【第一课】4.5.1函数的零点与方程的解 4.5.2用二分法求方程的近似解
【课标要求】
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.
2.了解零点存在性定理、会判断函数零点的个数.
3.探索用二分法求方程近似解的思路.
4.能借助计算工具用二分法求方程近似解.
【明确任务】
1.结合学过的函数图象与性质，求函数的零点与方程的解.【数学运算，直观想象】
2.会用零点存在性定理判断函数零点.【数学运算】
3.会用二分法求方程近似解.【数学运算】
已学基本初等函数的零点
函数 零点及个数 图象
一次函数 一个零点，
反比例函数 无零点
二次函数 两个零点，
一个零点，
无零点
指数函数（且） 无零点
对数函数（且） 一个零点，1
幂函数 一个零点，0
无零点
注意 对于二次函数，如果方程有两个相等的实数解，那么函数只有一个零点，这个零点称为二重零点，而不能说有两个零点．比如：方程有两个相等的实数解，但函数却只有一个零点1．
核心知识点1: 函数的零点与方程的解
函数零点的概念
与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点．
函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与x轴的公共点的横坐标．
方程有实数解函数有零点函数的图象与x轴有公共点．
解读：
（1）函数零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该实数时，函数值为0；
（2）并不是所有函数都有零点，比如，等就没有零点；
（3）若函数有零点，则零点一定是函数定义域内的一个实数．
方法 判断函数是否有零点，应判断相应方程是否有实数解，或通过数形结合，判断函数图象与x轴是否有公共点．
例1.下列说法正确的是（ ）
A．函数（）的零点为1
B．函数的零点为，
C．对数函数有且只有一个零点1
D．“”是“函数有零点”的充分不必要条件
【答案】
【解析】虽然，但，即1不在定义域内，所以函数无零点，故A不正确．（也可以画出函数图象，更加直观地判断）
因为函数的零点是定义域内的实数，而不是点，所以B不正确．
根据对数函数（，且）的图象可知，对数函数有且只有一个零点，为1，故C正确．
因为函数有零点，所以，解得．由于，，所以“”是“函数有零点”的必要不充分条件，故D不正确．
答案 C
归纳总结: 函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．,
【举一反三】
1．下列函数不存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
核心知识点2：函数零点存在定理
函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个c也就是方程的解．
解读：
（1）零点存在定理中的“区间上”，这里强调是闭区间；“在区间内至少有一个零点”，这里强调是开区间．
（2）图象是一条连续不断的曲线．例如，函数在区间上，满足，但是函数在区间内无零点，如图所示．
（3）当函数在内有零点且单调时，必只有一个零点．
（4）若函数在上不满足，则在内依然可能有零点．
（5）如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且存在两个或两个以上零点，那么在两个相邻零点之间的函数值保持同号．
注意 （1）零点分为变号零点和不变号零点，变号零点是指曲线经过零点时函数值的符号改变，不变号零点是指曲线经过零点时函数值的符号不改变，如图中为变号零点，为不变号零点．
（2）函数在区间内有零点，不一定有．例如，函数在区间内有1个零点1，而．
（3）注意零点性质中不考虑闭区间的端点处，而是考虑开区间内有无零点问题．若或，则a或b也是函数的零点，但不是零点性质研究的内容．
例2.（2023·四川省南充市期末）若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则不存在实数使得
B．若，则只存在一个实数使得
C．若，则有可能存在实数使得
D．若，则有可能不存在实数使得
【答案】C
【解析】当零点在区间内时，也可能成立，因此A不正确，C正确；
若满足函数零点存在定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确．
故选C.
归纳总结 理解函数零点存在定理需注意的问题：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立.
