河南省商丘市柘城县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国探火 B．中国火箭
C．中国行星探测 D．航天神舟
2．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．离离原上草，一岁一枯荣
B．钝角三角形的内角和大于180°
C．白发三千丈，缘愁似个长
D．打开电视，正在播放（新闻联播）
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，点D为AB的中点，2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是（ ）
A．点A在圆外 B．点C在圆上
C．⊙D与直线AC相切 D．⊙D与直线BC相交
4．（3分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“北京”和“青海”；乙口袋中装有3个相同的小球；丙口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“香港”和“上海”．从三个口袋中各随机取出1个小球则3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率是（参考资料：长江流经青海、四川、云南、湖北、安徽、上海等省级行政区）（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2，当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最大值为﹣2，则常数h的值为（ ）
A．1或3 B．﹣1或1 C．3或5 D．﹣1或5
7．（3分）已知如图，CO、CB是⊙O′的弦，⊙O′与坐标系x、y轴交于B、A两点（0，1），⊙O′的弦OB的长为，则∠OCB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上（13，0），sin∠COA＝，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0），则k的值是（ ）
A．12 B．48 C．50 D．60
9．（3分）若点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝6，则tan∠EAF的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题。（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知函数y＝（m+2）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，则实数m的值是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，则m的取值范围是 ．
13．（3分）已知a、b满足a2+2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且a≠b，则＝ ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点B'与点B是对应点，若点B'恰好落在AB边上则点A到直线A'C的距离等于 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，P是直线AB：，⊙O的半径为1，过点P作⊙O的切线，则PQ长度的最小值为 ．
三、解答题。（共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（2x+3）2＝（3x+2）2
17．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝2x﹣3与反比例函数y＝（k≠0），B两点，与x轴相交于点C，B的坐标分别为（2n，n）和（m，﹣4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式2x﹣3＞的解集．
18．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E，
（1）求证：BC＝EC．
（2）若BC，EC的长是方程x2+（m﹣2）x+m+1＝0的两根，求EC的长．
19．（9分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，分别标有数字﹣1，﹣2，0，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x,y）能作⊙O的切线的概率．
20．（9分）如图，网格中小正方形的边长为1，△ABC与△A1B1C1是位似图形．
（1）在网格中建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（﹣6，﹣1），点C1的坐标为（﹣3，2），并写出点B的坐标；
（2）以点A为位似中心，在网格中作△AB2C2使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1：2；
（3）在（1）的条件下，标出△ABC和△A1B1C1的位似中心P．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）设．
①若BC＝20，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是36，求△ABC的面积．
22．（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系
售价x（元/件） 60 65 70
销售量y（件） 1400 1300 1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元）那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
23．（11分）已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将抛物线C1向上平移4个单位长度得到抛物线C2，与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线C2上的一个动点．
①当△BCD面积最大时，求点D的坐标；
②抛物线C2的对称轴交x轴于点G，过点D作DE⊥BC于点E，交x轴于点F．当点F在线段AG上时求S△BEF的取值范围．
2023-2024学年河南省商丘市柘城县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国探火 B．中国火箭
C．中国行星探测 D．航天神舟
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．离离原上草，一岁一枯荣
B．钝角三角形的内角和大于180°
C．白发三千丈，缘愁似个长
D．打开电视，正在播放（新闻联播）
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、离离原上草，是必然事件；
B、钝角三角形的内角和大于180°，不符合题意；
C、白发三千丈，是不可能事件；
