【原卷版】 《第 7 章 三角函数》综合测试【1】
生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚；
2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；
3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；
一、填空题（每小题3分，共36分）
1、函数y＝3tan的定义域为
2、函数f(x)＝－2sinx＋1，x∈的值域是
3、函数f(x)＝tan的最小正周期为
4、函数y＝tan的严格单调区间为
5、若x∈，则函数y＝＋2tanx＋1的最大值为
6、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内的图像如图，则此函数的一种解析式为
7、函数y＝logsin的严格单调递增区间为
8、如果函数f(x)＝sin＋＋a在区间上的最小值为，则a的值为________.
9、当x∈[－π，π]时，函数y＝x与y＝sinx的图像的交点个数为________.
10、方程sinx＝的解集是________.
11、已知函数f(x)＝sin，若方程f(x)＝的解为x1，x2(0＜x1＜x2＜π)，则sin(x1－x2)＝________.
12、已知函数f(x)＝2cosx(x∈[0，π])的图像与函数g(x)＝3tanx的图像交于A，B两点，则△OAB(O为坐标原点)的面积为
二、选择题：（每题3分，共12分）
13、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且y＝f(x)图像的两相邻对称轴间的距离为，则f的值为( )
A．－1 B．1
C． D．
14、函数f(x)＝3sin的一个单调递减区间是( )
A． B．
C．. D．
15、使函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为奇函数，且在区间上单调递减的φ的一个值为( )
A．. B．
C． D．
16、关于函数f(x)＝3sin＋1(x∈R)，下列命题错误的是( )
A．由f(x1)＝f(x2)＝1可得x1－x2是的整数倍
B．y＝f(x)的表达式可改写成f(x)＝3cos＋1
C．y＝f(x)的图像关于点对称
D．y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称
三、解答题：(共52分)
17、（本题8分）
画出函数y＝|tanx|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．
18、（本题8分）
已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数．
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求函数f(x)的单调递增区间；
（3）若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值．
19、（本题10分）
已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
20、（本题12分）
设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为，且图像关于点M对称．
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求不等式－1≤f(x)≤的解集．
21、（本题14分）
已知函数f(x)＝logacos(其中a>0，且a≠1)．
（1）求它的定义域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．
【解析版】 《第 7 章 三角函数》综合测试【1】
生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚；
2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；
3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；
一、填空题（每小题3分，共36分）
1、函数y＝3tan的定义域为
【答案】；
【解析】要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，
所以函数的定义域为.
2、函数f(x)＝－2sinx＋1，x∈的值域是
【答案】 [－1，3]；
【解析】∵x∈，∴sinx∈[－1,1]，∴－2sinx＋1∈[－1,3]；
3、函数f(x)＝tan的最小正周期为
【答案】 ；
【解析】解法1：∵tan＝tan，即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
解法2：(直接利用公式)T＝＝.
4、函数y＝tan的严格单调区间为
【答案】，k∈Z ；
【解析】∵y＝tan＝－tan，
由kπ－
5、若x∈，则函数y＝＋2tanx＋1的最大值为
【答案】5；
【解析】y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，
∵x∈，∴tanx∈[－，1]．∴当tanx＝－1，即x＝－时，ymin＝1；
当tanx＝1，即x＝时，ymax＝5.
6、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内的图像如图，则此函数的一种解析式为
【答案】y＝2sin
【解析】由已知可得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像经过点和点，则A＝2，T＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y＝2sin(2x＋φ)，将代入得－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π，所以φ＝，此时y＝2sin.
7、函数y＝logsin的严格单调递增区间为
【答案】为(k∈Z)．；
【解析】由题意可知函数由对数函数的定义域和复合函数的单调性，
可知
解得2kπ＋≤2x＋<2kπ＋π(k∈Z)，
即kπ＋≤x
8、如果函数f(x)＝sin＋＋a在区间上的最小值为，则a的值为________.
【答案】；
【解析】由x∈，得x＋∈.
当x＋＝时，f(x)min＝－＋＋a＝.；所以a＝.
9、当x∈[－π，π]时，函数y＝x与y＝sinx的图像的交点个数为________.
【答案】3
【解析】如图，有3个交点；
10、方程sinx＝的解集是________.
【答案】∪
【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sinx和y＝的图像如图，由图可知，
在x∈[0,2π]上，由sinx＝可得x＝或x＝；
故方程sinx＝的解集是∪.
11、已知函数f(x)＝sin，若方程f(x)＝的解为x1，x2(0＜x1＜x2＜π)，则sin(x1－x2)＝________.
【答案】－
【解析】∵函数f(x)＝sin，若方程f(x)＝的解为x1，x2(0＜x1＜x2＜π)，∴2x1－＋＝2×，则x1＋x2＝，因为0＜x＜π，∴2x－∈.
又因为方程f(x)＝的解为x1，x2(0＜x1＜x2＜π)，x1＋x2＝，∴x2＝－x1，∴sin(x1－x2)＝sin＝sin＝－cos.