【举一反三】
（2023·湖南省衡阳市期末）
2．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
核心知识点3: 二分法
二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
解读：
（1）连续不断：二分法与函数零点存在定理密切相关，必须满足函数图象在零点附近连续．
（2）：二分法求零点近似值的方法只适用于函数的变号零点（曲线通过零点时函数值的符号改变），而对于不变号零点（曲线通过零点时函数值的符号不变）不适用．
（3）区间一分为二：即通过求区间中点，将原区间分成两个等长的区间．
例3.用二分法求函数在区间内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由二分法求零点近似值的步骤（4）可知，若精确度为0.001，应满足的条件为，故选B．
【答案】B
【方法总结】运用二分法求解时，区间等分次数n与“精确度”的关系为，可通过对数运算，确定n的值．
【举一反三】
3．下列关于二分法的叙述中，正确的是（ ）
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
4．下列函数的图象中没有零点的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）
A． B． C． D．
6．二分法求函数的零点的近似值适合于（ ）
A．零点两侧函数值符号相反 B．零点两侧函数值符号相同
C．都适合 D．都不适合
7．设函数在区间上是单调函数，图像连续不断，且，则方程在闭区间内有 个根.
8．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是 ．
9．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过 次二分后精确度达到0.1.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】令，逐一解方程，判断方程是否有根即得结果.
【详解】A选项中，令，解得，故和1是函数的零点；
B选项中，令，解得或，故和1是函数的零点；
C选项中，令，解得，故和1是函数的零点；
D选项中，令，方程无解，故函数无零点.
故选：D.
2．C
【分析】结合函数的单调性与零点存在定理即可得答案.
【详解】在定义域上单调递增，
，，
而，，
由，根据零点存在定理，可知零点，
故选：C.
3．B
【分析】根据二分法的概念进行判断ABC选项，D选项，求零点的方法有多种.
【详解】A选项，由二分法求函数零点近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点函数值异号，A错误；
B选项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值，
可精确到小数点后任一位，B正确；
C选项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号，
因而可以通过编程，在计算机上完成，C错误；
D选项，求零点的方法有解方程法、作图法等，D错误．
故选：B．
4．D
【分析】通过观察图象确定正确答案.
【详解】从图中观察知，只有D中函数图象与轴没有交点.
所以D选项函数的图象没有零点.
故选：D
5．C
【分析】根据函数的奇偶性和零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于选项A，是偶函数，与题意不符；
对于选项B，是偶函数，与题意不符；
对于选项C，是奇函数，
由，
解得，故存在零点与题意相符；
对于选项D，是奇函数，但不存在零点，与题意不符．
故选：C
6．A
【解析】根据连续函数零点存在性定理即可求解.
【详解】根据函数零点存在性定理知，
利用二分法求函数的零点，必须满足函数图象连续不断且在零点两侧函数值符号相反．
故选：A
7．1
【分析】利用零点的存在定理，判断方程根的个数.
【详解】在区间上图象连续不断，由知在上至少有一个实数根，
又在上为单调函数，从而可知必有唯一实数根．
故答案为：1
8．1和
【分析】先根据韦达定理求出，进而解方程，得到零点.
【详解】∵函数的两个零点是2和3，
∴，解得，
∴，
令，解得或1
∴的零点为1和.
故答案为：1和
9．4
【分析】利用二分法定义判断零点所在区间，并确定精确度.
【详解】，，，所以，满足，
开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为，
故有，即，则，
所以至少需要操作4次.
故答案为：4.
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答案第1页，共2页【第一练】4.5.1函数的零点与方程的解 4.5.2用二分法求方程的近似解
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.会解方程，求方程的解，会求函数的零点所在的区间，培养数学运算，如第1，2题.
2.会根据图象判断零点所在的区间，培养数形结合能力，如第5题；
3.能够灵活应用零点存在性定理解题，培养数学抽象，逻辑推理，如第6题；
4.能利用二分法求方程的近似解，锻炼运算求解能力，如第11题.
1．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是 .（填写上所有符合条件的图号）
4．若f(x)＝2x(x－a)－1在(0， ＋∞)内有零点，则a的取值范围是
5．图（1）（2）（3）分别为函数在三个不同范围的图象.能否仅根据其中一个图象，得出函数在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
（1）（2）（3）
6．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064
函数在哪几个区间内一定有零点？为什么？
7．设m为实数，若函数的图象与x轴只有1个公共点，求m的值.
