2024届高三数学复习——（平面向量）
1.如图，在中，,,为上一点，且满足
,若,则的值为
2.在中，,为所在的平面内的动点，且,则的取值范围是 .
3.已知等边三角形的边长为，点是该三角形外接圆上的动点，则的最小值为 .
4．“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。“太极和八卦组合了太极八卦图(如图1).某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，为是正八边形的中心，MN是圆的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为, |AB|=|MN|=4. 若点是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的取值范围是
5.设正四面体ABCD的棱长为a，E, F分别是BC，AD的中点，则的值为
6.已知是边长的等边三角形，点D, E分别是AB, BC上的点，且，, 连接D、E并延长到点F，使.则的值为
7.已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为 .
8.已知，，向量满足，则的取值范围是 .
9.已知锐角满足，且为的外接圆圆心，若,则的取值范围为 .
10.若平面向量满足，则夹角的取值范围是_________
11.在中，，过的外心的直线（不经过点）分别交线段于,且,则的取值范围是_____
12.已知平面向量满足，且，则的最小值为__________
13.已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为
14.在平面内，定点满足，动点满足，则的最大值是
15.为内任意一点，角的对边分别为，总有等式成立，下列命题：①若是的重心，则有；②若成立，则是的内心；③若，则；④若是的外心，，则，正确的命题有
16.已知平面向量与的夹角为，则的最大值为
17.设向量满足，则的最大值为
18.（多选）在中，，，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
若，点在线段的延长线上，则
若是的中点，与相交于点，则
若点在线段上，则的值可以是
若是线段上一动点，则为定值
19.（多选）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A.的取值范围是 B.点经过的外心
C.点的轨迹的长度为2 D.的取值范围是
20.（多选）已知为所在平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A.若为的重心，，则
B.若为锐角的外心，且，则
C.若,则点的轨迹经过的重心
D.若,则点的轨迹经过的内心
21.在中，,若与线段交于点，且满足，且，则的最大值为_____________.
22.已知在中，，设点满足：，若，则_____________.
23.在中，分别是线段上的点，且，若，则____________.
24.已知是半径为圆心角为的一段圆弧上的一点，若，则的取值范围是____________________.
25.已知在直角三角形中，，点在以为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 .
26.已知，则在方向上的投影向量为 .
27.在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 .
28.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为
“赵爽弦图”. 如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知, 为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）. 若，则的取值范围为______.
29.在平行四边形中，点在边上，且，点为线段上的一动点（包含端点），若，则的取值范围为______.
30.已知平面向量满足，， ,，则的最小值为______.
31.已知圆定点,动点分别在圆上运动且满足，则线段的取值范围为 .
32.已知是圆心为，半径为的圆的内接三角形，是圆上一点，是的重心，若，则 .
33.数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心 重心 垂心，若则下列各式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
在中，,为的重心,若,则的外接圆的半径为 .
设为的内心，，则 .
36.设为的外心，若，则的值为 .
37.在中，点、点分别为的外心和垂心，，则=___________。
38.在中，，为的外心，，则=___________。
39.是边长为1的正三角形，点四等分线段。
（1）则的值为___________；
（2）若是线段的等分点，，其中，则的值为
___________；
（3）为边上一动点，当取最小值时，则的长为___________。
40.如图，设中角，，所对的边分别为，，，为的中点，已知，，点，分别为边，上的动点，线段交于，且，，，则的最小值为________.
41.在锐角中，，点为的外心.
（1）若，则的最大值为____________；
（2）若，
（i）求证：；
（ii）的取值范围为________.
42.在菱形中，，，，，已知点在线段上，且，则______________；若点为线段上一个动点，则的最小值为_______________.平面向量参考答案
2 2 1
1．设CP = CD，则 AP = AC +CP = AC + CD = AC + ( AB AC) = AB + (1 )AC = AB +mAC ，
3 3 2
3
2 1 = = 4 2
3 2 ，解得 ．因为 AB = 3，所以 AD = AB = 2，又 AC = 2 ，
1 3
m=1 m=
4
π π 3 3
BAC = ，所以△ADC 为等边三角形，所以 ACD = ，CP = CD = ，由余弦
3 3 4 2
2
3 3 1 13 13
定理 AP2 = AC2 +CD2 2AC CDcos ACD = 22 + 2 2 = ，所以 AP = ；
2 2 2 4 2
2．（方法一）极化恒等式，简单
（方法二）由已知，以C 为坐标原点，分别以CB ，CA为 x轴， y 轴的正
方向，建立平面直角坐标系，则C(0,0)，B(8,0) ， A(0,6)，
设 P(x, y)，由 PC =1可知， x2 +y2 =1(x 0,y 0) ，
2 2
PA=( x,6 y)， PB=(8 x, y)，所以PA PB=x2 +y2 8x 6y=1 8x 6y ，因为 x +y =1，可令
4 3
x=cos ,y=sin ，所以 PA PB=1 8x 6y=1 8cos 6sin =1 10sin( + ) ，其中sin = ,cos = ，
5 5
因为 sin( + ) 1,1 ,10sin( + ) 10,10 ，所以PA PB的取值范围为： 9,11 .
3．以 ABC外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，因为等边 ABC的边长为2 3 ，则
BC
= 2r r = 2，设 A(2,0)，B( 1, 3)，C( 1, 3)，P(2cos ,2sin ) ，
sin A
则 PA = (2 2cos , 2sin )，PB = ( 1 2cos , 3 2sin )，PC = ( 1 2cos , 3 2sin )，
所以 PA PB = (2 2cos , 2sin ) ( 1 2cos , 3 2sin ) = 2 2 3sin 2cos ，
PA PC = (2 2cos , 2sin ) ( 1 2cos , 3 2sin ) = 2 2cos +2 3sin ，
所以 PA PB + PA PC = 4 4cos ，因为 1 cos 1，所以 4 4cos 4，
所以 PA PB + PA PC 的最小值 0.
