【第三课】5.2.2同角三角函数的基本关系
扩展1：一般等式的证明
例1.求证：＝.
证明：法一：∵左边＝
＝
＝
＝
＝
＝＝右边，
∴原等式成立.
法二：∵右边＝＝，
左边＝＝
＝
＝，
∴左边＝右边，原等式成立.
【方法总结】证明三角恒等式常用的方法
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
（4）变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等；
（5）比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”.
【举一反三1-1】
1．求证：＝.
扩展2： 条件等式的证明
例2.已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
【证明】因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.
所以＋1＝2，
通分可得＝，
即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
【方法总结】条件的三角恒等式证明的常用方法
（1）直推法：从条件直推到结论；
（2）代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
（3）换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.
【举一反三2-1】
2．已知,求证:.
扩展3： 韦达定理在三角函数中的应用
例3.（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）已知，是关于的方程的两根，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据韦达定理可得，，结合三角恒等变换分析求解；
（2）结合（1）可得，进而可得，即可得结果，注意三角函数值的符号判断.
【详解】（1）因为，是关于的方程的两根，
则，，
又因为，即，解得，
由，解得.
（2）由（1）可得，
因为，则，且，
可得，则，
结合，解得，
所以.
【方法总结】在同角三角函数的基本关系中，可变换成，其中与很容易与一元二次方程中的根与系数的关系产生联系.若以，为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题.
【举一反三3-1】
（2023上·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）
3．已知角的终边经过点，
(1)求的值；
(2)若是方程的两个根，求的值.
【举一反三3-2】
（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）
4．已知关于的方程的两个根分别为和，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求方程的两根及的值．
（2007·全国·高考真题）
5．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（ ）
A． B．－
C． D．－
（2023·全国·统考高考真题）
6．设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
（2007·陕西·高考真题）
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2011·重庆·高考真题）
8．若，且，则 ；
（2023·全国·统考高考真题）
9．若，则 ．
（2015·四川·高考真题）
10．已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是 .
（2002·上海·高考真题）
11．已知，若，化简 ．
（2011·上海·高考真题）
12．在△ABC中，，则=
（2005·福建·高考真题）
13．已知
(1)求的值；
(2)求的值；
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．证明见解析
【分析】分子分母同乘以，再利用商数关系和平方关系即可得证.
【详解】证明：∵右边＝
＝
＝
＝＝＝左边，
∴＝.
2．见解析
【解析】令，，则，，代入，得到的关系，再代入化简即可.
【详解】证明:设，，则，.
由，得，即.
，
，
即.
【点睛】本题主要考查了利用平方关系化简证明，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
3．(1)
(2)
【分析】（1）先由三角函数的定义求得，再利用齐次式法即可得解；
（2）先利用韦达定理求得关于的表达式，再利用齐次式法即可得解.
【详解】（1）因为角的终边经过点，所以，
则.
（2）因为是方程的两个根，
所以，，且，
则
.
4．(1)
(2)
(3)两根为，；或.
【分析】（1）由和是方程的两个根得，利用商数关系，求出代数式的值；
（2）利用平方关系，和，求得m的值.
（3）解方程，得和的值，由，得的值.
【详解】（1）因为和是方程的两个根，所以，
原式.
（2）因为，所以，
所以，解得.
（3）由（2）可知，，所以方程的两根为，，
所以或，又因为，所以或.
5．B
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.
故选：B．
【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．
6．B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
7．A
【分析】先利用算出，然后利用平方差公式对进行化简即可得到答案
【详解】解：因为，且，所以，
所以，
故选：A
8．
【详解】因为，且，则，
所以．
9．
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
10．－1
【详解】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－2
2sinαcosα－cos2α＝
考点：本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.
11．
【详解】试题分析：，，又，则，所以
考点：三角恒等变形，三角函数的性质.
12．
【详解】因为，则是锐角，于是，
则，，．
（或由得，因为，则．）
13．(1)
(2)
【分析】（1）利用计算即可；
（2）将变形，然后代入已知量和已求量计算即可.
【详解】（1）
又，
（2）
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第三练】5.2.2同角三角函数的基本关系
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.利用熟练应用同角三角函数间的关系求解较复杂的求值，化简问题，培养数学运算，如第2题，第3题.
2.利用熟练应用同角三角函数间的关系证明等式，锻炼逻辑推理能力，如第13题.
3.能够灵活应用同角三角函数间的关系，韦达定理求解问题，培养分类讨论思想能力，如第12题.
4.能够灵活应用同角三角函数间的关系，基本不等式求解恒成立问题，培养运算求解能力，如第11题.
一、单选题
1．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，
∴sin α·cos α＝<0，∴α∈.故选B.
（2023上·四川遂宁·高一校考期末）
2.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系求解.
【详解】从可得，，所以，
因为，
故选：A.