8．证明：函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内.
9．设k为实数，若方程没有实数根，求k的取值范围.
10．已知函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？
11．利用信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.
12．借助信息技术,用二分法求函数在区间(0,1)内零点的近似值(精确度为0.1)
13．有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围"，某同学给出了如下解答：由，解得.所以，实数a的取值范围是.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.
【易错题目】第2，8，11，12，13题
【复盘要点】
正确理解函数零点存在定理，二分法逐步逼近的思想.
【复盘训练】
14．下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
15．函数的零点是（ ）
A． B．0
C．1 D．0和1
16．对于函数，若，则
A．方程一定有实数解
B．方程一定无实数解
C．方程一定有两实数解
D．方程可能无实数解
（2023·广东省江门市期末）
17．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
18．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是 ．
（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）
19．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 136.13 15.55 -3.12 10.66 -52.32 -12.34
则函数至少有 个零点．
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参考答案：
1．B
【分析】方法一：利用零点存在定理，判断f(x)在区间(2， 3)上有零点，以及函数f(x)＝0.9x－x在R上是减函数，所以它只有一个零点；
方法二：将方程实数解的问题转化为两个函数图像交点个数的问题，作图观察即可.
【详解】方法一：设f(x)＝0.9x－x，易知f(2)＝0.81－>0， f(3)＝0.729－1<0，
由函数的零点存在定理可知，f(x)在区间(2， 3)上有零点．
容易证明，函数f(x)＝0.9x－x在R上是减函数，所以它只有一个零点，
即方程0.9x－x＝0只有一个实数解．
故选：B
方法二：求方程0.9x－x＝0的实数解的个数即求函数y＝0.9x的图象和直线y＝x的交点的个数，作出y＝0.9x与y＝x的函数图象(如图)，
由图可知函数y＝0.9x的图象和直线y＝x的交点的个数为1.
故选：B
2．B
【解析】判断各端点函数值的正负，利用零点存在性定理即可判断.
【详解】在单调递增，
且，，
在存在唯一的零点.
故选：B.
3．①③
【解析】根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.
【详解】用二分法只能求“变号零点”，①③中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求
故答案为：①③
【点睛】本题考查二分法的应用问题，关键是明确二分法只能用来求“变号零点”，属于基础题.
4．(－1， ＋∞).
【分析】由得，引入新函数，确定新函数的单调性，求出新函数的取值范围可得．
【详解】解 由题意，a＝x－x(x>0)．令g(x)＝x－x，该函数在(0， ＋∞)上为增函数，且g(x)的值域为(－1， ＋∞)，故当a>－1时，f(x)在(0， ＋∞)内有零点．
故答案为：．
5．不能，理由见解析
【解析】根据零点存在性定理只能判断存在零点，但零点个数需要借助函数的单调性进行判断，由此可判断结果.
【详解】解：不能，如仅依据图（1）易得出在（-200，200）内仅有一个零点的错误结论，
要证明函数在某区间上只有一个零点，除证明该函数在区间端点的函数值异号外，
还需证明该函数在该区间上是单调的.
【点睛】本题考查了零点存在性定理的应用，需掌握零点存在性定理只能判断是否有零点，不能判断零点个数，属于基础题.
6．在区间内有零点，理由见解析
【解析】根据零点存在定理可确定结果.
【详解】由对应值表可得：，，
由零点存在定理可知：分别在区间，，内有零点
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.
7．或
【分析】分，函数为一次函数，和，函数为二次函数讨论，当时，令，即得解
【详解】由题意，函数的图象与x轴只有1个公共点
（1）当时，函数为，与x轴只有1个公共点，满足条件；
（2）当时，函数为二次函数，若与x轴只有1个公共点，
则
综上：或
8．见解析
【分析】要证函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，只需证明，即可，根据函数解析式，分别求出对应函数值，即可得证.