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4．如图，连接 PO．因为 PM = PO +OM ， PN = PO+ON = PO OM ，所以
2
PM PN = (PO+OM ) (PO OM ) = PO OM ．因为正八边形 ABCDEFGH内
切圆的半径为 2 2 + 2， AB 4，所以 2 2 + 2 PO 16+8 2 ．因为
MN = 4，所以 OM = 2
2 2
，所以8+8 2 PO OM 12+8 2 ，即PN PN 的
取值范围是 8+8 2,12+8 2 ．
1 1
5．因为 E，F分别是 BC，AD的中点， AE = (AB + AC)， AF = AD，
2 2
又正四面体 ABCD的棱长都为a， AB, AD = AC, AD = 60 ，
1 1 1 1 1
AE AF = (AB + AC) AD = (AB AD+ AC AD) = (a2 cos60 + a2 cos60 ) = a2 ．
2 2 4 4 4
1 2 2 4
6．由 AD = AB ， BE = BC，得DE = AC，又DE = EF ，则DF = AC ，
3 3 3 3
1 4
又 AF = AD +DF = AB + AC ， BC=AC AB，
3 3
1 4 1 2 4 2 1 1 2 4 2
则 AF BC= AB+ AC (AC AB)= AB AC AB + AC = 2 3 2 3 ×(2 3) + (2 3) =6
3 3 3 3 2 3 3
2 2
7．因为 a,b 是单位向量，所以 a =1, b =1
2 2
，故 a = a =1,b = b =1，
2 2
( ) 2 2由 a b = 2得 a b = 4，即 a b = 4，则 a 2a b +b = 4 ，即1 2a b +1= 4，得a b = 1，
b a b b 1 b
设 a与b 的夹角为 ，则 a在b 方向上的投影向量为 a cos = = = b .
b b b 1 1
→ → 3 2 2 2 5
8．由题意 a b = ， a + b = 2得： a +b = 4 ，即有a +b = ，如图示，设
4 2
3
OA = a,OB = b,cos AOB = ，
4
2 3 2 14
故不妨设 a = ( 2,0)，则 | a |= 2,| b |= ，则b = ( , ) ，
2 8 8
→ → → →
设OC = c，则CA = a c,CB = b c ，因为 a c b c = 0，故可得CA⊥CB，所以 C点在以 AB为直径
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3 2 2 14的圆上运动，在 AOB中， | AB |= ( 2) + ( )2
11 2 14
=1 ,AB的中点为 ( , ) ，
8 8 16 16
11 2 14 1
则以 AB为直径的圆的方程为 (x )2 + (y )2 = ，故 | OC |的最大值为
16 16 4
11 2 → 1 3
( )2
14 2 1 3 11 2 14 1 1+ ( ) + = ，最小值为 ( )2 + ( )2 = ，即 c 的取值范围是 , ，
16 16 2 2 16 16 2 2 2 2
c 2 3
9．如图所示：由正弦定理可得： 2R 4，所以R = 2，在 AOB 中，由余弦定理
sin C sin 60
| OA |2 | OB |2 | AB |2 4 4 12 1
可得 cos AOB ,又因为 AOB (0 ,180 ) ,所以
2 | OA | | OB | 2 2 2 2
AOB =120 .又因为OC = OA+ OB ，所以
| OC |2= 2 | OA |2 + 2 | OB |2 +2 | OA | | OB | cos AOB ，
3
= sin
3
即有： 4 = 4 2 +4 2 4 ，即 2 + 2 =1，所以 ( )2 + ( )2 2=1，设 ，可得
2 2 = cos
2
2 3 2 3
= sin 1 sin 0
3 1 0 3
，又因为 ABC为锐角三角形，所以 ，所以 ，
3 1 0 3
= cos sin 1 cos sin 0
3 3
2 3
1 m 0
3
设 sin m,cos n，则有 ，所以2 = 3sin + cos =
3
1 n m 0
3
2 3 3
3m n 2 m n m 2,1 ，所以2 ( 2,1)
3 3
（方法二）用等和线做很简单，大家思考一下
10．设OA = a ，OB = b ，OC = c ，以 O为原点，c 方向为 x轴正方向建立平面直角坐标系，
a c =1 0，b c = 3 0 ， a b = 2 0， a ，b ， c 三者直接各自的夹角都为锐角，
c =1， a c = a c cos a,c =1，b c = b c cos b,c = 3，
a cos a,c =1， b cos b,c = 3，即 a在 c 上的投影为 1，b 在c 上的投
影为 3， A(1, m)， B (3, n)，如图
a = (1,m)，b = (3,n)， a b = 3+mn = 2即mn = 1，且
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a b 22 2 4 4
cos a,b = = ，则 cos2 a,b = = =
a b 1+m2 9+ n2 1+m2
2 2 2 2 2 2
9+ n
2
9+ n + 9m +m n 10+ n + 9m
2 2
1
由基本不等式得 n +9m2 2 n2 9m2 = 6mn = 6， cos a,b ， a与b 的夹角为锐角，
4
1 π π
0 cos a,b ，由余弦函数可得：a与b 夹角的取值范围是 , ， 2 3 2
11．因为 ABC中， AB = 3, AC = 2, A = ，由余弦定理可得
3
2 2 2 1 BC 7BC = AB + AC 2AB AC cos = 9+ 4 2 3 2 = 7，即BC = 7 ，且 r = = ，
3 2 2sin A 3
设 AO = xAB+ yAC，则 BO = BA+ AO = (x 1)AB+ yAC ，CO =CA+ AO = xAB+ (y 1)AC ，
AO = 9x2 2
7 7
所以 + 4(y 1) + 6x(y 1) = ，同理可得9(x 1)
2 + 4y2 + 6(x 1)y = ，
3 3
9x2
7 4 1 4 1
+ 4(y 1)2 + 6x(y 1) = ，解得 x = , y = ，所以 AO = AB + AC ，又因为 AD = AB，
