专题强化10 卫星的变轨和双星问题
训练1 卫星的变轨问题
1．1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1＞v2，v1＝ B．v1＞v2，v1＞
C．v1＜v2，v1＝ D．v1＜v2，v1＞
2.如图所示，发射地球卫星过程中，卫星先沿椭圆轨道1飞行，后在远地点B处点火加速，由轨道1变轨到轨道2后做匀速圆周运动，则该卫星( )
A．在轨道2运行的周期比在轨道1运行的周期小
B．在轨道2运行时的线速度一定大于在轨道1运行到A点时的线速度
C．在轨道2运行到B点时的线速度大于在轨道1运行到B点时的线速度
D．在轨道1运行到B点的加速度小于在轨道2运行到B点时的加速度
3．我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室自动交会对接成功。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
4．(2023·泰州市靖江高级中学校考期末)2022年11月30日，我国神舟“十五”号飞船通过加速与“天宫”号空间站交会对接，乘组人员入驻中国人的“太空家园”。设对接前飞船与空间站均在轨做圆周运动，运行情形如图所示，下列说法正确的是( )
A．图中A是飞船，B是空间站
B．对接前空间站运行周期比对接后运行周期小
C．飞船通过向前方喷气才能与空间站完成交会对接
D．对接后飞船的线速度与在原轨运行时的线速度相等
5.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器( )
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
6.(2022·常州市高一期末)2022年1月22日，位于同步轨道的中国“实践21号”卫星将一颗也位于同步轨道的失效的“北斗2号”卫星拖拽至距地面更远的“墓地轨道”(可视为圆轨道)，此后“实践21号”又回归同步轨道(如图所示)，这标志着中国能够真正意义上实现“太空垃圾清理”。对此，下列说法正确的是( )
A．“北斗2号”在“墓地轨道”的运行周期小于24小时
B．“北斗2号”在“墓地轨道”的速度大于它在同步轨道的速度
C．“实践21号”拖拽“北斗2号”离开同步轨道时需要点火加速
D．“实践21号”完成拖拽任务后离开“墓地轨道”时需要点火加速
7．(2023·江苏省模拟)随着“嫦娥奔月”梦想的实现，我国不断刷新深空探测的“中国高度”。嫦娥卫星整个飞行过程可分为三个轨道段：绕地飞行调相轨道段、地月转移轨道段、绕月飞行轨道段。可用如图所示的模型来简化描绘嫦娥卫星飞行过程，假设调相轨道和绕月轨道的半长轴分别为a、b，公转周期分别为T1、T2。关于嫦娥卫星飞行过程，下列说法正确的是( )
A．嫦娥卫星绕行时满足＝
B．嫦娥卫星在地月转移轨道上运行的速度可能大于11.2 km/s
C．从调相轨道切入到地月转移轨道时，卫星在P点必须减速
D．从地月转移轨道切入到绕月轨道时，卫星在Q点必须减速
8．(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号( )
A．发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B．从P点转移到Q点的时间小于6个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动到Q点时的速度大于地球绕太阳的速度
9．(2022·镇江市句容高级中学高一期末)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示。设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球的自转，求：
(1)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速；
(2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小；
(3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2。
10．2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射。如图所示是地球卫星发射过程的简化模型，先将质量为m的卫星发射到近地圆形轨道1上运行，其轨道半径近似等于地球半径R，在A点点火加速进入转移轨道，转移轨道为椭圆轨道的一部分，到达转移轨道的远地点B时再次点火加速进入半径为3R的圆形轨道2，三个轨道处于同一平面内。已知地球表面的重力加速度为g，假设卫星质量不变，忽略地球自转的影响，则( )
A．该卫星在轨道2上运行时的速度大于在轨道1上运行时的速度
B．该卫星在转移轨道上从A点运行至B点的时间是2π
C．卫星在转移轨道上A处的速度大小等于B处的速度大小
D．卫星在轨道2上B点的加速度大于在转移轨道上B点的加速度
训练2 双星及多星问题
1．在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星系统，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法错误的是( )
A．两颗星有相同的角速度
B．两颗星的运动半径与质量成反比
C．两颗星的向心加速度大小与质量成反比
D．两颗星的线速度大小与质量成正比
2.如图为两个黑洞A、B组成的双星系统，绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若A的轨道半径大于B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，距离为L，其运动周期为T。则( )
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定小于B的线速度
C．L一定，M越大，T越小
D．M一定，L越大，T越小
