人教新版七年级下册《第5章 相交线与平行线》2024年单元测试卷
一、选择题
1．（3分）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝46°，则∠2的度数是（ ）
A．44° B．46° C．54° D．56°
2．（3分）如图，下列各对角中，内错角是（ ）
A．∠1和∠3 B．∠1和∠4 C．∠2和∠3 D．∠1和∠2
3．（3分）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠1＝∠3
B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE
C．如果∠2＝30°，则有BC∥AD
D．如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C
4．（3分）如图，下列条件中，不能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠2 B．∠1＝∠4
C．∠B＝∠5 D．∠D+∠BAD＝180°
5．（3分）如图，直线a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点P，Q，PA垂直于l于点P．若∠1＝64°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．30° C．36° D．64°
6．（3分）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠α+∠β＝180° B．∠β﹣∠α＝90°
C．∠β＝3∠α D．∠α+∠β＝90°
7．（3分）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕．若∠EFB＝32°，则下列结论错误的有（ ）
A．∠C′EF＝32° B．∠AEC＝148° C．∠BGE＝64° D．∠BFD＝116°
8．（3分）如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：
①BC平分∠ABE；
②∠BCE+∠D＝90°；
③AC∥BE；④∠DBF＝2∠ABC．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，点C，点D分别是∠AOB两边上的点，在角的内部引4条射线，且有CE∥DF，CM∥DN，CM交DF于点G．已知∠AOB＝110°，∠ACE+∠BDN＝50°，则∠FGM＝（注：四边形内角和为360°）（ ）
A．50° B．55° C．60° D．70°
10．（3分）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是 °．
12．（3分）已知直线m∥n，将一块含有30°的三角板按如图所示的方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝15°，则∠2＝ 度．
13．（3分）如图，将△ABC沿BC方向向右平移得到△DEF，其中BF＝10，EC＝4，则平移的距离为 ．
14．（3分）如图，长方形ABCD中，沿折痕EF翻折四边形CDEF得四边形C′D′EF，已知∠EFC′被FB分成的两个角相差15°，则图中∠1的度数为 ．
15．（3分）如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，BF∥DE，且∠D＝40°，则∠BED的度数为 ．
16．（3分）如图，将一副三角板按如图所示放置，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠C＝45°，∠E＝30°，则下列结论中：①∠1＝∠3＝45°；②若AD平分∠CAB，则有BC∥AE；③若AB平分∠DAE，则有BC∥AE；④若∠3＝2∠2，则∠C＝∠4；其中结论正确的选项有 ．
三、解答题
17．（4分）如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点E，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥AC．
（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．
18．（4分）如图，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，试猜想AB与CD之间有怎样的位置关系？并说明理由．请你将下列证明过程补充完整．
结论：AB∥CD．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AD∥ （ ），
∴∠ ＝∠ （两直线平行，同位角相等）．
又∵∠A+∠C（已知），
∴∠ ＝∠ （等量代换），
∴AB∥CD（ ）．
19．（5分）如图，直线EF分别交AB、CD于点M、N，MG平分∠EMB，NH平分∠END，并且MG∥NH，请说明∠1+∠2＝180°的理由．
20．（5分）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，你能判断∠ACB与∠AED的大小关系吗？说明理由．
21．（6分）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝70°，求∠DEC的度数．
22．（6分）小可同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：如图1，l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l3，l2，l1上，BD平分∠ABC，∠1＝75°，∠2＝25°，求∠EBD的度数．
小可想了许久没有思路，就去请教好朋友小蕾，小蕾给了他如图2所示的提示：
（1）小蕾的提示中①是∠ ；理由②是： ；理由③是： ；
（2）写出求∠EBD的度数的过程．
23．（10分）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
24．（12分）已知：△ABC和同一平面内的点P．
（1）如图1，若点P在BC边上过点P作PE∥AB交AC于点E，作PF∥AC交AB于点F．根据题意，请在图1中补全图形，并直接写出∠A与∠EPF的数量关系；
（2）如图2，若点P在CB的延长线上，且PF∥AC，∠A＝∠EPF．请判断AB与PE的位置关系并说明理由；
（3）如图3，点P是△ABC外部的一点，过点P作PE∥AB交直线AC于点E，作PF∥AC交直线AB于点F，请直接写出∠A与∠EPF的数量关系，并图3中补全图形．
