛物线：相交于、两点，直线：是线段的中垂线，且与的交点为，则下列说法正确的是 （ BD ）
A. 为定值 B. 为定值
C. 且 D.
11．已知在伯努利试验中，事件发生的概率为，我们称将试验进行至事件发生次为止，试验进行的次数服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是 （ ACD ）
A. 若，则，
B. 若，则，
C. 若，，则
D. 若，则当取不小于的最小正整数时，最大
12．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动(包括端点)，下列说法正确的有 （BCD ）
A．存在点P，使得CP⊥平面A1DB
B．不存在点P，使得直线C1P与平面A1DB所成的角为30°
C．PC＋PD的最小值为2
D．以P为球心，PA为半径的球体积最小时，被正方形ADD1A1截得的弧长是π
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．若正数 .
14．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 .
15．已知非零数列的图象上，则数列的前2024项和为 .
15．已知两点之间距离的最小值是 .
四 解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤
17．在中，角的对边分别为，，，已知的面积为.
（1）求；
（2）若，求.
17．解：（1）结合题意：的面积为,
，
结合余弦定理可得：，
所以，解得，
所以.
（2）因为，所以，易得为锐角，
所以，所以，
由上问可知,,
所以，
所以,整理得,
即，解得（舍去），或.
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝AD，PD＝2，M是AB的中点，N是线段PC上一点，且MN∥平面PAD，MN⊥PC．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值．
18．解：（1）过，
19．已知在正项数列
（1）求证：数列为等比数列；（2）设；
（3）记为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．解：（1）证明：因为点上，
20．为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）
药物 疾病
未患病 患病 合计
未服用 30 15 45
服用 45 10 55
合计 75 25 100
（1）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；
（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物进行治疗.已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望.
附：，
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
20．解：（1）零假设为:药物对预防疾病无效果，
根据列联表中的数据，经计算得到
,
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为药物对预防疾病有效果.
（2）设A表示药物的治愈率，表示对未服用过药物 , 表示服用过药物由题，
，，
且，，
.
药物的治愈率，
则，所以，
，
，
，
X的分布列如下表所示
X 0 1 2 3
P
．
21．已知平面上动点的半径.
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知两点，（的交点的横坐标是定值.
21．解：（1）由得
22．设函数
（1）若函数与的图象存在公切线，求a的取值范围
（2）若函数有两个零点，求证：.
22．解：（1）设公切线与分别相切于，
则直线与直线为同一条直线，
，消去得，
要有公切线存在，即上述关于的方程在上有解，
设且，则，
0
单调减 极小值 单调增
所以，即．
（2）由是的两个零点，则，
两式相减得，则，
要证，均为正数，只需，即证，
令，也就是证明
下面证明：
构造函数，则，
所以在上递增，则，即有恒成立，
所以，得证
【点睛】关键点点睛：第二问，应用分析法将问题转化为证为关键.江苏省镇江市扬中市重点中学2023-2024第二学期初高三数学检测
姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数z＝－＋i对应的向量为，复数z＋1对应的向量为，那么向量对应的复数是
A．1 B．－1 C．i D．－I （ ）
2．函数的图象如图所示，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱的高为2，这个球的体积为，则这个正三棱柱的体积为（ ）
A. B. C. 6 D. 4
4．已知函数，若满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段,作一个等边三角形为圆心，为半径按逆时针方向画圆弧，交线段（第一段圆弧），再以点为半径按逆时针方向画圆弧，交线段为半径按逆时针方向画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为 （ ）
A． B． C． D．
6．在，角的对边分别为，若，且，则的最小值为 （ ）
A. B. 2 C. D.
7．已知斜率为分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为的面积之比为2，则实数的值为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.令函数若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值范围为 （ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，则 （ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称
C. 函数在区间上单调递减 D. 若，则
10．已知过点的直线与抛物线：相交于、两点，直线：是线段的中垂线，且与的交点为，则下列说法正确的是 （ ）
A. 为定值 B. 为定值
C. 且 D.
11．已知在伯努利试验中，事件发生的概率为，我们称将试验进行至事件发生次为止，试验进行的次数服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是 （ ）
A. 若，则，
B. 若，则，
C. 若，，则
D. 若，则当取不小于的最小正整数时，最大
12．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动(包括端点)，下列说法正确的有 （ ）
A．存在点P，使得CP⊥平面A1DB
B．不存在点P，使得直线C1P与平面A1DB所成的角为30°
C．PC＋PD的最小值为2
D．以P为球心，PA为半径的球体积最小时，被正方形ADD1A1截得的弧长是π
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．若正数 .
14．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 .
15．已知非零数列的图象上，则数列的前2024项和为 .
15．已知两点之间距离的最小值是 .
四 解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤
17．在中，角的对边分别为，，，已知的面积为.
（1）求；
（2）若，求.
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝AD，PD＝2，M是AB的中点，N是线段PC上一点，且MN∥平面PAD，MN⊥PC．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值．
19．已知在正项数列
（1）求证：数列为等比数列；（2）设；
（3）记为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）
药物 疾病
未患病 患病 合计
未服用 30 15 45
服用 45 10 55
合计 75 25 100
（1）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；
（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物进行治疗.已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望.
附：，
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
21．已知平面上动点的半径.
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知两点，（的交点的横坐标是定值.
22．设函数
（1）若函数与的图象存在公切线，求a的取值范围
（2）若函数有两个零点，求证：.
