秘密★考试结束前
2024年普通高等学校招生全国统一考试
数学 模拟试卷（二）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则
A. B. C. D.
2．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是
A. B． C． D．
3．若直线与直线互相垂直，则的值为
A． B． C．0或 D．1或
4．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则=
A．30 B．29 C．28 D．27
5．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有
A．18种 B．36种 C．60种 D．72种
7．双曲线C：的左、右焦点分别是，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，若C上一点T满足，则T到C的两条渐近线距离之和为
A. B. C. D.
8．设函数 ，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点③在单调递增④的取值范围是，其中所有正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是
A．
B．若，则
C．
D．若，且，则△为等边三角形
10．设a为常数，，，则
A. B. 恒成立
C. D. 满足条件的不止一个
11．如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是
A．直线与直线相交
B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点
C．不存在点，使得直线与直线所成角为
D．三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则的值为 .
13．已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为__________时，圆锥的体积最大，最大值为__________.
14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如左图)．已知正方形ABCD的边长为4，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点(如右图)．若点P在四个半圆的圆弧上运动，则向量AC·OB的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数f(x)＝2(x－1)ex．
（Ⅰ）若函数f(x)在区间(a，＋∞)上单调递增，求f(a)的取值范围；
（Ⅱ）设函数g(x)＝ex－x＋p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥f(x0)－x0成立，求实数p的取值范围．
16．（15分）
人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：
ChatGPT应 用的广泛性 服务业就业人数的 合计
减少 增加
广泛应用 60 10 70
没广泛应用 40 20 60
合计 100 30 130
（Ⅰ）根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？
（Ⅱ）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17．（15分）
如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4.
（Ⅰ）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（Ⅱ）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S，T满足＋为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）
关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.
（Ⅰ）证明：有唯一零点，且；
（Ⅱ）现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤：
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；
……
在处作曲线的切线，交轴于点；
可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.
①设，求的解析式(用表示)；
②证明：当，总有.2024年普通高等学校招生全国统一考试
数学 模拟试卷（二） 参考答案与试题解析
1．B [试题解析]，，故选：B
2．D [试题解析]因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故A错误；
因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故B错误；
因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故C错误；
因为，，，为不共面向量，所以能构成基底，故D正确；故选：D
3．D [试题解析]，，即，解得或.
故选：D．
4．B [试题解析]奇数项共有项，其和为，∴．偶数项共有n项，其和为，∴．故选：B．
5．C [试题解析]依题意可得圆锥的体积，又（其中h为圆锥的高），则cm，则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为．故选：A．
6．B [试题解析]因为A在B的前面出场，且A，B都不在3号位置，则情况如下：①A在1号位置，B有2,4,5号三种选择，有3A＝18种出场次序；②A在2号位置，B有4,5号两种选择，有2A＝12种出场次序；③A在4号位置，B有5号一种选择，有A＝6种出场次序，故不同的出场次序共有18＋12＋6＝36种．故选B.
7．A [试题解析]设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且M是的中点．根据双曲线的定义可知，即，由于O是的中点，所以MO是的中位线，所以，又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为所以，，双曲线C的渐近线方程为，设，T到两渐近线的距离之和为S，则，由，得，又T在C：上，则，即，解得，，所以，故，即距离之和为故选
8．C [试题解析]第④，因为，故当时，，画出函数的图象如下：
因为在有且仅有5个零点，故，解得，④正确；
①当，或，即，或时，取得极大值，故在有且仅有3个极大值点，①正确；
②当，即时，当，，即，时，取得极小值，此时在有且仅有2个极小值点当，即时，当，或，即，或时，取得极小值，此时在有且仅有3个极小值点，②错误；
③当时，，因为，所以，由于，故在单调递增，③正确.故选：C
9．ACD [试题解析]A：由，根据等比的性质有，正确；
B：当时，有，错误；
C：，而，即，由正弦定理易得，正确；
D：如图，是单位向量，则 ，即、，则且平分，的夹角为， 易知△为等边三角形，正确.故选：ACD
10．ABC [试题解析]令，可得，因为，所以正确.
令，可得，代入，，可得
同理，令，可得，代入，，可得
即原等式变形为，C正确.
令可得，即函数取值非负.
令可得，即，解得，B正确.