3 9 6 9 6
4 1 1 1 4 1
AE = AC，所以 AO = AD + AE ，因为D,O,E 三点共线，可得 + =1，因为 [0,1]，所以
9 6 9 6
4 1 10 8
( + ) [0,1]，所以 ，同理可得0 1，所以 所以
9 6 3 15
4 1 11 4 8 10 11 t 4
+ = ( + ) ( + ) = + + ，设 t = [ , ]，可得 + = + + ，令
9 6 18 6 9 15 3 18 6 9t
11 t 4 1 4 2 2
g (t ) = + + ，可得 g (t ) = ，令 g (t ) = 02 ，解得 t = ， 18 6 9t 6 9t 3
8 2 2 2 2 10
当 t [ , )时， g ( x) 0， g (t )单调递减；当 t ( , ]时， g ( x) 0 ， g (t )单调递增，所以当
15 3 3 3
2 2 11 1 4 11+ 4 6 8 23 10 39
t = 时， + 取得最小值，最小值为 + 2 = ；又由 g( ) = ， g( ) = ，可得
3 18 6 9 18 15 15 3 30
8 10 8 23 11+ 4 6 23
g( ) g( )，所以当 t = 时， + 取得最大值，最大值为 ，所以 + 的取值范围是 ,
15 3 15 15 18 15
12．建立如图所示直角坐标系，由题意可设OA=a=(2,0), OB=b= (0,2)，
OC = c = (x, y)，则 c a=(x 2,y)=AC, c a b= (x 2,y 2)，c b=(x,y 2)=BC ，
2 2
由 |c a b|=1得 (x 2) + ( y 2) =1，故 C在以D (2, 2)为圆心，半径为 1 的圆上，
3 DE DC 1
取 E 2, ，则 E 在 AD上，则 = = ，又 CDE= ADC ，∴
2 DC DA 2
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EC 1
EDC CDA，∴ = ，即 AC = 2 EC ，∴
AC 2
2
2 3
|c a|+2|c b|= AC +2 BC =2( EC + BC ) 2 EB =2 (2 0) + 2 = 17 .
2
1
1
13．因为 a b 1， a b = ，所以 a b 1cos a,b = = 2 = ，因为 a,b [0, ]，所以 a,b = ，
2
a b 1 2 3
如图，令OA = a,OB = b ，则OD = a +b，OC = 2(a +b)，所以 OD = 3，OC = 2 3，
2 2 1
因为 a b = a 2a b+b = 1 2 +1 =1， c 2a 2b = a b ，所以
2
c 2a 2b =1，即 c 2(a +b) =1，设OP = c，则点 P 的轨迹是以C 为圆
心，1 为半径的圆，令OQ = b， 则 c b =OP OQ =QP ，
所以当CQ ⊥OQ，且 C，P，Q三点共线时， c b ( R)取最小值，则 c b = OC sin 30 1= 3 1
min
14．由题意知 | DA |=| DB |=| DC |，即点D 到 A, B,C三点的距离相等，可得D 为 ABC的外心，
又由 DA DB = DB DC = DC DA= 2，可得DA DB DB DC = DB (DA DC) = DB CA= 0 ，所以DA⊥ AC ，
同理可得 DA⊥ BC, DC ⊥ AB，所以D为 ABC的垂心，所以 ABC的外心
与垂心重合，所以 ABC为正三角形，且D 为 ABC的中心，因为
2 1
DA DB = DA DB cos ADB = DA ( ) = 2 ，解得 DA = 2，
2
所以 ABC为边长为 2 3的正三角形，如图所示，以A 为原点建立直角坐标
系，则 B(3, 3),C(3, 3), D(2,0)，因为 AP =1，可得设 P(cos ,sin )，其中
3+ cos 3 + sin
[0,2 ]，又因为 PM = MC，即M 为 PC 的中点，可得M ( , ) ，所以
2 2
37+12sin( ) 2 49
2 3+ cos 2 3 + sin 2 6 37+12 49 .即 BM 的最大值为 . BM = ( 3) + ( + 3) = = 4
2 2 4 4 4
15． 对于①：如图所示：因为D、E、F 分别为CA、AB、BC的中点，所以CP = 2PE ,
1 2 1 1 1
S AEC = S ABC , S APC = S AEC = S ABC，同理可得 S APB = S ABC 、 S BPC = S ABC ，所
2 3 3 3 3
以 S = S =S△PBC △PAC △PAB ，又因为 S PA+ S PB + S PC = 0△PBC △PAC △PAB 所以
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PA+ PB + PC = 0 .①正确.对于②：记点 P 到 AB、BC、CA的距离分别为h1、h2、h3 ，
1 1 1
S = a h2 , S = b h , S = c h S PA+ S PB + S PC = 0△PBC △PAC 3 △PAB 1，因为 △PBC △PAC △PAB ，则
2 2 2
1 1 1
a h PA+ b h PB + c h a h PA+ b h PB + c h PC = 02 3 1 PC = 0，即 2 3 1 ，又因为aPA+bPB + cPC = 0，
2 2 2
2 1
所以 h1=h2 =h3，所以点 P 是 ABC的内心.②正确.对于③：因为 AP = AB + AC ，所以
5 5
2 1 3 1 2 4
PA = AB AC , PB = PA+ AB = AB AC , PC = PA+ AC = AB + AC ,
5 5 5 5 5 5
2 1 3 1 2 4
所以 S AB AC + S△PBC △PAC AB AC + S AB + AC = 0△PAB ,
5 5 5 5 5 5
2 3 2 1 1 4
化简得： S + S S AB + S S + S AC = 0△PBC △PAC △PAB △PBC △PAC △PAB ，
5 5 5 5 5 5
2 3 2
S PBC + S PAC S PAB =0 5 5 5 S PBC =2S PAB
又因为 AB、AC 不共线.所以 ，
1 1 4 S S S + S =0 PAC
=2S PAB
PBC PAC PAB 5 5 5
S
△ABP S 1= PAB = .③错误.