人教新版七年级下册《第5章 相交线与平行线》2024年单元测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】由a∥b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1，
∠1＝46°，
∴∠2＝46°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质．解题的关键是数形结合思想的应用．
2．【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、∠1和∠3是同位角，不是内错角，故本选项不符合题意；
B、∠1和∠4是同旁内角，不是内错角，故本选项不符合题意；
C、∠2和∠3是对顶角，不是内错角，故本选项不符合题意；
D、∠1和∠2是内错角，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，能正确识别各个角是解此题的关键．
3．【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．
【解答】解：A、∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3，故本选项正确．
B、∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故本选项正确．
C、∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝45°，
∴BC不平行于AD，故本选项错误．
D、由AC∥DE可得∠4＝∠C，故本选项正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了学生对平行线判定与性质、余角和补角的理解和掌握，解答此题时要明确两种三角板各角的度数．
4．【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可
【解答】解：A、∠3和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，内错角相等，可以判断AB∥CD，不符合题意；
B、∠1和∠4是直线AD、BC被直线AC所截形成的内错角，内错角相等，可以判断AD∥BC，不能判断AB∥CD，符合题意；
C、∠B和∠5是直线直线AB、CD被直线BE所截形成的同位角，同位角相等，可以判断AB∥CD，不符合题意；
D、∠D和∠BAD直线直线AB、CD被直线AD所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断AB∥CD，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；另外要能确定“三线八角”中的截线从而准确找出另外两线平行．
5．【分析】先根据平行线的性质，即可得到∠3的度数，再根据垂直的定义，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝64°，
∴∠3＝64°，
又∵PA垂直于l于点P，
∴∠2＝90°﹣∠3＝26°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了垂直的定义以及平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6．【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，于是得到结论．
【解答】解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠α+180°﹣∠β＝90°，
∴∠β﹣∠α＝90°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
7．【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：（A）∵AE∥BG，∠EFB＝32°，
∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，故正确；
（B）∵AE∥BG，∠EFB＝32°，
∴∠AEF＝180°﹣∠EFB＝180°﹣32°＝148°，
∵∠AEF＝∠AEC+∠GEF，
∴∠AEC＜148°，故错误；
（C）∵∠C′EF＝32°，
∴∠GEF＝∠C′EF＝32°，
∴∠C′EG＝∠C′EF+∠GEF＝32°+32°＝64°，
∵AC′∥BD′，
∴∠BGE＝∠C′EG＝64°，故正确；
（D）∵∠BGE＝64°，
∴∠CGF＝∠BGE＝64°，
∵DF∥CG，
∴∠BFD＝180°﹣∠CGF＝180°﹣64°＝116°，故正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
8．【分析】由BC⊥BD得到∠CBE+∠DBE＝90°，∠BCD+∠D＝90°，则可对②选项进行判断；再由平行线的性质得∠D＝∠DBF，由角平分线定义得∠DBF＝∠DBE，则∠CBE＝∠BCE，而∠ABC＝∠BCE，所以∠ABC＝∠CBE，则可对①选项进行判断；接着由BC平分∠ACD得到∠ACB＝∠BCE，所以∠ACB＝∠CBE，根据平行线的判定即可得到AC∥BE，于是可对③选项进行判断；利用平行线的性质得到∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，加上∠D＝∠DBE＝∠DBF，∠D≠∠BED，于是可得∠DBF≠2∠ABC，则可对④选项进行判断．
【解答】解：①∵BC⊥BD，
∴∠DBE+∠CBE＝90°，∠ABC+∠DBF＝90°，
又∵BD平分∠EBF，
∴∠DBE＝∠DBF，
∴∠ABC＝∠CBE，
即BC平分∠ABE，
故①正确；
②∵BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°，
∴∠BCD+∠D＝90°，
故②正确；
③由AB∥CE，
∴∠ABC＝∠BCE，
BC平分∠ABE、∠ACE，
∴∠ABC＝∠CBE，∠ACB＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠CBE，
∴AC∥BE，
故③正确；
④∵∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，
而∠D＝∠DBE＝∠DBF，
∠D≠∠BED，
∴∠DBF≠2∠ABC，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，