D、打开电视，是随机事件；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，点D为AB的中点，2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是（ ）
A．点A在圆外 B．点C在圆上
C．⊙D与直线AC相切 D．⊙D与直线BC相交
【分析】连接CD，由直角三角形的斜边上的中线定理得AD＝BD＝CD，进而得AE＝CE，根据三角形中位线定理即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AD＝CD＝2.5＞2，故点A，故选项A不符合题意；
连接CD，
∴∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD＝AD，
∵DE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴DE∥BC，DE＝，故⊙D与直线AC相切；
过D作DF⊥BC于F，
∴CF＝BF，
∴DF∥AC，DF＝；故⊙D与直线BC相交；
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．（3分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“北京”和“青海”；乙口袋中装有3个相同的小球；丙口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“香港”和“上海”．从三个口袋中各随机取出1个小球则3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率是（参考资料：长江流经青海、四川、云南、湖北、安徽、上海等省级行政区）（ ）
A． B． C． D．
【分析】用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：由树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中三个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的有1种，
所以三个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是解决问题的关键．
5．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽△ABO'，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），O'N＝11﹣4＝4（cm），
∴＝，
∴AB＝3cm，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
6．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2，当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最大值为﹣2，则常数h的值为（ ）
A．1或3 B．﹣1或1 C．3或5 D．﹣1或5
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得h的值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣h）7，
∴该函数的对称轴为直线x＝h，
当h＜1时，
∵当自变量x的值满足1≤x≤6时，与其对应的函数值y的最大值为﹣2，
∴x＝1时，y＝﹣7（4﹣h）2，得h1＝﹣2，h2＝3（舍去）；
当8≤h≤3时，y的最大值为0；
当h＞7时，
∵当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，
∴x＝3时，y＝﹣2（3﹣h）7，得h3＝1（舍去），h8＝5；
由上可得，h的值是﹣1或3，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
7．（3分）已知如图，CO、CB是⊙O′的弦，⊙O′与坐标系x、y轴交于B、A两点（0，1），⊙O′的弦OB的长为，则∠OCB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】首先连接AB，由∠AOB＝90°，可得AB是直径，又由点A的坐标为（0，1），弦OB的长为，可得Rt△AOB中，tan∠ABO＝＝，进而得到∠ABO＝30°，∠BAO＝60°，最后根据圆周角定理可得∠BCO＝60°．
【解答】解：连接AB，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
又∵点A的坐标为（0，1），
∴Rt△AOB中，tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BAO＝60°，
∴∠BCO＝60°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形的运用，解题时注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上（13，0），sin∠COA＝，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0），则k的值是（ ）
A．12 B．48 C．50 D．60
【分析】根据条件先求出线段CD长，利用勾股定理求出OD长，得到点C的坐标即可得到k值．
【解答】解：如图，作CD⊥x轴，
∵四边形OABC是菱形，A（13，
∴OA＝OC＝13，
∵sin∠COA＝，
∴，
∴CD＝12，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：
OD＝＝＝5，
∴C（2，12），
∵C（5，12）在反比例函数图象上，
∴k＝5×12＝60，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，熟练掌握勾股定理的应用是解答本题的关键．
9．（3分）若点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3
【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
【解答】解：点A（x1，2），B（x4，﹣1），C（x3，2）都在反比例函数y＝的图象上，
∴x1＝＝4，x5＝＝﹣4，x3＝＝2．
∴x2＜x2＜x1，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝6，则tan∠EAF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的性质和翻折的性质求出BF，然后利用勾股定理得EF2＝（6﹣EF）2+22，求出EF，再利用锐角三角形函数即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，
由翻折可知：DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，
∴BF＝＝＝6，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
∵EC＝CD﹣DE＝2﹣DE＝6﹣EF，
在Rt△EFC中，根据勾股定理得：EF2＝EC3+FC2，
∴EF2＝（5﹣EF）2+27，
∴EF＝，