S S + S + S 5
△ABC PBC PAC PAB
π
对于④：因为 P 是 ABC的外心， A = ，所以 BPC = , PA = PB = PC ，PB PC= PB PC cos BPC = 0
4 2
2 2 2
因为 2PA = mPB + nPC，则 PA = m PB + 2mnPB PC + n
2 PC ，化简得： m2 +n2 =1 ,由题意知m、n不同
m = cos
时为正.记 , 2 ,则m + n = cos + sin = 2 sin + ，因为
n = sin 2 4
3 9 2
+ 1 sin + 2 2 sin + 1，所以m+ n 2,1 ) .④正确.故答案为：①②④. 4 4 4 4 2 4
16．以向量 a 与 2 b 为两边作△ ABC， a = AB， 2b = BC， CAB = 30
1
则 a + 2b = AC ，则在△ ABC中 BC AB sin CAB ，即 2 b a ，
2
a
则 4
1
，当且仅当 2 b = a 即 2b ⊥ a时等号成立.
b 2
1 1 1
17．由题意可得 | a |=| b |=1， a b = ， 1 1 cos a,b = ， cos a,b = ，
2 2 2
又 a,b 0,π ， a,b =120 ， 设OA = a ，OB = b ，OC = c ，则CA = a c ，
CB = b c，又 a c,b c = 60 ， ACB + AOB = 60 +120 =180 ，
A、O、 B 、C 四点共圆，当 | c |最大时，有 | c |= OC = 2R， R 为该圆的半径，
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2
2 2 2 AB 3由 AB = (b a) = a + b 2a b = 3，所以， AB = 3 ，在 AOB中，由正弦定理可得2R = = = 2 ，
sin AOB sin120
当且仅当OC 是 AOB的平分线时，取等号，此时 | c |的最大值为圆的直径大小为2 .
2
18．选项 A：若 BC = 3 ，则 AB = 4 ，则 AB AD = AB =16 ，故 A 正确.
1 1 1
选项 B：令 EQ = EC ，则 AQ = AE + EQ = AB + AB + BC ，所以 AQ = + AB + BC ；
2 2 2 2
1 1
+ =1 = 2 2 2 3
令 BQ = BF ，则 AQ = AB + BQ = 1 AB + BC .所以
2 2 2 = =
2 3
2 1
即 AQ = BA+ BC ，故 B 正确.
3 3
选项 C：设 AP = AC ， 0，1 ，则
2 2
( ) 2 2 2 2 2 2BP AP = 1 AB+ BC AB+ BC = 1 AB + BC ( ) ( ) ， AC AB = 25 AB ，当
25 2 25 2 25 25 25
BP AP = 2 时， 25 AB = ，即 AB = 25 + 2 25 = 25 ，当且仅当25 = 即
4 4 4 4 4
1
= 时取等，从而 AB 5，又 AB AC = 5，与题意矛盾，故 C 不正确.
2
2 1 1
选项 D：设 AE = AB ， 0,1 ，则 EA EB = (1 ) AB ，因为EF = EA+ AF = AB + BC
2 2
2 22 1 2 1 2 1 1 2 25 2 25
所以 EF = AB + BC = AB + ，所以 EA EB + EF = (定值)，故 D 正
2 4 2 4 4 4
确.故选：ABD.