9．【分析】过点C作CH∥OB，利用平行线的性质定理及推论解答即可．
【解答】解：过点C作CH∥OB，
∵CM∥DN，CH∥OB，
∴∠MCH＝∠NDB，
∵∠ACE+∠BDN＝50°，
∴∠ACE+∠MCH＝50°，
∵CH∥OB，∠AOB＝110°，
∴∠OCH＝180°﹣∠AOB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠ECM＝180°﹣∠OCH﹣（∠ACE+∠MCH）＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵CE∥DF，
∴∠FGM＝∠ECM＝60°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
10．【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，
∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝180°＝90°，即α+β＝90°，
又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，
∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
二、填空题
11．【分析】由DE∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠ABD的度数，结合角平分线的定义，可求出∠ABC的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠A的度数．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE＝50°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2×50°＝100°．
在△ABC中，∠ABC＝100°，∠C＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣100°﹣30°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
12．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠1+∠ABC+∠2+∠BAC＝180°，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，∠1＝15°，
∴∠2＝180°﹣30°﹣60°﹣15°＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
13．【分析】根据平移的性质可得BE＝CF为平移距离，然后求解即可．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向向右平移得到△DEF，
∴BE＝CF，
∵BF＝10，EC＝4，
∴BE＝×（10﹣4）＝3，
即平移的距离为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平移的性质，主要利用了对应顶点的连线的长度等于平移距离．
14．【分析】分两种情况：①∠1﹣∠BFC′＝15°；②∠BFC′﹣∠1＝15°；进行讨论，由折叠的性质即可求解．
【解答】解：①∠1﹣∠BFC′＝15°时，
∠1+∠EFC＝180°，即∠1+∠1+∠BFC′＝180°，
解得∠1＝65°；
②∠BFC′﹣∠1＝15°时，
∠1+∠EFC＝180°，即∠1+∠1+∠BFC′＝180°，
解得∠1＝55°．
综上所述，图中∠1的度数为65°或55°．
故答案为：65°或55°．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15．【分析】延长DE交AB的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠AGD，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AGD＝∠ABF，然后根据角平分线的定义得∠EBF＝∠ABF，再根据平行线的性质解答．
【解答】解：如图，延长DE交AB的延长线于G，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠AGD＝40°，
∵BF∥DE，
∴∠AGD＝∠ABF＝40°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF＝∠ABF＝40°，
∵BF∥DE，
∴∠BED＝180°﹣∠EBF＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
16．【分析】①根据同角的余角相等得∠1＝∠3，但不一定得45°；
②和③都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；
④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．
【解答】解：①如图，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，即∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°；
∴∠1＝∠3，但不一定是45°，
故①不正确；
②∵AD平分∠CAB
∴∠1＝∠2＝45°，∵∠1＝∠3
∴∠3＝45°，又∵∠C＝∠B＝45°，
∴∠3＝∠B
∴BC∥AE；
故②正确；
③∵AB平分∠DAE，
∴∠2＝∠3＝45°
∴∠3＝∠B，
∴BC∥AE；
故③正确；
④∵∠3＝2∠2，∠1＝∠3，
∴∠1＝2∠2，∠1+∠2＝90°，
∴3∠2＝90°，∴∠2＝30°，
∴∠3＝60°，又∠E＝30°，
设DE与AB交于点F，则∠AFE＝90°，
∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，
∴∠C＝∠4．
故④正确．
故答案为②③④．
【点评】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．
三、解答题
17．【分析】（1）求出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠1＝∠DAC，求出∠2＝∠DAC，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠AGD+∠BAC＝180°，代入求出即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝∠FEC＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DAC，
