备战2024年青岛中考数学复习训练模拟卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2 .随着2024年2月第十四届全国冬季运动会临近，吉祥物成为焦点，
某日通过搜索得出相关结果约为16000000个．将“16000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法；根据科学记数法计算方法计算即可；
解题的关键是掌握科学记数法的计算方法．
【详解】解：
故选：B．
3. 如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
故选D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【详解】解：A、和不能合并，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项错误；
D、，所以D选项正确．
故选D．
5 .如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，
则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解．
【详解】解：先画出△ABC平移后的△DEF，再利用旋转得到△A'B'C'，
由图像可知A'（-1，-3），
故选：C．
6 . 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，
根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．
若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题．
【详解】在正方形中：，
∴，
∵O为正方形对角线的中点，
∴，
∵为等边三角形, O为的中点，
∴，，
∴,
∴,
故选：B．
8 .已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】图象开口向下，得a<0， 对称轴为直线，得b=2a，则b<0，图象经过，根据对称性可知，图象经过点，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线，
∴b=2a，
∴b<0，故A不符合题意；
根据对称性可知，图象经过，
∴图象经过点，
当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；
∴c=-a-b，
∴c>0，故B不符合题意；
将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．
故选：D．
9. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
【答案】C
【分析】设经过秒时, 与相似,则,
利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：
当 时, ,即
当 时,,即 然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过秒时, 与相似,
则
,
当 时, ,
即
解得：
当 时, ,
即
解得：
综上所述：经过或秒时,与相似
故选：C
如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，
连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，
连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
解：过点P作，垂足为G、H，
由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．﹣的绝对值是 ．
【答案】
【详解】﹣的绝对值是|﹣|=
12 . 如果x＝1是关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，那么m＝ ；
【答案】2
【分析】把x=1代入方程x2-3x+m=0得1-3+m=0，然后解关于m的方程．
【详解】解：把x=1代入方程x2-3x+m=0得1-3+m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
13 . 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
【答案】6
【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为．
∵袋子中有4个黑球，
∴袋子中共有10个球，
∴白球有6个．
故答案为：6．
14 .某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，
综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为 ___ 分．
【答案】90
【分析】根据加权平均公式进行计算，即可得到答案．
【详解】解：该名教师的综合成绩为（分），
故答案为：90．
15 .如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，
与直角边相交于点，若的面积为6，则 .
【答案】4
【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，
和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：
．
故答案为：4．
16 .如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，
延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②④．
【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12-x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，
则△GED不是等腰三角形，
△GDE与△BEF不相似， ③错误；
S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确.
故答案为：①②④
三、作图题（本大题满分4分）
17． 已知：Rt， ∠B=90°；
求作：点P，使点P在内部，且．
【答案】见解析
【分析】分别以点B、C为圆心，大于BC长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，
然后再以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点M、N，
以点M、N为圆心，大于MN长一半为半径画弧，交于一点Q，连接BQ，进而问题可求解．
【详解】解：如图，点P即为所求：
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法，约分后可得答案；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定不等式解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：解不等式得：
解不等式得：
∴原不等式组的解集是．
19．2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，
学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，
谁获胜谁分享，游戏规则如下：
甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，
两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，
小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；
若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】游戏对双方都公平
【分析】根据题意列表求得双方的概率即可求解．
【详解】解：所有可能的结果如下：
1 2 3 4 5
1
2
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．
∴P（小冰获胜）
P（小雪获胜）
∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜）
∴游戏对双方都公平．
如图，某科技兴趣小组在操场上活动，此时无人机在离地面的点处，
无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．
又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为，求教学楼的高度
（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，结果保留整数）
【答案】15
【分析】过点D作于点E，过点C作于点F，由锐角三角形函数的定义得到，接着求出，再求出，即可解决问题．
【详解】如图：
过点D作于点E，过点C作于点F，则四边形是矩形，
由题意得：，，
在中，
四边形是矩形
在中，
故答案为：15．
孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣是最好的老师，
阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种兴趣爱好是打并创新之门的金钥匙．
某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，
从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，
其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长．
对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