2
19．由 AB AC = AC ，又斜边 AB = 2，则 | AC | (0, 2)，则 AB AC (0, 4)，A 正确；
1
若O为 AB 中点，则 AO = AB，故 AP = sin2 AO+ cos2 AC ，又
2
sin2 +cos2 =1，所以O, P,C共线，故 P 在线段OC 上，轨迹长为 1，又O是
ABC的外心，B 正确，C 错误；由上PA+ PB = 2PO，则 PC (PA+ PB) = 2PC PO = 2 | PC || PO |，
| PC | + | PO | 1 1
又 | PC | + | PO |=| OC |=1，则 | PC || PO | ( )2 = ，当且仅当 | PC |=| PO |= 等号成立，
2 4 2
1
所以 PC (PA+ PB) = 2 | PC || PO | [ ,0]，D 正确.故选：ABD
2
20．对于 A 选项，因为 AC = AP + PC ， AB AC = 2，又因为 P 为 ABC的垂心，
所以 AB PC = 0，所以 AB AC = AB (AP + PC ) = AB AP + AB PC = AB AP = 2，故正确；
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对于 B 选项，因为 AP = xAB+ yAC 且 x+ 2y =1，所以 AP = (1 2y)AB + yAC ，整理得：
AP AB = y(AC 2AB)，即 BP = y(BC + BA)，设D 为 AC 中点，则
BP = 2yBD，所以 B, P, D三点共线，又因为PD ⊥ AC ，所以BD垂直平分
AC ，故 AB = BC，正确；
AC AB
对于 C 选项，由正弦定理 = 得 AC sinC = AB sin B，
sin B sin C
AB AC
所以 AP = + = (AB + AC )，设BC中点为E ，则 AB + AC = 2AE ，所以
AB sinB AC sinC AB sinB
2
AP = AE，所以 A, P, E三点共线，即点 P 在边BC的中线上，故点 P 的轨迹经过 ABC的重心，正
AB sinB
1 1 1 1
确；对于 D 选项，因为 AP = + AB + + AC
AB cosB 2 AC cosC 2
1 1 1
= AB + AC + (AB + AC )
AB cosB AC cosC 2
，
设 BC中点为 E ，则 AB + AC = 2AE，所以
1 1
AP = AB + AC + AE ，
AB cosB AC cosC
1 1
所以 AP BC = AB BC + AC BC + AE BC = BC + BC + AE BC = AE BC ，
AB cosB AC cosC
所以 AP BC AE BC = 0，即 (AP AE ) BC = 0，所以EP BC = 0，故 P 在BC 中垂线上，故点P 的轨迹
经过 ABC的外心，错误.故选：ABC
2π 1 3
21．如图所示：设C(0,0)， A(1,0)，因为 ACB= ，CB＝1，则 B ( , ) ，
3 2 2
1 3
CA = (1,0)，CB=( , )，设M (x, y)，则CM = (x, y)，
2 2
1
x= 1 2 2
因为 CM =1 x
2 + y2，所以 =1，因为CM = 1CA+ 2CB，则 ，所以
3y=
2
2
1
有 ( )2
3
1 2 +( 2 )
2 =1，
2 2
试卷第 8 页，共 16 页
2 2 ( 1+ 2 )
2 1 ( + )2
即 1 + 2 1 2 =1，即 = ，又
1 2 （ 1>0 , 2 >0），所以1 2 1 2
3 4
( 1+ 2 )
2 1 ( 1+ )
2
2 ，解得0 1+ 2 2，当且仅当 1= 2 =1时不等式取等号.则 1+ 2 的最大值为 2.故答
3 4
案为：2
2
42 + 422 2 2 4 3
22． AB + AC BC ( ) 1cos BAC = = =
2AB AC 2 4 4 2
2 2 1
AB BP = AB (AP AB) = AB ( AC AB) = AB AC AB = AB AC cos120 AB = 4 4 16 = 22 ，
2
3 3
解得 = ，故答案为： .
4 4
2 1 2
23．因为 AD = 3DB， BE = BC，所以DB = AB ，BE = BC ，
3 4 3
1 2 1 2 5 2 5
所以 DE = DB + BE = AB + BC = AB + (AC AB) = AB + AC = xAB + yAC ，所以 x = ，
4 3 4 3 12 3 12
2 5 2 1 1
y = ，所以 x + y = + = .故答案为： .
3 12 3 4 4
24．
如图所示，建立平面直角坐标系，则
3 3 3 3 3
P ( 3 cos , 3 sin ) 2π , 0, ， B ( 3,0)， A , ， BA = , 3 2 2 2 2 ， 由
1 3 1 3 1
AC = 2CB AB = 3CB，则OC =OB + BA = , C ，即有 , ， 3 2 2 2 2
3 1 3 3
PC PA = 3 cos , 3sin 3 cos , 3sin
2 2 2 2
= 3 2 3sin ，∵ sin 0,1 ，∴ PC PA 3 2 3,3 .故答案为：
3 2 3,3
（方法二）极化恒等式
4 5
25．由题意得 BC =2 5，圆的半径 r = ，取BC中点为D ，
5
2 1 2
则 PB PC=(PD+DB) (PD+DC)=PD BC =|PD|
2 5，
4
试卷第 9 页，共 16 页
4 5 9 5 81 56 56
由圆的性质得 |PD|max =|AD|+r= 5+ = ，故PB PC 的最大值为 5= ，故答案为：
5 5 5 5 5
2
26．由 BC = AC AB = (3,t ) (2,3) = (1,t 3)，又 BC = 12 + (t 3) =1，解得 t=3， AC = (3,3)，
AB = 22 +32 = 13， AC = 3
2 +32 = 3 2 ， AB在 AC 方向上的投影为
AB AC 2 3+3 3 5 2
AB cos AB AC = = = ，所以 AB在 AC 方向上的投影向量为
AC 3 2 2
5 2 AC 5 2 (3,3) 5 5
= = , 5 5 ，故答案为：
2 2 3 2 2 2
, .