∴DG∥AC；
（2）∵DG∥AC，
∴∠AGD+∠BAC＝180°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
18．【分析】由已知先判断AD与BC的位置关系，再得到∠A与∠C、∠EDA间关系，利用平行线的判定得结论．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠C＝∠EDA（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠A＝∠EDA（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：BC；同旁内角互补，两直线平行；C；EDA；A；EDA；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
19．【分析】根据平行线的性质得出∠EMG＝∠ENH，根据角平分线定义求出∠EMB＝2∠EMG，∠END＝2∠ENH，推出∠EMB＝∠END，根据平行线的判定得出AB∥CD，即可得出答案．
【解答】解：理由是：∵MG∥NH，
∴∠EMG＝∠ENH，
∵MG平分∠EMB，NH平分∠END，
∴∠EMB＝2∠EMG，∠END＝2∠ENH，
∴∠EMB＝∠END，
∴AB∥CD，
∴∠1+∠2＝180°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能求出AB∥CD是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②同位角相等，两直线平行，③两直线平行，同旁内角互补．
20．【分析】先由∠1+∠2＝180°，∠1+∠4＝180°推出∠2＝∠4，推出BD∥FE，由平行线的性质结合已知可得∠B＝∠ADE，从而证明DE∥BC，然后由两直线平行，同位角相等可得∠ACB与∠AED的大小关系．
【解答】解：∠AED＝∠ACB．（2分）
理由如下：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠4＝180°，
∴∠2＝∠4，
∴BD∥FE
∴∠3＝∠ADE（4分）
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE
∴DE∥BC，（8分）
∴∠AED＝∠ACB．（10分）
【点评】本题主要考查平行线的性质及判定，难度中等．
21．【分析】（1）DE∥BC，根据平行线的性质，等量代换、平行线的判定进行说理即可；
（2）由（1）的DE∥BC，得出同旁内角互补，进而计算即可．
【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠3，
∵∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
（2）∵DE∥BC，
∴∠C+∠DEC＝180°，
∵∠C＝70°，
∴∠DEC＝180°﹣70°＝110°．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，理解和掌握平行线的性质和判定是正确解答的前提，等量代换在说理的过程中起到非常重要的作用．
22．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠2＝25°，根据角平分线的定义可得∠CBD＝∠CBA；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠EBA＝∠1＝75°，进而可得∠CBA的度数，再根据角平分线定义可得∠CBD的度数，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠2＝25°，然后可得答案．
【解答】解：（1）∵l1∥l2，
∴∠CBE＝∠2＝25°（两直线平行，内错角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠CBA（角平分线的定义），
故答案为：2，两直线平行，内错角相等，角平分线的定义；
（2）∵l2∥l3，
∴∠EBA＝∠1＝75°，
∵l1∥l2，
∴∠CBE＝∠2＝25°，
∴∠CBA＝∠CBE+∠EBA＝100°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠CBA＝50°，
∴∠EBD＝∠CBD﹣∠CBE＝25°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
23．【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC．
【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；
（2）∠AKC＝∠APC，
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC；
（3）∠AKC＝∠APC，
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
24．【分析】（1）结论：∠A＝∠EPF．理由平行线的性质解决问题即可．
（2）结论：AB∥PE．延长FP交AB的延长线于点D．想办法证明∠EPF＝∠D即可．
（3）①如图3﹣1中，结论：∠A＝∠EPF．理由平行线的性质证明即可．②如图3﹣2中，∠BAC+∠EPF＝180°．理由平行线的性质证明即可．
【解答】解：（1）如图1中，结论：∠A＝∠EPF．
理由：∵PE∥AB，
∴∠A＝∠CEP，
∵PF∥AC，
∴∠EPF＝∠CEP，
∴∠A＝∠EPF．
（2）如图2中，结论：AB∥PE．
理由：延长FP交AB的延长线于点D．
∵DF∥AC，
∴∠A＝∠D，
∵∠EPF＝∠A，
∴∠EPF＝∠D，
∴PE∥AB．
（3）①如图3﹣1中，结论：∠A＝∠EPF．
理由：∵PE∥AB，
∴∠A＝∠CEP，
∵PF∥AC，
∴∠EPF＝∠CEP，
∴∠A＝∠EPF．
②如图3﹣2中，∠BAC+∠EPF＝180°．
理由：∵PE∥BF，
∴∠BAC＝∠PEA，
∵PF∥AC，
∴∠EPF+∠AEP＝180°，
∴∠BAC+∠EPF＝180°．
综上所述，：∠A＝∠EPF或∠BAC+∠EPF＝180°．
【点评】本题考查三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
