2024届高三数学复习——《函数》（极值点偏移）
1．已知是函数的一条切线，，且是的导数．
（1）求的值；
（2）证明：当，时，．
2．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）若，是两个正数，且，证明：.
3．已知函数，
（1）证明：在上为增函数；
（2）若，，证明：.
4．已知函数．
（1）当，和有相同的最小值，求的值；
（2）若有两个零点，求证：．
5．已知函数（其中e为自然对数的底）
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若，是的极值点且.若，且. 证明：.
6．已知函数
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若，且，证明: .
7.若方程有两个实根，且，证明：.
8.已知函数，
（1）若，讨论函数的零点个数；
（2）设是函数的两个零点，证明：
9.已知函数，若函数的导函数有两个零点，证明：
10.已知函数，存在两个极值点，求实数的取值范围，并证明：
11.已知函数，若，且，
求证：
12.已知函数，当时，
求证：2024届高三数学复习——《函数》（极值点偏移）
1．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设与直线的切点为，由导数的几何意义可得，又，联立即可求解；
（2）由题意可得，在上单调递增， ， 在上单调递增，进而分析：要证，即证，只需证，即证，只需证，
然后构造函数（其中即可证明.
【详解】（1）解：，
设与直线的切点为，则，
所以，解得，
所以；
（2）解：由（1）可知，，，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
所以在上单调递增，
又因为，且，所以，
因为，所以当时，，在上单调递增，
要证，即证，
只需证，即证，
因为，所以，
所以只需证，
设（其中，
因为，
所以在上为增函数，
所以，
故式成立，从而得证.
【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题的关键是，分析要证，即证，只需证，即证，只需证，从而构造函数即可证明.
2．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意得，进而带入解方即可得答案；
（2）根据题意，构造函数，易得函数在上单调递增，进而将问题转化为.再设，分和两种情况讨论求解即可.
(1)
解：，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，即，
解得
所以
(2)
解：由（1）知，
令，
所以，
所以函数在上单调递增，
因为，是两个正数，且
所以，
不妨设，
当时，命题显然成立，得证.
当时，令
所以
所以当时，，故
所以函数在上单调递增，
所以即，
所以，
因为，所以
所以，
因为函数在上单调递增，
所以，即.
综上，，证毕.
【点睛】本题考查导数的几何意义，极值点偏移问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解答的关键在于构造函数，进而将问题转化为，再分类讨论求解即可.
3．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可知，利用导数可求最小值，即证；
（2）由题可得，要证，只需证，，构造函数，利用导数即证.
(1)
由题意，，
令，则，令，则，
故在区间上，，为减函数；
在区间上，，为增函数，
∴，
故，故在上为增函数.
(2)
由（1）知为增函数，且，故由，，
可得，则.
欲证：，只需证：，即证：，即证：.
令，则，
令，则，
故为增函数，，故为增函数，，
故，则，
∴.
4．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别求出和的最小值，列方程即可求出结果；
（1）问题转化为有两个零点，证明，进而只需要证明只需要证明，也即是，从而令，构造函数求出最值即可证出结论．
【详解】（1）由．
所以．
所以．
令，则为上的增函数，且．
所以在上单调递减，上单调递增．
所以．
又．
所以．令，则
所以为上的增函数．
又．
令，因为在上单调递增，且，而，因此函数与直线有唯一交点，
故方程在上有唯一解，
所以存在唯一，使得．
即，故，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．
故而．
（2）由题意有两个零点．
所以，即．
所以等价于：有两个零点，证明.
不妨令．
由．
要证，只需要证明．
即只需证明：．
只需证明：，即．
令．
只需证明：．
令．
则，即在上为增函数．
又．
所以．
综上所述，原不等式成立．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
5．(1)
(2)见解析
【分析】（1）在上单调递增即在恒成立，令，分类讨论的单调性，证明即可.
（2）求出，要证明，即证明，
即证明.令，对求导，得出的单调性，即可证明.