∴tan∠EAF＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
二、填空题。（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知函数y＝（m+2）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，则实数m的值是 2 ．
【分析】根据反比例函数的一般形式进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
|m|﹣3＝﹣1，且m+6≠0，
∴m＝2，
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，则m的取值范围是 ．
【分析】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得，解不等式组可得答案．
【解答】解：因为在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，且点P′在第三象限，
所以，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．（3分）已知a、b满足a2+2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且a≠b，则＝ ﹣6 ．
【分析】根据题意可知a、b是关于x的方程方程x2+2x﹣1＝0的两个根，根据根与系数的关系可得a+b＝﹣2，ab＝﹣1，再根据完全平方公式可得a2+b2的值，再将分式化简求值即可．
【解答】解：∵a、b满足a2+2a﹣5＝0，b2+7b﹣1＝0，且a≠b，
∴a、b是关于x的方程方程x5+2x﹣1＝5的两个根，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1，
∴a8+b2＝（a+b）2﹣4ab＝4+2＝2，
∴＝＝＝﹣6，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，分式的化简等，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点B'与点B是对应点，若点B'恰好落在AB边上则点A到直线A'C的距离等于 3 ．
【分析】作AH⊥A'C于H，根据含30°角的直角三角形的性质得∠B＝60°，AC＝2，再根据旋转的性质可得∠ACH＝∠BCB'＝60°，从而得出答案．
【解答】解：作AH⊥A'C于H，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，AC＝2，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴CB＝CB'，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠CB'B＝60°，
∴∠BCB'＝60°，
∴∠ACH＝∠BCB'＝60°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠CAH＝30°，
∴AH＝AC×cos30°＝8×＝3，
∴点A到直线A'C的距离等于3，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，P是直线AB：，⊙O的半径为1，过点P作⊙O的切线，则PQ长度的最小值为 ．
【分析】连接OQ，PO，由切线的性质定理推出半径OQ⊥PQ，由勾股定理得到PQ＝，当PO最小时，PQ最小，当PO⊥AB时，PO最小，求出B的坐标是（0，3），A坐标是（﹣6，0），得到OB＝3，OA＝6，由勾股定理求出AB＝＝3，由三角形的面积公式得到△AOB的面积＝OA OB＝AB OP，求出PO的长，即可求出PQ的最小值．
【解答】解：连接OQ，PO，
∵PQ切圆于Q，
∴半径OQ⊥PQ，
∴PQ＝，
∵OQ＝8，
∴当PO最小时，PQ最小，PO最小，
当x＝0时，y＝3，x＝﹣5，
∴B的坐标是（0，3），6），
∴OB＝3，OA＝6，
∴AB＝＝3，
当PO⊥AB时，
∵△AOB的面积＝OA OB＝，
∴PO＝，
∴PQ＝＝，
∴PQ长度的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，关键是明白当PO⊥AB时，PO最小，此时PQ最小．
三、解答题。（共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（2x+3）2＝（3x+2）2
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣6x＝1，
则x2﹣3x+1＝1+2，即（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝±，
∴x2＝1+，x2＝1﹣
（3））（6x+3）2＝（5x+2）2，
（8x+3）2﹣（2x+2）2＝4，
[（2x+3）+（5x+2）][（2x+4）﹣（3x+2）]＝7，
∴5x+5＝5或﹣x+1＝0，
∴x8＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝2x﹣3与反比例函数y＝（k≠0），B两点，与x轴相交于点C，B的坐标分别为（2n，n）和（m，﹣4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式2x﹣3＞的解集．
【分析】（1）将点B坐标代入一次函数解析式，求出m，再将点B坐标代入反比例函数即可解决问题．
（2）利用数形结合的思想即可解决问题．
【解答】解：（1）将点B坐标代入一次函数解析式得，
2m﹣3＝﹣8，
解得m＝，
所以点B的坐标为（）．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
k＝，
所以反比例函数的解析式为y＝．
（2）将点A坐标代入一次函数解析式得，
2×7n﹣3＝n，
解得n＝1，
所以点A坐标为（5，1）．
由函数图象可知，
当＜x＜0或x＞2时，即5x﹣3＞，
所以不等式2x﹣3＞的解集为：．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知待定系数法及数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
18．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E，
（1）求证：BC＝EC．
（2）若BC，EC的长是方程x2+（m﹣2）x+m+1＝0的两根，求EC的长．
【分析】（1）连接AC，先根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到∠E＝∠D，∠EBC＝∠E，从而根据等角对等边可证BC＝EC．
（2）根据根的判别式＝0，构建方程求出m的值，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接AC．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°＝∠ACE．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC＝180°，又∠ABC+∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠D．
