【第三课】4.3.1对数的概念＋4.3.2对数的运算
扩展1:与对数有关的最值问题
例1.（2023上·上海松江·高三统考期末）已知，则的最小值为
【答案】
【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以且，
所以，
当时等号成立.
故答案为：
【方法总结】基本不等式式求解最值问题的常用方法.可以正用、逆用，需要注意等号成立的条件.
（2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期中）
1．已知，若．则的取值范围是 ．
2．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与参考声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（单位：分贝）与喷出的泉水高度满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为 dm．
扩展2: 用换底公式证明等式
例2.设，且，求证：
【答案】证明见解析.
【分析】首先设，得到，，，根据得到，再利用换底公式即可证明.
【详解】设，，则，，.
因为，所以，
即.
所以，即.
【方法总结】利用换底公式计算、化简、求值与证明的一般思路：
思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．
思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．
（2023下·高一课时练习）
3．已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：．
（2023·全国·高一随堂练习）
4．设，，，且，，利用对数的换底公式证明：
(1)；
(2)．
扩展3: 与对数有关的数学文化题
例3.（2023上·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区某种流行病累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大的确诊病例数，当时，约为（）（ ）
A．69 B．67 C．65 D．63
【答案】B
【分析】根据题意得到，再两边取对数求解即可.
【详解】依题得到，即，
两边取对数的，
即，即，
则.
故选：B
【方法总结】数学文化主要取决于：数学时事、数学名人、数学游戏、数学名著、数学命题、数学猜想、数学图形等.
（2023上·全国·高一专题练习）
5．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿．（，，）
（1991·全国·高考真题）
6．设命题甲为，命题乙为．那么（ ）
A．甲是乙的充分条件．但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
（2022·天津·统考高考真题）
7．化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
（2022·浙江·统考高考真题）
8．已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
（2021·全国·统考高考真题）
9．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
（2020·全国·统考高考真题）
10．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a
11．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2018·全国·高考真题）
12．设，，则
A． B．
C． D．
（2014·安徽·高考真题）
13． .
（2007·湖南·高考真题）
14．若，，则 ．
（1990·上海·高考真题）
15．已知，求y的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】根据不等式性质结合对数的运算性质分析求解.
【详解】因为，，可知，
则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
2．45
【分析】根据对数的运算可求同学大喝一声激起的涌泉最高高度.
【详解】设同学的声强为，喷出泉水高度为，
则同学的声强为，喷出泉水高度为50 dm，
由，得 ①，
∵，∴ ②，①－②得，
解得，∴同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45 dm．
故答案为：45.
3．见解析
【分析】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立.
【详解】证明：在中，因为，所以，
因为
，
所以.
【点睛】本题考查了等式的证明，考查了对数的运算性质、对数的运算法则，属于基础题.
4．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】利用换底公式，即可证明.
【详解】（1），所以等式成立；
（2），所以等式成立.
5．2037
【分析】根据条件，列出不等式，再利用对数运算解不等式即可.
【详解】设x年我国人口将超过20亿，
由题意，列方程得：
∴，
∴，
解得，又，故.
故答案为：
6．B
【分析】求出命题甲中的x的范围，再利用与之间推出关系得出两个命题间的充分必要性关系.
【详解】若命题甲为真，则，故，
，但
故由命题乙可以推出命题甲，但由命题甲推不出命题乙，
所以甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件.
故选：B
7．B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
8．C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
9．C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
10．A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
11．B
【分析】代入函数式，由对数的定义求解．
【详解】由题意，，．
故选：B．
【点睛】本题考查已知对数函数值求自变量的值，利用对数的定义可求解．
12．B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
13．
【详解】试题分析：原式=
考点：1.指对数运算性质.
14．3
【分析】两边同时次方即可得到a的值，代入即可计算.
【详解】因为，∴两边同时次方得，
所以
故答案为：3.
15．
【分析】根据对数的运算法则及性质求解即可.
【详解】，
，解得或，
由知不合题意，舍去，
所以时，，
，即，
解得.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第三练】4.3.1对数的概念＋4.3.2对数的运算
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.能熟练利用对数的运算性质解题，培养逻辑推理，如第1，5题.
2.利用新定义求解与对数有关的问题，锻炼转化与划归能力，如第6题.
3.能够灵活应用基本不等式求解与对数有关的问题，培养逻辑推理能力，如第9题.
一、单选题
（2023·全国·高一专题练习）
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·上海市松江二中校考期中）
2．对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（ ）
A． B． C． D．
（2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）
3．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·安徽·高一校联考竞赛）
4．已知，，，，则（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
（2023上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）
5．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏省南京外国语学校期中）
6．高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
二、多选题
7．若，且，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期中）
8．已知，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·湖北·高三校联考期中）
9．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
（2023上·上海财经大学附属北郊高级中学校考期中）
10．若，，，则的最小值为 ．
（2023上·江苏南京·高一金陵中学校考期中）
11．设，，若，则的最大值为 ．
四、解答题
（2023·高一课时练习）
12．已知a，b，c均为正数，且，求证：；
（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）
13．小钗计划开始学习国画，且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习值看作天后小钗的国画学习值为，已知10天后小钗的国画学习值为1.22.（参考数据：取）
(1)求的值，并写出的解析式；
(2)当小钗的国画学习值达到2.89时，试问小钗已经坚持学习国画多少天？（结果保留整数）
【易错题目】第2，4，5，6，7，9，12题.