组别 时长t（单位：h） 人数累计 人数
第一组 正正正正正正 30
第二组 正正正正正正正正正正正正 60
第三组 正正正正正正正正正正正正正正 70
第四组 正正正正正正正正 40
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数直方图；
(2)这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第__________组；
(3)若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为__________，
对应的扇形圆心角的度数为__________；
学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于，请你估计，
该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？
【答案】(1)图见解析
(2)三
(3)30%，108
(4)330人
【分析】（1）根据频数分布表补全图形即可；
（2）根据中位数的定义，中间的一个数或两个数的平均数求出中位数；
（3）根据百分比=该组频数÷总数，圆心角百分比，即可得出答案；
（4）用2200乘以第一组所占百分比即可得出答案．
【详解】（1）解：学生每周自主发展兴趣爱好时长频数直方图：
（2）∵总人数为200人，
∴中位数落在第100、101个学生每周自主发展兴趣爱好的时长的平均数，
又∵30+60=90＜100，30+60+70=160＞101，
∴中位数落在第三组，
故答案为：三；
（3）第二组的学生人数占调查总人数的百分比为：
第二组的学生人数对应的扇形圆心角的度数为：
故答案为：30%，108；
（4）估计该校需要增加自主发展兴趣爱好时间的人数为：（人）
答：估计该校有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．
22 .某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，
该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，
设这种健身球每天的销售利润为w元．
(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【分析】（1）在中，令，进行计算即可得；
（2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【详解】（1）解：在中，令得，，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，，
即w与x之间的函数关系式为：；
（3）解：，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为，
即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
23 . 如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，
与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知点满足，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，得，由轴可得，
进一步求出点，将A，C点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）由勾股定理求出AC的长，再根据且E在x轴上，分类讨论得a的值．
【详解】（1）解：（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴
∴
∵轴
∴
∴
∴
∴
∵点在一次函数的图象上
∴
解得
∴一次函数的表达式为．
（2）在中，由勾股定理得，
∴
当点E在点C的左侧时，
当点E在点C的右侧时，
∴a的值为或．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD=30°；
条件2：AB=BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用AAS即可证明△ABF≌△CDE；
（2）若选择条件①：先证明四边形AECF是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得AE=AF，即可证明平行四边形AECF是菱形．
若选择条件②：先证明四边形AECF是平行四边形，得到AO=CO，再根据等腰三角形的性质即可证明平行四边形AECF是菱形．
【详解】（1）证明：∵BE=FD，
∴BE+EF=FD+EF，
即BF=DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
又∵∠BAF=∠DCE=90°，
∴△ABF≌△CDE(AAS)；
（2）解：若选择条件①：
四边形AECF是菱形，
由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF=90°，BE=EF，
∴AE=BF，
∵∠BAF=90°，∠ABD=30°，
∴AF=BF，
∴AE=AF，
∴平行四边形AECF是菱形．
若选择条件②：
四边形AECF是菱形，
连接AC交BD于点O，
由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
25.如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
(3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，
点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，
使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)yx2x+4
(2)E（3，8）
(3)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）
【分析】（1）由一次函数的解析式可求出B点和C点坐标．
再代入抛物线解析式中即可求出a和c的值，即得出抛物线解析式；
（2）过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），则可用m表示出EG的长，最后利用三角形面积公式即可求出S△BEC的值，再利用二次函数的性质即得出答案；
（3）根据二次函数解析式即得出其对称轴，由此可得出A点坐标．再由点Q是抛物线对称轴上的动点，得出Q的横坐标为．①当平行四边形以AM为边时，由题意可知点M的横坐标是3，再根据点M在直线yx+4上，即得出其纵坐标．再结合平行四边形的性质即得出平移规律，由此可得出P点坐标；②当平行四边形以AM为边时，同理可知点M的横坐标是3，Q的横坐标为，从而即得出P的坐标；③当平行四边形以AM为对角线时，由平行四边形的性质得出P到A的平移规律，即得出P点坐标．
【详解】（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝6，
∴C（6，0），
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：yx2x+4；
（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，
设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），
∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m，
∴S△BECEG OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E（3，8）；
（3）yx2x+4（x）2；
∴该抛物线对称轴是：x，
∴A（-1，0）
∵点Q是抛物线对称轴上的动点，
∴Q的横坐标为，
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；
①如图2，以AM为边时，
由（2），可得点M的横坐标是3，
∵点M在直线yx+4上，
∴点M的坐标是（3，2），
又∵点A的坐标是（-1，0），点Q的横坐标为，
根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为，
∴P（，）；
②如图3，以AM为边时，
∵由（2），可得点M的横坐标是3，
∵A（-1，0），且Q的横坐标为，
∴P的横坐标为，
∴P（，）；
③以AM为对角线时，如图4，
∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，
∴点P的坐标是（，），
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是（，）或（，）或（，）．
26 .（1）【问题发现】如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．
猜想线段、之间的数量关系为______；______；
（2）【类比探究】
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
（3）【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，，为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
【答案】（1），60；（2），的度数为，过程见解析；（3）或．
【分析】（1）证，得，，进而判断出即可；
（2）证，得，，则，再求出，即可得出结论；
（3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可．
【详解】解：（1）∵和均为正三角形，
∴，，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
综上所述, 线段、之间的数量关系为，，
故答案为：，60．