∵C是的中点，
∴∠EAC＝∠DAC，
∴∠EAC+∠E＝∠DAC+∠D＝90°，
∴∠E＝∠D，
∴∠EBC＝∠E，
∴BC＝EC；
（2）解：由题意方程x2+（m﹣2）x+m+4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（m﹣2）6﹣4（m+1）＝7，
∴m＝0或8，
当m＝6时，方程为x2﹣2x+2＝0，解得x1＝x3＝1，
∴CE＝1．
当m＝2时，方程为x2+6x+3＝0，解得x1＝x2＝﹣3（不符合题意舍去）．
∴CE＝1．
综上所述，CE＝6．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（9分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，分别标有数字﹣1，﹣2，0，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x,y）能作⊙O的切线的概率．
【分析】（1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算；
（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
【解答】解：（1）画树状图：
共有9种等可能的结果数，它们是：（0，（2，（0，（1，（2，（1，（2，（3，（2；
（2）在直线y＝﹣x+1的图象上的点有：（8，0），﹣1），
所以点M（x，y）在函数y＝﹣x+6的图象上的概率＝；
（3）在⊙O上的点有（3，﹣2），0），﹣6），﹣1），﹣2），
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有3个，
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和切线的性质．
20．（9分）如图，网格中小正方形的边长为1，△ABC与△A1B1C1是位似图形．
（1）在网格中建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（﹣6，﹣1），点C1的坐标为（﹣3，2），并写出点B的坐标；
（2）以点A为位似中心，在网格中作△AB2C2使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1：2；
（3）在（1）的条件下，标出△ABC和△A1B1C1的位似中心P．
【分析】（1）利用点A、C1的坐标画出平面直角坐标系，然后写出B点坐标；
（2）取AB和AC的中点得到B2、C2，则△AB2C2△满足条件；
（3）连接AA1、BB1、CC1，它们的交点即为△ABC和△A1B1C1的位似中心P．
【解答】解：（1）如图，点B的坐标为（﹣2；
（2）如图，△AB2C8为所作；
（3）如图，点P为所作．
【点评】本题考查了位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了位似的性质．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）设．
①若BC＝20，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是36，求△ABC的面积．
【分析】（1）由平行线性质可得到∠BED＝∠C，∠B＝∠FEC，则△BDE∽△EFC；
（2）①由EF∥AB，根据平行线分线段对应成比例可得＝＝，故可求得BE＝8；
②证明△EFC∽△BAC，可得＝＝，从而可得S△ABC＝100．
【解答】（ 1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠C，
又∵EF∥AB，
∴∠B＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵BC＝20，
∴＝，
∴BE＝5；
②∵＝，
∴AF＝FC，
∴AC＝AF+FC＝FC，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠B，
∵∠C＝∠C．
∴△EFC∽△BAC，
∴＝，
∵S△EFC＝36，
∴S△ABC＝100．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段对应成比例，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系
售价x（元/件） 60 65 70
销售量y（件） 1400 1300 1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元）那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
（3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）7+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
23．（11分）已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将抛物线C1向上平移4个单位长度得到抛物线C2，与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线C2上的一个动点．
①当△BCD面积最大时，求点D的坐标；
②抛物线C2的对称轴交x轴于点G，过点D作DE⊥BC于点E，交x轴于点F．当点F在线段AG上时求S△BEF的取值范围．．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由△BCD面积＝S△DHB+S△DHC，即可求解；
②证明△BFE为等腰直角三角形，则S△BEF＝EF BE＝（EF）2＝（BF）2＝BF2，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
故抛物线的解析式为：y＝﹣x5+2x﹣1；
（2）抛物线C2的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣5+4＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝2，3），
令y＝﹣x2+5x+3＝0，
解得：x＝﹣6或3，
即点A、B的坐标分别为：（﹣1、（2；
①由点B、C的坐标得，
过点D作DH∥y轴交BC于点H，
设点D（x，﹣x2+2x+7），则点H（x，
则△BCD面积＝S△DHB+S△DHC＝DH×OB＝2+7x+3+x﹣3）×7＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，△BCD面积最大，）；
②由点B、C的坐标知，则∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴△BFE为等腰直角三角形，
则S△BEF＝EF BE＝2＝（BF）6＝BF7，
当点F和点A重合时，BF＝AB＝4△BEF＝BF2＝4；
当点F和点G重合时，BF＝GB＝2△BEF＝BF7＝1；
∴S△BEF的取值范围为：1≤S△BEF≤7．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