【复盘要点】辨明二个易误点
（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；
（2）对公式要熟记，防止混用；
典例:（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）（多选题）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】结合对数的运算性质，幂的运算性质判断各选项.
【详解】对于，当时，，故A错误；
对于，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于，当时，，故D错误.
故选：BC.
【复盘训练】
（2023·江苏·高一假期作业）
14．方程的根为（ ）
A． B．
C．或 D．或
（2023上·江苏连云港·高一江苏省灌云高级中学校联考期中）
15．素数也叫质数，部分素数可写成“（为素数”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“为素数”形式的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
16．已知，，是的三边，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
（2023上·江苏南京·高一校联考期中）
17．以下运算中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．
D．
（2023·河南驻马店期中）
18．已知幂函数的图象经过，则
（2023上·湖南岳阳·高一统考期末）
19．（1）已知实数满足，求的值．
（2）若，求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由对数的运算性质化简求答案.
【详解】由，得，∴，则．
故选：B．
2．D
【分析】根据对数中底数的取值要求进行求解判断即可.
【详解】对数中的实数的取值要求为：且，
A：本选项显然不符合题意；
B：，显然不符合题意；
C：，或，显然不符合题意；
D：且，所以有且，显然符合题意，
故选：D
3．C
【分析】先求出的值，结合选项即可判断．
【详解】，
，
所以所在的区间为.
故选：C
4．D
【分析】利用换底公式转化，再利用基本不等式与已知条件结合，得出结果.
【详解】∵，∴，即，
由基本不等式可知，又因为，
所以，即满足基本不等式取等条件，即，
故选：D.
5．C
【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项.
【详解】由，得，，，
，，，则，
根据可知，.
故选：C
6．C
【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解，进而根据对数的运算与指数的互化即可求解.
【详解】因为，故，取对数得，故，故最接近的是，
故选：C
7．CD
【分析】举反例可判断A，B；利用对数的运算性质可判断C，D.
【详解】对于A，取，，，则，
而，∴A不是一定成立；
对于B，取，，，则，∴B不恒成立；
对于C，，即等式恒成立；
对于D，，即等式恒成立，
故选：CD
8．BCD
【分析】根据已知得判断C，根据指数运算判断A，根据对数运算性质判断BD.
【详解】依题意，，即，则且a，，故C正确；
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
9．ABC
【分析】利用基本不等式及对数的运算性质判断A，利用基本不等式及对数函数的性质判断B，利用乘“1”法及基本不等式判断C，利用基本不等式判断D.
【详解】因为，，且，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
易知，即，所以，
所以，故，当且仅当时取等号，故B正确；
因为，又，所以，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
因为，，且，所以，
当且仅当时取等号，又，
所以，故D错误.
故选：ABC
10．8
【分析】利用基本不等式及对数的运算性质求得，即可求目标式的最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，又，
当且仅当，即时等号成立，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8
11．##
【分析】根据已知推得，，．进而得出，然后即可根据基本不等式，得出答案.
【详解】由得.
又，，所以.
同理可得．
因为，
所以，所以．
又．
当，且时，即，.
由基本不等式知．
当且仅当，即，
即，时等号成立.
当时，，此时；
当时，，此时.
综上所述，的最大值为．
故答案为：．
12．证明见解析
【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证.
【详解】设，则.
∴，
∴，
而，
∴，得证.
13．(1)，
(2)54天
【分析】（1）由题意可得，进而结合指数与对数的相互转化求解即可；
（2）令，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）依题意可得，即，
因为，所以，
因为，所以，
即，则.
（2）令，
得，
故当小钢的国画学习值达到2.89时，小钢已经坚持学习国画54天.
14．B
【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于0.
【详解】由，得，
即，解得，
所以方程的根为.
故选：B
15．B
【分析】由，再结合以及指数、对数互换运算即可得解,
【详解】由题意，
又，所以，
从而对比各个选项可知，各数中与最接近的数为.
故选：B.
16．B
【分析】由关于的二次方程有两个相等的实根，可得，化为，即，即可得出.
【详解】由题意知，即，化简得，所以，所以，所以，故是直角三角形．
故选B.
【点睛】本题考查判断三角形形状的问题，解题关键是正确理解一元二次方程有两个相等实数根的结论即，从而得出，，的关系.
17．ACD
【分析】根据对数的换底公式和对数的运算性质依次判断选项即可.
【详解】A项：由，，，故A项正确；
B项：由，得，所以：，得：，故B项错误；
C项：，故C项正确.
D项：，故D项正确.
故选：ACD.
18．##
【分析】设，根据可求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值.
【详解】设，则，则，则，
所以，.
故答案为：.
19．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用指数幂的运算求出的值，再利用平方差公式可求得的值；
（2）利用指数与对数的换算可得出，，，再利用换底公式以及对数的运算性质可证得结论成立.
【详解】（1）解：，，，
又，，所以；
（2）证明：设，则且，，，
，，，
，.
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