（2）∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∵和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
、之间的数量关系是，的度数为；
（3）分两种情况：
①如图4，
∵，，，
∴，
∴，
∵为的中位线，
∴，，，，
∴，，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
②如图5，
同①可得，，
∴，，
∴，
∴,
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长为或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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备战2024年青岛中考数学复习训练模拟卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
2 .随着2024年2月第十四届全国冬季运动会临近，吉祥物成为焦点，
某日通过搜索得出相关结果约为16000000个．将“16000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3. 如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5 .如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，
则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6 . 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A. B. C. D.
如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．
若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8 .已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，
连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，
连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．﹣的绝对值是 ．
13 . 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
14 .某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，
综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为 ___ 分．
15 .如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，
与直角边相交于点，若的面积为6，则 .
16 .如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，
延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、作图题（本大题满分4分）
17． 已知：Rt， ∠B=90°；
求作：点P，使点P在内部，且．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．（1）计算：；
（2）解不等式组：
19．2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，
学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，
谁获胜谁分享，游戏规则如下：
甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，
两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，
小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；
若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
如图，某科技兴趣小组在操场上活动，此时无人机在离地面的点处，
无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．
又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为，求教学楼的高度
（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，结果保留整数）
孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣是最好的老师，
阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种兴趣爱好是打并创新之门的金钥匙．
某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，
从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，
其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长．
对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
组别 时长t（单位：h） 人数累计 人数
第一组 正正正正正正 30
第二组 正正正正正正正正正正正正 60
第三组 正正正正正正正正正正正正正正 70
第四组 正正正正正正正正 40
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数直方图；
(2)这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第__________组；
(3)若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为__________，
对应的扇形圆心角的度数为__________；
学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于，请你估计，
该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？
22 .某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，
该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，
设这种健身球每天的销售利润为w元．
(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
23 . 如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，
与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知点满足，求a的值．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD=30°；
条件2：AB=BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
25.如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
(3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，
点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，
使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
26 .（1）【问题发现】如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．
猜想线段、之间的数量关系为____________；___________；
（2）【类比探究】
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
（3）【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，，为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
【答案】（1），60；（2），的度数为，过程见解析；（3）或．
【分析】（1）证，得，，进而判断出即可；
（2）证，得，，则，再求出，即可得出结论；
（3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可．
【详解】解：（1）∵和均为正三角形，
∴，，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
综上所述, 线段、之间的数量关系为，，
故答案为：，60．
（2）∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∵和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
、之间的数量关系是，的度数为；
（3）分两种情况：
①如图4，
∵，，，
∴，
∴，
∵为的中位线，
∴，，，，
∴，，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
②如图5，
同①可得，，
∴，，
∴，
∴,
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长为或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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