3.(2022·南通市高一期末)由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也和另一星体构成双星，如图所示，质量为m1、m2的两颗星各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终不变，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，则( )
A．它们的线速度大小之比v1∶v2＝3∶2
B．它们的角速度大小之比ω1∶ω2＝2∶3
C．它们的质量之比m1∶m2＝3∶2
D．它们的周期之比T1∶T2＝2∶3
4．中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MAXI J1820＋070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10 000光年。根据观测，此双星系统中的黑洞质量大约是恒星质量的16倍，不考虑其他天体的影响，可推断该黑洞与恒星的( )
A．向心力大小之比为16∶1
B．周期之比为16∶1
C．角速度大小之比为1∶1
D．加速度大小之比为1∶1
5.(2023·江苏省高邮中学期中)2020年诺贝尔物理学奖授予黑洞研究。黑洞是宇宙空间内存在的一种密度极大而体积较小的天体，黑洞的引力很大，连光都无法逃逸。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，不考虑其他天体的影响，两者围绕连线上O点做匀速圆周运动，O点离黑洞B更近，黑洞A质量为m1，黑洞B质量为m2，两黑洞间距离为L。下列说法正确的是( )
A．黑洞A与B绕行的向心加速度大小相等
B．黑洞A的质量m1大于黑洞B的质量m2
C．若两黑洞质量保持不变，在两黑洞间距L减小后，两黑洞的绕行周期变小
D．若两黑洞质量保持不变，在两黑洞间距L减小后，两黑洞的向心加速度变小
6.如图所示，密度相同的A、B两星球绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，组成一双星系统，其中体积较大的A星球能不断地“吸食”体积较小的B星球的表面物质，从而达到质量转移。假设“吸食”过程A、B两星球球心间距离不变，则“吸食”的最初阶段，下列说法正确的是( )
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度大小保持不变
C．体积较大的A星球圆周运动的轨迹半径变小，线速度变大
D．体积较小的B星球圆周运动的轨迹半径变小，线速度变小
7．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时两星做匀速圆周运动的周期为( )
A.T B.T
C.T D.T
8．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧，引力常量为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比。(计算结果保留四位有效数字)
9.如图所示，三个质量均为M的星球位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如果它们中的每一个都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，已知引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为
B．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心O
C．它们运行的轨道半径为L
D．它们运行的速度大小为
专题强化练10 卫星的变轨和双星问题
训练1 卫星的变轨问题
1．B [根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画出近地圆轨道，如图所示，由＝可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为v＝，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1>，故选B。]
2．C [由开普勒第三定律可知，轨道半长轴或半径越大，则周期越大，故在轨道2运行的周期比在轨道1运行的周期大，故A错误；过A点做一个辅助圆轨道3，则由G＝得v＝，即轨道半径越小，线速度越大，则在圆轨道3运行时的线速度大于在轨道2运行时的线速度，而从轨道3需要在A点加速才能到轨道1，故轨道1上运行到A点时的线速度大于在轨道3运行时的线速度，从而可得在轨道2运行时的线速度一定小于在轨道1运行到A点时的线速度，故B错误；因为需要在轨道1上的B点加速才能到轨道2，故在轨道2运行到B点时的线速度大于在轨道1运行到B点时的线速度，故C正确；由G＝ma可得a＝，所以在轨道1运行到B点的加速度大小等于在轨道2运行到B点的加速度大小，故D错误。]
3．C [飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可在两者速度接近时实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误。]
4．A [飞船通过加速与空间站交会对接，飞船加速做离心运动轨道升高，则可知道图中A是飞船，B是空间站，故A正确；根据G＝mr，解得：T＝，对接前后空间站轨道半径不变，则运行周期不变，故B错误；飞船加速，通过向后方喷气才能获得向前的反冲力，实现加速，故C错误； 对接后飞船的线速度小于在原轨运行时的线速度，故D错误。]
5．D [天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误；在轨道Ⅰ向P飞近时，由开普勒第二定律可知速度增大，故D正确。]
6．C [由G＝m，得T＝，即轨道半径越大，周期越大，因为同步轨道卫星的周期为24小时，所以“北斗2号”在“墓地轨道”的运行周期大于24小时，故A错误；由G＝m得v＝，即轨道半径越大，线速度越小，所以“北斗2号”在“墓地轨道”的速度小于它在同步轨道的速度，故B错误；因为从低轨道到高轨道，需要点火加速，使其万有引力不足以提供需要的向心力，从而发生离心运动到更高的轨道，同理，从高轨道到低轨道需要点火减速，故C正确，D错误。]