因此仅有一个函数关系式满足条件，故D错误.故选ABC
11．CD [试题解析【详解】A：由题意知，，平面，平面
所以平面，又平面，所以与不相交，故A错误；
B：连接，如图，
当点为的中点时，，又，所以，
若点在平面的射影为，则平面，垂足为，
所以，设正方体的棱长为2，则，
在中，，所以，
即不成立，故B错误；
C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，
所以异面直线与所成角为直线与所成角，
设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为，
则，所以，
所以，又，
得，解得，
符合题意，故不存在点使得与所成角为，故C错误；
D：如图，由等体积法可知，
又，为定值，所以为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：CD.
12． [试题解析]因为，，,又因为，
所以
所以,
所以,
. 故答案为：.
13． ； [试题解析]设圆锥的底面半径r，母线为l，高为h，
设母线与底面所成的角为，则，则，则，
则圆锥的体积为 ，
令，则，
令，求导得，
令，则或舍去，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值.此时最大，，
即圆锥的母线与底面所成的角的余弦值时，圆锥的体积最大，最大值为故答案为：；
14．[－8－8，8＋8] [试题解析]以O为原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，因为正方形ABCD的边长为4，所以AC＝4，点A(－2，0)，C(2，0)，设AD的中点为E，则E(－，)，AE＝2，当P是半圆E上的一动点时，设点P(－＋2cosθ，＋2sinθ)，·＝4(－＋2cosθ)＝－8＋8cosθ，因为cosθ∈，所以·的取值范围是[－8－8，0]；同理可知，当P在左下侧圆上运动时，·的取值范围是[－8－8，0]；同理可知，当P在右侧圆上运动时，·＝4(＋2cosθ)＝8＋8cosθ，cosθ∈，·的取值范围是[0,8＋8]．综上可知，·的取值范围是[－8－8，8＋8]。
15．（13分）
解：（Ⅰ）由f′(x)＝2xex＞0，得x＞0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a≥0，
所以f(a)≥f(0)＝－2．
所以f(a)的取值范围是[－2，＋∞)．
（Ⅱ）
16．（15分）
解：（Ⅰ）零假设为：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.
根据表中数据得，
所以根据小概率值的独立性检验，
没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.
（Ⅱ）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，
有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，
有人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，
则的可能取值为，
又，
所以的分布列为
1 2 3
所以.
17．（15分）
解：依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
18．（17分）
解：（Ⅰ）设P(x，y)，由题意知|PA|＝|PG|.
当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，
∴|GB|＝|GH|＝2，∴|PG|＝.
又|PA|＝，
∴＝，化简得y2＝4x(x≠0)；
当P点在y轴上时，易知P点与O点重合，P(0,0)也满足y2＝4x，
∴曲线C的方程为y2＝4x.
（Ⅱ）假设存在Q(a,0)满足题意．
设S(x1，y1)，T(x2，y2)．由题意知直线l′的斜率必不为0，
设直线l′的方程为x＝t1y＋a(t1≠0)．
由得y2－4t1y－4a＝0，
∴y1＋y2＝4t1，y1y2＝－4a.
∴x1＋x2＝t1(y1＋y2)＋2a＝4t＋2a，x1x2＝yy＝a2.
∵|QS|2＝(x1－a)2＋y＝(x1－a)2＋4x1＝x＋(4－2a)x1＋a2，
|QT|2＝(x2－a)2＋y＝(x2－a)2＋4x2＝x＋(4－2a)x2＋a2，∴|QS|2＋|QT|2＝x＋x＋(4－2a)(x1＋x2)＋2a2
＝(x1＋x2)2＋(4－2a)(x1＋x2)－2x1x2＋2a2
＝(x1＋x2)(x1＋x2＋4－2a)－2x1x2＋2a2
＝(4t＋2a)(4t＋4)，
|QS|2·|QT|2＝16a2(t＋1)2.
∴＋＝＝＝，
当a＝2时，上式＋＝，与t1无关，为定值．
∴存在点Q(2,0)，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S，T满足＋为定值.
19．（17分）
解：（Ⅰ）证明：，定义域为，
所以，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且.
（Ⅱ）解：①由（1）知，
所以，曲线在处的切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即
令得
所以，切线与轴的交点，即，
所以，.
②对任意的，由（i）知，曲线在处的切线方程为：
，故令，
令
所以，，
所以，当时，单调递增，当时，单调递减；
所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，
另一方面，由（i）知，，且当时，，
（若，则，故任意，显然矛盾）
因为是的零点，
所以
因为为单调递增函数，
所以，对任意的时，总有
又因为，
所以，对于任意，均有，
所以，
所以，
综上，当，总有