AC 2 2
1 1
27．取线段MN 的中点 P，连接CP，过 C作CO ⊥ AB于 O，如图，则 PM = MN = ，
2 2
2 2 2 1 3
依题意，CM CN=(CP+PM ) (CP PM )=CP PM =CP ，因CM CN 的最小值为 ，则 |CP|的最小
4 4
CO 1 35
值为 1，因此 CO =1，在Rt AOC 中， cos OCA= = ,sin OCA= ，
CA 6 6
CO 1 2 2
在Rt BOC中， cos OCB= = ， sin OCB= ，cos ACB=cos( OCA+ OCB)
CB 3 3
1 1 2 2 35 1 2 70 1 2 70
=cos OCAcos OCB sin OCAsin OCB= × = ．故答案为：
3 6 3 6 18 18
28．过点A 作 AK∥ME ，分别交 EH , EF于点 N , K ，过点 N 作
NQ∥AB，交ME 的延长线于点Q，过点K 作KL∥ AB，交ME 的延长线
于点 L ，如图，由MP = ME MB = ME +MA，可知，点 P 在线段NK 上
运动（不含端点）.当点 P 与点 N 重合时，MP = MQ+MA = 2ME +MA，可
知 = 2 .当点 P 与点 K 重合时，MP =ML+MA= 4ME +MA，可知 = 4 .故
的取值范围为 (2, 4) .故答案为： (2, 4)
1 1
29．由CF = CE + BA = (CB + BE )+ BA = CB + BA + BA = CB + + CD ，
4 4
5 5 1 5 1
所以 + =1且 0≤ ≤1，结合目标式有 =1 [ ,0) (0,1] ， f ( ) = +
4 4 4 4(1 )
，
试卷第 10 页，共 16 页
1 5 1 1
[ ,0) (0,1]， f ( ) = = 0 = 2 5 42 2 1 ， 2 = 2 5 4 （舍），故
f ( )在 , 0 、4 4(1 ) 4
1( 0,2 5 4 ,0 f ( ) ( , 3 (0,1] 上递减，在[2 5 4,1]上递增，当 时 ，当 时 4
9 9 9
f ( ) + 5,+ ，所以 f ( ) ( , 3 + 5,+ ．故答案为： ( , 3 + 5,+
4 4 4
30．令OA = a，OB = b，OC = c，OB的中点为 D，AB的中点为 E，OD的中点为 F，
2
a与b 的夹角为 ，连接 CA、CB、CD、CO、EF.由 a =1， b = 2，a = a b，得1=1 2 cos ，
1
cos = ，因为 0, ，所以 = ，在 OAB中，由余弦定理得 AB = 3 .又由
2 3
2 b
2c = b c ，得 c c = 0，所以点 C的轨迹为以 OD为直径的圆.因为
2
2 22 2 2 2 1 1 2 2
2( c a + c b ) = 2( AC + BC ) = 2 EC + AB + EC AB = 4 CE + AB
2 2
2 2 1
= 4 CE +3 4 EF +3 = 7 2 3 ，当且仅当点 C、E、F共线，且点 C在点
2
2 2 7 7
E、F之间时，等号成立.所以 c a + c b 的最小值为 3 .故答案为： 3 .
2 2
31.
2 2 2 2 2
32.∵ AM = AG +GO +OM ，则 AM = (AG +GO) +OM + 2(AG +GO) OM = AO +OM + 2AG OM + 2GO OM
2 2
∵OM ⊥OG ，则GO OM = 0，∴ AM = 2R2 + 2AG OM ，同理可得：BM = 2R2 + 2BG OM ，
2 2 2 2
2 AM +BM +CM = 6R2CM = 2R + 2CG OM ，∴ + 2(AG+BG+CG) OM ，∵G 是 ABC的重心，则
2 2 2
GA+GB +GC = 0即 AG + BG +CG = 0，∴ AM + BM +CM = 6R2 ，故答案为：6R
2 ．
2 1 1
33. G是三角形 ABC的重心，所以 AG = ( )
AB + AC = (AB + AC )， 3 2 3
1 1 2 2
AG BC 4 = (AB + AC ) (AC AB) 4 = (AC AB ) 4 = 8，A 错误.根据欧拉线的知识可知
3 3
2GO = GH ，B 选项正确. AO BC + 6 = (AH +HO) BC + 6 = AH BC +HO BC + 6 = HO BC + 6
3 3 3 3
= HG BC + 6 = (AG AH ) BC + 6 = (AG BC AH BC )+ 6 = AG BC + 6
2 2 2 2
3 1 1
= (AB + AC ) (AC AB)+ 6 = (22 42 )+ 6 = 0，所以 C 选项正确.
2 3 2
试卷第 11 页，共 16 页
1
OH = 3OG = 3(OA+ AG) = 3OA+3AG = 3OA+3 (AB + AC ) = 3OA+ AB + AC
3
= 3OA+OB OA+OC OA =OA+OB +OC ，所以 D 选项正确.故选：A
34.因为 AO AB = AO AC，所以 AO (AB AC ) = AO CB = 0，即 AO ⊥CB .因为 O 为△ABC的重心，且
1 1 2 1 2
A = ，所以△ABC为等边三角形.因为 AO AB = (AB + AC ) AB = AB + AB = 2，所以 AB = 2 .因为
3 3 3 6
2 4 3 2 3
= ，所以△ABC外接圆的半径为 .
sin 60 3 3
35.取 BC中点 D，连接 AD ，作OE ⊥ AB，垂足分别为 E ，
AB = AC， AD 为 BAC 的角平分线， O AD；
1 4 4
又 AB = 5， BD = BC = 4， sin BAD = ，则 tan BAD = ；
2 5 3
1 1
ABC周长 L = 5+5+8 =18，面积 S = BC AD = 8 5
2 42 =12 ， ABC 内切圆半径
2 2
2S 24 4 r 5 5
r =OE = = = ， AE = =1，又OA = 1
2 + r2 = ， AO = AD ，
L 18 3 tan BAD 3 9
1 5 5 5 5 5 5 5 5
AD = AB + BD = AB + BC ， AO = AD = AB + BC ， m ，n = ， m+ n = + = .