【详解】（1）因为在上单调递增，所以在恒成立，
所以在恒成立，
令，，
①当时，在恒成立，在上单调递增，
所以，所以满足题意.
②当时，令，则.
(i)，所以，在单调递增，
所以，所以满足题意.
（ii），在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，，
所以在恒成立，所以在上单调递减，
而，所以不成立.
所以实数a的取值范围为：.
（2），，
因为是的极值点，所以满足，
令，则若，解得，
所以当时，，当时，，
所以，，
所以是唯一负极值点，且在上单调递增，在上单调递减，
要证明，即证明，
化简得，由于在上单调递增，
且由，，可知.
故，
从而可推得，而，
因此.
令，
则，
，
而，所以，
故单调递增，从而，即，
从而，即证得.
6．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分，两种情况，分别研究的正负，即可得到的单调性；（2）将已知的方程两边同时取对数，得到，由进行分析，利用（1）中的结论，不妨令，分或两种情况求解，构造函数，利用导数研究其性质，结合不等式的性质及基本不等式，即可证明.
【详解】（1）
当时，， ， 所以单调递增；， ， 所以单调递减；
当时，， 所以单调递减；， 所以单调递增；
（2）证明：
， ∴ ，
即当时，
由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令
要证，即证：
①当时，成立；
②当时
先证
此时
要证，即证：，即，即
即： ①
令 ，
∴
∴在区间上单调递增
∴，∴①式得证.
∴
∵，
∴ ∴ ∴
7．(1)取值范围是
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求得的单调区间，由此求得的取值范围.
（2）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，解得或导数证得不等式成立.
【详解】（1）的定义域为，
，
在上单调递增，所以的取值范围是.
（2）的定义域为，
有两个不相等的实数根，
令，由（1）知在上递增，则，
则有两个不相等的零点，，
，.
要证，只需证，即证，
即证，
，
故只需证，
不妨设，令，
则只需证，
只需证，
令，
，
所以，
即当时，成立.
所以，即，所以.
【点睛】利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，划归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来求所构造函数的取值范围来证得不等式成立.
8．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）当时，显然无零点；当时，考查函数图象与函数图象的公共点个数，数形结合可得结果；
（2）由（1）得，将要证不等式转化为，根据是函数的两个零点得，不等式转化为，不妨设，令，通过换元不等式转化为，构造函数，由单调性可证得不等式成立.
【详解】（1），
①当时，，因为，所以无零点；
②当时，，下面考查函数图象与函数图象的公共点个数.
当二者相切时，设切点为，则，解得，即函数图象与函数图象相切.
由图可知，当时，两函数图象有且只有一个公共点，即有1个零点；当，即时，两函数图象无公共点，即无零点；当，即时，两函数图象有2个公共点，即有2个零点.
综合①②可知，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.
（2）由（1）知，当时，，即对任意，.
因为函数有2个零点，由（1）知，，所以，即.
要证，即证，只需证.
因为是函数的两个零点，所以，两式相减得，所以只需证.
不妨设，则，即证，令，即证.
令，则，所以函数在上单调递增.
所以对任意，，即成立.
故原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：通过层层转化，把要证的不等式转化为时，，最终通过构造函数，由单调性证得不等式成立.