3.已知A为锐角，lg(1＋sin A)＝m，＝n，则lg(cos A)的值为（ ）
A.m＋ B. (m－n)
C. D.
【答案】B
【解析】lg(1＋sin A)＝m，lg(1－sin A)＝－n，
所以lg(1－sin2A)＝m－n，
所以lg(cos2A)＝m－n，
所以lg(cos A)＝ (m－n).故选B.
(2023·湖北部分重点中学联考)
4.已知θ∈(0，π)，且sinθ＋cosθ＝m，m∈(0，1)，则tan θ的可能取值为（ ）
A．－3 B．3
C． D.
【答案】A
【解析】由m∈(0，1)，得sinθ＋cosθ>0，所以θ∈.
又因为(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sin θcosθ＝m2，m∈(0，1)，
从而得2sinθcosθ<0，得θ∈.
综上可得θ∈，则tanθ<－1，
所以可能的取值为－3，故选A.
（2023上·广西·高一校联考阶段练习）
5.若角终边经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用任意角三角函数的定义以及同角三角函数关系求解.
【详解】因为角终边经过点，所以，
所以
，
故选：C.
（2023上·江苏南京·高一期末）
6.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由同角三角函数的基本关系式求得或，再将化为，代入的值即可得答案.
【详解】因为，所以，
则，
所以，即，
解得或.
又，将或代入，
均得到.
故选：C.
二、多选题
7．下列四个结论中可能成立的是（ ）
A.sin α＝且cos α＝
B.sin α＝0且cos α＝－1
C.tan α＝1且cos α＝－1
D.α是第二象限角时，tan α＝
【答案】AB
【解析】选项A，B中sin α，cos α都满足sin2α＋cos2α＝1，可能成立；
C中当
tan α＝1且cos α＝－1时得sin α＝－1，不满足sin2α＋cos2α＝1，故不成立；
D中tan α＝.故选AB.
（2023上·重庆·高一重庆十八中校考阶段练习）
8.已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．为第二象限角 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用同角三角函数的基本关系，结合齐次式法计算求解即可判断各选项.
【详解】因为，所以，
联立，解得，，
因为，所以是第二象限角，故AB正确；
所以，故C错误，
则，故D正确.
故选：ABD.
（2023上·广东·高一校联考期末）
9.已知，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，对已知等式化简结合同角三角函数的关系可求出，对于B，结合求出，从而可进行判断，对于C，利用平方差公式化简计算，对于D，化简后结合已知条件判断.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，所以，所以A正确，
对于B，因为，，所以，
因为，所以，，
所以，，所以，所以B错误，
对于C，因为，，
所以
，所以C正确，
对于D，因为，
所以
，所以D正确，
故选：ACD
三、填空题
（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）
10．已知，则 ．
【答案】
【分析】首先求，再将所求转化为齐次分式形式，并用表示，即可求解.
【详解】因为，则，
原式.
（2023上·山东济宁·高一邹城市第二中学校考阶段练习）
11.若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】借助同角三角函数基本关系及基本不等式，可求得的最小值，即可得实数m的取值范围.
【详解】由，则，
由，
则
，
当且仅当时等号成立,
故，
不等式恒成立，
即.
故答案为：.
四、解答题
(2023·湖南衡阳一中月考)
12．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0，π)．求：
（1）m的值；
（2） ＋的值．
【解析】（1）由根与系数的关系可得sin θ＋cos θ＝，
∴1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝.
由根与系数的关系可得sin θcos θ＝＝，∴m＝.
（2）∵＋＝＋
＝＝sin θ＋cos θ，
∴原式＝sin θ＋cos θ＝.
13.求证：．
【证明】
，所以原等式成立．
【易错题目】第4，6，11，12题.
【复盘要点】在同角三角函数的基本关系中，可变换成，其中与很容易与一元二次方程中的根与系数的关系产生联系．若以，为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题．
典例:已知关于x的方程的两个根分别为和，，求：
（1）的值；
（2）m的值；
（3）方程的两根及的值．
【解析】∵和是方程的两个根，∴
（1）
．
（2）∵，∴．
∴，∴（此时）．
（3）∵，∴方程为．解得，，
∴或∵，∴或．
【复盘训练】
1．已知和是方程的两个实数根，则的值是 ．
2．已知是方程的两个根，，则角等于 ．
（2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）
3．（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角，求的值；
（2）已知，且，求的值．
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参考答案：
1．
【分析】由韦达定理，立方和公式及同角三角函数基本关系式计算可得结果.
【详解】因为和是方程的两个实数根，
所以，，，
所以，
即，解得，满足．
所以
．
故答案为：.
2．
【分析】由韦达定理结合同角三角函数的基本关系即可求得答案.
【详解】∵
代入，得，即．
又∵，∴，，
∴，．
又∵，∴．
故答案为：.
3．（1）；（2）
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
（2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】（1），解得或，
由于是第三象限角，所以，
所以
.
（2）由两边平方并化简得，
由于，所以，所以，
所以，
所以.
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