由0＜x1＜x2＜π，可得0＜x1＜，故2x1－∈.
再根据sin＝，可得cos＝，故sin(x1－x2)＝－cos＝－.
12、已知函数f(x)＝2cosx(x∈[0，π])的图像与函数g(x)＝3tanx的图像交于A，B两点，则△OAB(O为坐标原点)的面积为
【答案】
【解析】函数y＝2cosx(x∈[0，π])和函数y＝3tanx的图像相交于A，B两点，O为坐标原点，
由2cosx＝3tanx可得2cos2x＝3sinx，即2sin2x＋3sinx－2＝0，求得sinx＝或sinx＝－2(舍去)，
结合x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
∴A，B，画出图像如图所示：
根据函数图像的对称性可得AB的中点C，
∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积，
等于·OC·|yA|＋·OC·|yB|＝·OC·|yA－yB|＝··2＝.
二、选择题：（每题3分，共12分）
13、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且y＝f(x)图像的两相邻对称轴间的距离为，则f的值为( )
A．－1 B．1
C． D．
【答案】B
【解析】f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin，∵f(x)是偶函数，∴φ－＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z.∵0＜φ＜π，∴当k＝0时，φ＝，即f(x)＝2sin＝2sin＝2cosωx，∵y＝f(x)图像的两相邻对称轴间的距离为，∴＝，即T＝π，即＝π，得ω＝2，则f(x)＝2cos2x，
则f＝2cos＝2cos＝2×＝1.
14、函数f(x)＝3sin的一个单调递减区间是( )
A． B．
C．. D．
【答案】B
【解析】－＋2kπ≤－2x≤＋2kπ得，－kπ≤x≤－kπ(k∈Z)，k＝0时，≤x≤；
k＝1时，－≤x≤－；k＝－1时，≤x≤，所以是函数f(x)的一个单调递减区间．
15、使函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为奇函数，且在区间上单调递减的φ的一个值为( )
A．. B．
C． D．
【答案】C
【解析】f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)
＝2
＝2
＝2sin为奇函数，
所以φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，排除A，D；
当φ＝时，y＝2sin(2x＋2π)＝2sin2x，在上单调递增，故B错误；
当φ＝时，y＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x，在上单调递减，故C正确．选C.
16、关于函数f(x)＝3sin＋1(x∈R)，下列命题错误的是( )
A．由f(x1)＝f(x2)＝1可得x1－x2是的整数倍
B．y＝f(x)的表达式可改写成f(x)＝3cos＋1
C．y＝f(x)的图像关于点对称
D．y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称
【答案】C；
【解析】对于A，由f(x)＝3sin＋1＝1，得sin＝0，则函数的周期T＝π，则x1－x2是＝的整数倍，故A正确；
对于B，f(x)＝3sin＋1＝3cos＋1＝3cos＋1＝3cos＋1，故B正确；
对于C，当x＝时，sin＝sin＝sin＝－≠0，
即函数关于点不对称，故C错误；
对于D，当x＝－时，sin＝sin＝sin＝－1，是最小值，
则y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称，故D正确．故选C；
三、解答题：(共52分)
17、（本题8分）
画出函数y＝|tanx|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．
【解析】y＝|tanx|＝
可作出其图像(如图)，由图像知函数y＝|tanx|的单调递减区间为(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z)．
∴该函数是偶函数，周期为π.
【说明】作函数y＝|f(x)|以及周期函数图像的方法
(1)作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期内的图像，再利用周期性，延展到定义域上即可．
18、（本题8分）
已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数．
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求函数f(x)的单调递增区间；
（3）若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值．
【解析】（1）f(x)＝2sin＋a，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
（2）由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
（3）当x∈时，2x－∈，
所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，
即2sin＋a＝－2，
故a＝－1.
19、（本题10分）
已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
【解析】（1）f(x)＝－cos2x＋sin2x＝sin＋.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
（2）由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使f(x)在上的最大值为，即需sin在上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
20、（本题12分）
设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为，且图像关于点M对称．
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求不等式－1≤f(x)≤的解集．
【解析】（1）由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.
因为ω>0，所以ω＝2.从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图像关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝.故f(x)＝tan.
（2）令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，则－＋kπ<2x
所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
（3）由（1），知f(x)＝tan.
由－1≤tan≤ ，得
－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z.
解得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.
21、（本题14分）
已知函数f(x)＝logacos(其中a>0，且a≠1)．
（1）求它的定义域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．
【解析】（1）由题意知cos>0，∴2kπ－<2x－<2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－
函数u＝cos在(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减，
∴当a>1时，
f(x)的单调增区间为(k∈Z)，
单调减区间为(k∈Z)；
当0
单调减区间为(k∈Z)．
（3）∵函数f(x)的定义域不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
（4）函数f(x)是周期函数，
∵f(x＋π)＝logacos
＝logacos＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为T＝π.
