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珠海市大湾区2023-2024学年高一上学期1月期末联合考试
数学
本卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
3.设函数则使成立的的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4.瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数.对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中与的值保持不变），经计算，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图像上有一点，此函数的图象与轴、直线及围成的图形（如图阴影部分）的面积为，则与的函数关系图象为（ ）
A. B.
C. D.
6.设，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，则（ ）
A.是奇函数，且在是增函数 B.是偶函数，且在是增函数
C.是奇函数，且在是减函数 D.是偶函数，且在是减函数
8.设，都是不为1的正数，函数的图象关于对称，则的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，，，均为实数，则（ ）
A.若，，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，则
10.已知函数，则（ ）
A.在定义域内为增函数 B.为奇函数
C.的最小正周期 D.图象的对称中心为，
11.已知函数是幂函数，对任意，且，满足.若，且，则下列结论可能成立的有（ ）
A.， B.，
C.， D.，
12.设是全集，，定义，对的真子集和，下列说法正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则______.
14.函数的值域为______.
15.已知某机械装置有两个相互咬合的齿轮，大轮有48齿，小轮有18齿.如果小轮的转速为120转/分钟，大轮的半径为10cm，则大轮圆周上的一点每秒转过的弧长为______cm.
16.已知函数，.若对，，使得，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知全集，集合，
（1）求；
（2）如图阴影部分所表示的集合为，求集合.
18.（12分）
已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④.
（1）求函数的解析式，并说明理由；
（2）已知，求的最值及相应的值.
19.（12分）
如图所示，设矩形的周长为24，把它沿翻折，翻折后交于点，设.
（1）用表示，并求出的取值范围；
（2）求面积的最大值及此时的值.
20.（12分）
已知定义在上的函数满足，，且.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性，并证明.
21.（12分）
如图，已知函数的图象与函数的图象交于，两点.过，分别作轴的垂线，垂足分别为，，并且，分别交函数的图象于，两点.
（1）探究线段与的大小关系，并证明；
（2）若平行于轴，求四边形的面积.
22.（12分）
经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点中心对称”的充要条件是“是奇函数”.某数学学习小组对上述结论进行再探究，又得到一个真命题：“函数的图象关于点中心对称”的充要条件是“为奇函数”.若定义域为的函数的图象关于点中心对称，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为的“保值”区间.若函数在上存在保值区间，求的取值范围.
珠海市大湾区2023-2024学年高一上学期1月期末联合考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B A B C A B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 BCD BCD BC ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
解：（1）因为，
所以
（2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合为，
乱，所以
18.（12分）
解：（1）若函数满足条件③，则.
这与，矛盾，故不能满足条件③，
所以函数只能满足条件①，②，④.
由条件①，得，因为，所以，
由条件②，得
由条件④，得，
因为，所以，
所以函数的解析式为
（2）由，知
当，时；此时
当，时；此时.
19.（12分）
解：（1）由矩形的周长为24，且，可得，
在中，易知，
所以可得，因此；
所以
在中，由勾股定理可得，
整理可得，
又，即，
依题意解得
即可得
（2）在中，
又，所以
当且仅当，即时取等号，
所以，
即当时，面积的最大值为
20.（12分）
解：（1）令，得
令，得
因为，所以，
令，得，即
因为，所以，所以
（2）为偶函数.
证明如下：令，得，
由（1）得
即，又的定义域为，所以为偶函数.
21.（12分）
解：（1）.证明如下：
设、，则、.
∴，
又，故.
（2）∵平行于轴，∴
又，，∴联立方程组，
解之得
∴、、、.
故四边形的面积为
22.（12分）
解：（1）因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，
所以为奇函数，
所以，即，
时，，
所以
所以
（2），
当时，在单调递增，
当时，则
即方程在有两个不相等的根，
即有两个不相等的根，
令，，因为，
所以有不可能有两个不相等的根；
当时，在单调递增，
当当时，则
即方程在有两个不相等的根，
即有两个不相等的根，
令，，则
又，解得
当时，易知在上单调递增，
所以在单调递增
此时
即
令，，则易知在单调递减，
所以即，
又时，，
当且仅当，即时取等，
所以，此时无解；
综上可知：的取值范围是