【详解】证明：，
因为，所以函数在内有零点，
又因，所以函数中区间内有零点，
又因函数最多两个零点，
所以函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内.
9．
【分析】根据一元二次方程的判别式计算即可求解.
【详解】由没有实根，
知无实根，
所以判别式小于0，
即 ，
解得,
故k的取值范围为.
10．有实数根，理由见解析.
【分析】先求出及的值，进而确定和的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定在上有实数根.
【详解】，
且函数的图象是连续曲线，
在区间内有零点，
即方程在区间内有实数根.
11．0.8125
【解析】将方程化为，可令，根据零点存在定理确定方程在区间内有解；利用二分法不断确定方程解所在区间，直到满足精确度为止.
【详解】原方程可化为：，令
用计算器算得，
这个方程在区间内有解
下面用二分法求方程在区间内的近似解
取区间的中点，用计算器可算得
再取的中点，用计算器可算得
因为
同理可得：
原方程的近似解可取为
【点睛】本题考查利用二分法求解方程的解的问题，关键是能够利用零点存在定理确定零点所在区间，再根据二分法原理来进行求解.
12．0.625.
【分析】利用计算机软件画出函数图象，可判断函数在区间内有一个零点，再用二分法依次计算，直到求出想要的精度为止.
【详解】解:利用计算机软件画出函数图象如图所示：
由题设可知,,
于是.又因为函数在内单调递增,
所以函数在区间内有一个零点.
下面用二分法求函数在区间内的零点
取区间的中点,用计算器可算得.
因为,所以.
再取区间的中点,用计算器可算得.
因为,所以.
同理可得,.
由于,所以原方程的近似解可取为.
【点睛】本题考查二分法求方程的近似解，关键是信息技术的应用，属于基础题.
13．不正确，理由见解析
【解析】当零点不是“变号零点”时，无法用零点存在定理来确定，由此可知原解法有错误；当时，函数为一次函数，解得零点后可知满足题意；当时，函数为二次函数，分别在和两种情况下，求得恰有一个零点时的值，进而得到结果.
【详解】上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论和两种情况；而时，在区间内的零点可能不是“变号零点”
正确解答如下：
（1）当时，
令得：，解得：
∴当时，在内恰有一个零点.
（2）当时，
①若，即，则函数的图象与轴交于点
是内的唯一零点
②若，即
则i.，解得：
ii.当，即时，，解得：，
是内的唯一零点
iii.当时，即时，，解得：，
是内的唯一零点
综上可得，的取值范围是
【点睛】本题考查根据函数在区间内的零点个数求解参数范围问题，重点考查了二次函数根的分布问题；易错点是忽略在区间内的零点不是“变号零点”的情况，即的情况，造成求解错误.
14．B
【分析】利用二分法求函数零点所满足的条件可得出合适的选项.
【详解】观察图象与轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．
故选：B.
15．C
【分析】根据函数零点的定义可求解.
【详解】令，解得，则函数的零点是1.
故选：C.
16．D
【分析】根据反例可得正确的选项.
【详解】函数的图象在上未必连续，故尽管，
但函数在上未必有零点，
比如，满足，，
但是在上无零点.
故选：D.
【点睛】本题考查零点存在定理，注意该定理的前提条件有两个：（1）在上图像不间断；（2），当两个条件均满足时才有结论：在存在零点.
17．B
【解析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.
【详解】函数的零点，
即为函数的图象分别与函数的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图象可得：，
故选：B
【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
18．(2,3)
【详解】设函数f(x)＝x3－2x－5.∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(4)＝51＞0，
∴下一个有根区间是(2,3)．
19．3
【分析】根据函数的零点存在性定理即可判断.
【详解】由题设可得，，则在区间内至少有一个零点；
同理，则在区间内至少有一个零点；
，则在区间内至少有一个零点；
则函数至少有3个零点.
故答案为：3.
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