7．D [根据开普勒第三定律可知，轨道半径三次方与周期平方的比值决定于中心天体的质量，由于两次绕行环绕的中心天体不同，故两次绕行轨道半长轴的三次方与周期的二次方比值不相等，故A错误；11.2 km/s是地球的第二宇宙速度，是地球上发射脱离地球束缚的卫星的最小发射速度，嫦娥卫星没有脱离地球束缚，故其速度不大于11.2 km/s，故B错误；从调相轨道切入到地月转移轨道时，卫星的轨道半径将持续增大，故卫星需要在P点做离心运动，要使卫星需要的向心力大于万有引力，故在P点需要加速，故C错误；从地月转移轨道切入到绕月轨道时，卫星相对月球而言，由高轨道到低轨道，需要在Q点开始做近心运动，要使卫星所需要的向心力小于万有引力，故卫星需在Q点减速，故D正确。]
8．C [因“天问一号”要能脱离地球引力束缚，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间，故A错误；因从P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(12个月)，则从P点转移到Q点的时间大于地球公转周期的一半，故应大于6个月，故B错误；因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；假设“天问一号”在Q点变轨进入火星轨道，则需要加速，又知v火
(3)－R
解析 (1)飞船要进入预定圆轨道，需在B点加速。
(2)在地球表面有mg＝①
在A点时，根据牛顿第二定律有：
G＝maA②
由①②式联立解得飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为aA＝
(3)飞船在预定圆轨道上飞行时，由万有引力提供向心力，
有G＝m(R＋h2)③
由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T＝④
由①③④式联立解得h2＝－R。
10．B [根据万有引力提供向心力可得＝m，解得v＝∝，可知该卫星在轨道2上运行时的速度小于在轨道1上运行时的速度，故A错误；物体在地球表面处受到的万有引力等于重力，则有＝m′g，解得GM＝gR2。设卫星在轨道1的运行周期为T1，则有＝mR，联立解得T1＝2π，设卫星在转移轨道的运行周期为T2，根据开普勒第三定律可得＝，解得T2＝4π，则该卫星在转移轨道上从A点运行至B点的时间为t＝＝2π，故B正确；根据开普勒第二定律可知，卫星在转移轨道上A处的速度大小大于在B处的速度大小，故C错误；根据牛顿第二定律可得＝ma，解得a＝，可知卫星在轨道2上B点的加速度等于在转移轨道上B点的加速度，故D错误。]
训练2 双星及多星问题
1．D [双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间的距离为R＋r。
双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，故A正确；运动半径满足mrω2＝MRω2，可见两颗星的运动半径与质量成反比，故B正确；两颗星的向心力大小相等，则满足mam＝MaM，两颗星的向心加速度大小与质量成反比，故C正确；线速度v＝Rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度大小与质量成反比，故D错误。]
2．C [黑洞绕同一圆心运动，则两者的角速度相等，设两个黑洞质量为mA和mB，轨道半径为RA和RB，角速度为ω，则由万有引力提供向心力可知G＝mAω2RA＝mBω2RB，可得＝，由题意知RA>RB，则mA
3．A [在双星系统中，双星的角速度和周期都相同，故B、D错误；由于双星系统中，双星间的万有引力提供圆周运动向心力，则＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得m1∶m2＝r2∶r1＝2∶3，故C错误；双星的角速度相同，由v＝rω知v1∶v2＝r1∶r2＝3∶2，故A正确。]
4．C [黑洞和恒星组成双星系统，根据双星系统的特点可知，黑洞与恒星的向心力都等于黑洞和恒星之间的万有引力，转动的角速度相等，周期相等，故A、B错误，C正确；根据a＝可知黑洞与恒星的加速度大小之比为＝，故D错误。]
5．C [两黑洞绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们的角速度ω相等，向心加速度a＝ω2r，由于两黑洞的ω相等而r不同，则它们的向心加速度大小不相等，故A错误；两黑洞之间的万有引力提供向心力，两黑洞做圆周运动时的向心力大小相等，则m1ω2r1＝m2ω2r2，由题意可知：r1>r2，则：m1
7．B [设两恒星原来的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠彼此的万有引力提供向心力，
则有G＝m1r1
G＝m2r2
并且r1＋r2＝L
解得T＝2π
当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时
T′＝2π＝T
故选B。]
8．(1)2πL (2)1.012
解析 (1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2，
对B有：G＝Mr2
对A有：G＝mr1
又r1＋r2＝L
联立解得T＝2πL
(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知m地＝5.98×1024 kg，m月＝7.35×1022 kg，地月距离设为L′，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1＝2π
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得
＝m月L′
解得T2＝2π
则＝
故＝≈1.012。
9．B [根据万有引力定律，任意两个星球之间的万有引力为F1＝G，方向沿着它们的连线，其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F＝2F1cos 30°＝G，方向指向圆心O，选项A错误，B正确；由rcos 30°＝，解得它们运行的轨道半径r＝L，选项C错误；由G＝M，可得v＝，选项D错误。]