2 9 9 18 9 18 9 18 6
5
故答案为： .
6
36.设 ABC外接圆的半径为 R ，因为 AO = AB + 2AC ，所以2AC = AO AB = BO，所以
1 1
AC = BO = R，且 AC//BO，取 AC 的中点M ，连接OM ，则OM ⊥ AC ，
2 2
π
因为 AC//BO，所以OM ⊥ BO，即 BOM = ，所以
2
1 1
AC R
π MC 1
cos BOC = cos + MOC = sin MOC = =
2 = 4 = ，
2 OC OB R 4
在 BOC中由余弦定理可得：
1 10
BC = OB2 +OC2 2OB OC cos BOC = R2 + R2 2R2 = R，在 ABC中，由正弦定理可得：
4 2
10
R 10
BC 10 ，故答案为： .
sin BAC = = 2 = 4
2R 2R 4
37. OH = AH AO ，OH BC = (AH AO) BC = AH BC AO BC ，因为 H 为垂心，
所以 AH BC = 0，OH BC = AO BC，设 AOB = A, AOB = B，外接圆的半径为 r ，
2 2 2
由余弦定理得 AB = AO + OB 2 AO OB cos A = r2 + r2 2r2 cos A = 2r2 2r2 cos A，
试卷第 12 页，共 16 页
2 2 2
同理 AC = AO + OC 2 AO OC cos A = r2 + r2 2r2 cos B = 2r2 2r2 cos B，
所以 AO BC = AO (BO +OC ) = AO BO + AO OC =OA OB OA OC = OA OB cos A OA OC cos B
2 2 1
= r2 cos A r2 cos B = ( AC AB ) = 8，所以OH BC = 8，故答案为：8
2
38.如图，设 AB, BC的中点为 D,E，连接 OD,OE,则OD⊥ AB,OE ⊥ BC ,
故 BA BO = 2，即 2BD BO = 2 | BD | | BO | cos OBD = 2 ,
即 | BD |2=1,| BD |=1，故 | BA |= 2 , BC BO = 4，即
2BE BO = 2 | BE | | BO | cos OBE = 4 ,即 | BE |2= 2,| BE |= 2 ，故 | BC |= 2 2 ,
1
故 BA BC = |BA| |BC|cos BAC = 2 2 2 = 2 2
2
39． （1）设 AB = a， AC = b ，因为 ABC是边长为 1 的正三角形，
π 1
所以 a b 1， a b = a b cos = ，因为P1、P3 为线段BC的四等分点，
3 2
1 1 3 1 1 3
所以 AP1 = AB + BC=a + (b a)= a + b，同理可得 AP3 = a + b，
4 4 4 4 4 4
3 1 5 3
所以 AB AP1 + AP1 AP3 = AP1 (AB + AP3)=( a + b) ( a + b)
4 4 4 4
1 2 2 25
= (15a +14a b +3b )= ．
16 16
（2）根据题意可知Q1,Q2 Qk Q2021是线段BC的 2022 等分点，
2022 k k
仿照（1）推导过程可知， AQk = a + b (k =1,2, ,n 1)，
2022 2022
所以 AB + AC = AQ1 + AQ2021 = = AQ2021 + AQ1 = a + b
所以 AB + AQ1 + AQ2 + + AQ2021 + AC + AC + AQ2021 + + AQ2 + AQ1 + AB
= AB + AC + AQ1 + AQ2021 + + AQ2021 + AQ1 + AC + AB = 2023 AB + AC = 2023 a +b ，
2023 2023 2 2 2023 3
则 AB + AQ1 + AQ2 + + AQ2021 + AC = a +b = a + 2a b +b = .
2 2 2
（ ）设 BP = BC ，则 BP = (AC AB) = (b a)3 ，
PA PC = (PB + BA) (PB + BC) = (a b) a (a b) + b a
所以
2
2 2
2 3 1 3 1 3
整理得 ( 1) ( 1)a (2 1)a b+ b = + = ．当 = 时，取最小值，此时 2 2 4 16 4
试卷第 13 页，共 16 页
3 1 3 1 2 3 9 2 13 13
AP = AB + BP = a + (b a) = a + b，则 AP = a + a b + b = ，所以 AP 的长为 ．
4 4 4 16 8 16 4 4
1 2 1
40．（1）由 S = bcsin A = 2c sin A， b = 4，∵D 为BC的中点， AD = (AB + AC) ，
2 2
2 1 2 2 21 1
AD = (AB + AC + 2AB AC) = (1+16+ 2 1 4cos BAC)
4 4 4
1
∴ cos BAC = ，又0 A 180 ，所以 BAC = 60 ；
2
2 1
（2）由（1）可知： AD = (17+8cos BAC) ，
4
1 1 2 7 21
AD AB = (AB + AC) AB = + 2cos BAC ，∵ sin BAD = ，D 为BC 的中点，∴ cos BAD = ，
2 2 7 7
1
+ 2cos BAC
AB AD 21 21 1
cos BAD = = 2 = ，解得cos BAC = ，
AB AD 7 1 717 +8cos BAC 2
2
1 3 3
设 AE = x(0 x 1)， AF = y(2 y 4) ，则 3S AEF = xy 3 = xy，设 AG = AE + (1 )AF ，
2 2 4
= x
y(1 ) 2 y
AG = AD = AB + AC = xAB + AC，则 ，解得 = ，
2 2 4 y(1 ) 4x + y=
2 4
y 4x y 4x
故 AG = AE + AF ， AG EF = AG (AF AE) = AE + AF (AF AE)
4x + y 4x + y 4x + y 4x + y
9 2 2 AG EF 2(3y 2x)xy 3x y y
4x 2 y 2 y 4x = = = t, t 2
= AF AE + AE AF = 2 ， 3 4x + y ，令 ， xy x
4x + y 4x + y 4x + y 4x + y 4
2(3y 2x) 3t 2 14 4 4
= = 2 = 2(3 ) ，当且仅当 t = 2时取等号，所以 的最小值为 .