9．(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，可得到函数y的解析式，对函数进行求导，由导函数的正负可得关于x的取值范围，故可得y的单调区间；
（2）对函数进行求导，由有两个零点，可得到函数的判别式及a的取值范围，由，可得到的取值范围，对原题中不等式进行转换，再利用换元得到，对进行求导判断单调性，则可得的最大值，故可证得不等式成立。
【详解】（1）若，则，
所以，
由，得；
由，得．
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为函数，所以，
所以．
若函数有两个零点，
则方程的判别式，
，
所以．
又，所以，即，
，
欲证，只需证，
即证．
设，其中，
由，得．
因为，所以，
由得；由得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
从而成立．
10．(1)；
(2)，证明见解析﹒
【分析】(1)先求出，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而可得切线方程；
(2)将函数存在两个极值点转化为其导函数存在两个零点，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值，进而得到的取值范围，由，可知要证，只要证，只要证，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，进而可得结果．
【详解】（1）当时，，则，
，∴，
∴曲线在处的切线方程为，即．
（2）由题意知，
令，，
∵存在两个极值点，∴有两个零点，
易知，
当时，，在上单调递增，g(x)至多有一个零点，不合题意．
当时，由得，
若，则，单调递增；
若，则，单调递减．
要使有两个零点，需，解得．
当时，，∴在上存在唯一零点，记为．
∵，∴，，
设，则，令，，则，
∴在上单调递减，∴，即，
∴在上存在唯一零点，记为．
则，随的变化情况如下表：
﹣ 0 ﹢ 0 ﹣
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∴实数的取值范围是．
∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴要证，只要证，
只要证，只要证，
又，∴只要证，即证．
设，，
则，
∴F(x)在时单调递增，
∴，
∴成立，即得证．
【点睛】含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及两个不同变量，处理此类问题有两个策略：一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的不等式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，通过求函数最值求解．
11．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）求出导函数，分类讨论，确定的单调性，最大值，解相应的不等式可得；
（2）变形为，在证的不等式中若或，不等式已经成立，因此只要证时不等式成立，
首先引入函数，，，由导数确定出的单调性，要证的不等式为转化为证，，即证：，为此再引入新函数，，利用导数可证．
【详解】（1）解：，
当时，，令得：，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减.
∴，由，得：，
当时，，则对恒成立，
∴在区间上单调递增，且，所以不符合.
故：的取值范围为.
（2）∵，
∴，得：，
若或，则结论显然成立.
当时，，
令，，
，所以为单调递增函数，
则，证：证：，而，
所以等价于证：，即证：，
，
令：，
，
得：在区间上递增，在区间上递减，
∴，因为，所以，所以，
故原不等式得证.
【点睛】关键点点睛：本题考查考查不等式恒成立问题，考查与方程根的不等式的证明．证明不等式时第一个关键点是利用两个变量之间的关系，把问题转化为一个变量，第二个关键点在于等价转化，通过引入函数，利用函数的单调性进行转化．最终转化为研究函数的性质即可证．同时注意问题的转化，如本题中或时，不等式已经成立，只要证明时即可．
12．（1）g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；（2）见解析
【分析】（1）先得到解析式，然后对求导，分别解和，得到其单调增区间和单调减区间；（2）由题可知x1，x2是g（x）的两零点，要证x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1＞1，只需证g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，设h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2，利用导数证明在（0，1）上单调递减，从而证明，即g（2﹣x1）＞g（x2），从而证明x1+x2＞2.
【详解】（1）∵f（x）＝xlnxx2﹣ax+1，
∴g（x）＝f'（x）＝lnx﹣x+1﹣a（x＞0），
∴g'（x）
令g'（x）＝0，则x＝1，
∴当x＞1时，g'（x）＜0；当0＜x＜1时，g'（x）＞0，
∴g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（2）∵f（x）有两个极值点x1，x2，
∴x1，x2是g（x）的两零点，
则g（x1）＝g（x2）＝0，
不妨设0＜x1＜1＜x2，
∴由g（x1）＝0可得a＝lnx1﹣x1+1，
∵g（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴要证x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1＞1，
只需证g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，
∵g（2﹣x1）＝ln（2﹣x1）﹣2+x1+1﹣（lnx1﹣x1+1）＝ln（2﹣x1）﹣lnx1+2x1﹣2，
令h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），
则，
∴h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h（1）＝0，g（2﹣x1）＞0成立，
即g（2﹣x1）＞g（x2）
∴x1+x2＞2．
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明极值点偏移问题，属于难题.