4x + y t + 4 t + 4 3 3
41． (1) 点O为 ABC的外心，令 ABC外接圆半径为 R，则由BO = xBA+ yBC 可得
BO = x(OA OB)+ y(OC OB)，则 (1 x y)BO = xOA+ yOC，则
2 2 2 2 2 2 2 2 1(1 x y) R = x R + y R +2xyR cos AOC，又 ABC锐角三角形， cos AOC = 2cos B 1= ，则
2
(x + y)2
1 x y 0, x+ y 1, x 0, y 0，则 (1 x y)2 = x2 + y2 xy，整理得3xy = 2(x+ y) 1，又 xy ，则
4
3 2 2
有 2(x + y) 1 (x + y) ，（当且仅当 x = y 时等号成立），解之得， x + y 或 x + y 2（舍），故 x + y 的
4 3
2
最大值为
3
b 3
(2) 点O为 ABC的外心，令 ABC外接圆半径为 R，则R = = =1
2sin B 3
试卷第 14 页，共 16 页
1 π 2π
由 cos B = ，可知 B = ， AOC =
2 3 3
2
2 2 2πsin 2A OA+ sin 2C OC = sin 2A+ sin 2C + 2sin 2Asin 2C cos
3
2 2 4π 4π = sin 2A+ sin 2A sin 2Asin 2A
3 3
2
3 1 3 1
= sin2 2A sin 2A cos 2A+ sin 2A + cos 2A+ sin 2A 2 2
2 2
= sin2
3 1 2 32A+ sin 2Acos 2A sin 2A+ cos2
1 3 3
2A+ sin2 2A sin 2Acos 2A = 则
2 2 4 4 2 4
3 3 3 3
sin 2A OA+ sin 2C OC = OB (sin 2A OA+ sin 2C OC ) = sin 2Acos AOB sin 2C cos COB
2 2 2 2
3 3 3 3 4π 3
= sin 2Acos 2C sin 2C cos 2A = sin(2A+ 2C) = sin =
2 2 2 2 3 4
3
OB (sin 2A OA+ sin 2C OC3 )
cos OB,sin 2A OA+ sin 2C OC = 2 =1
2 3
OB sin 2A OA+ sin 2C OC
2
3 3
又 OB,sin 2A OA+ sin 2C OC 0,π ，则 OB,sin 2A OA+ sin 2C OC = 0 ，
2 2
3 3 3
即 OB 与 sin 2A OA+ sin 2C OC 同向又 sin 2A OA+ sin 2C OC = OB = ，则
2 2 2
3 3
sin 2A OA+ sin 2C OC = OB ，即 OB + sin 2A OA+ sin 2C OC = 0
2 2
2 2 2 2
（ii） 3OB +OA+ 2OC = 9 OB + OA + 4 OC + 6OB OA+ 4OA OC +12OB OC
2π 4π
又 AOC = ， BOC = 2A， BOA = 2A，
3 3
2 4π 2π
则 3OB +OA+ 2OC = 9+1+ 4+ 6cos( 2A)+ 4cos +12cos 2A
3 3
1 3 π
=14+ 6 cos 2A sin 2A 2+12cos 2A =12+9cos 2A 3 3 sin 2A =12+ 6 3 sin 2A ，
2 2 3
π π 2π π π π
又 A ，则 2A 0， 1 sin 2A 0，则12 6 3 12+ 6 3 sin 2A 12，则
6 2 3 3 3 3
3 3 3OB +OA+ 2OC 2 3，故 3OB +OA+ 2OC 的取值范围为 3 3,2 3 )
1 1 1
42．因为CE = 2EB，CF=2FD，所以 BE = BC ，DF = DC ，所以 AE=AB+BE=AB+ AD ，
3 3 3
1
AF=AD+DF= AB+AD，因为点M 在线段 EF 上，
3
试卷第 15 页，共 16 页
1 1 1 2 2
可设 AM = AE+(1 )AF= (AB+ AD)+(1 )( AB+AD)=( + )AB+(1 )AD，
3 3 3 3 3
1 2
x= +
1 3 3 3 5 5 1
而 AM = xAB + AD，所以 ，解得 = ， x= ，所以 AM = AB+ AD，
2 2 1 4 6 6 21 =
3 2
2
2 5 1 25 2 5 1 2
则 AM = AB+ AD = AB + AB AD+ AD =49，所以 AM = 7 ，因为点N 为线段BD 上一个动
6 2 36 6 4
点，可设 AN= AB+(1 )AD ， 0,1 ，所以
5 1 5 1
MN=AN AM = AB+(1 )AD ( AB+ AD)=( )AB+( )AD ，
6 2 6 2
5 1
所以 AN MN=( AB+(1 )AD) [( )AB+( )AD]
6 2
5 2 7 5 1 2
= ( )AB +( 2 2 + )AB AD+(1 )( )AD
6 3 6 2
2
7 37 37 7
=36 2 42 +3=36 ， 当且仅当 = 时，等号成立，所以 AN MN 的最小值为
12 4 4 12
37 37
．故答案为：7， ．
4 4
试卷第 16 页，共 16 页
