第二章 二次函数 单元检测卷 2023-2024学年北师大版九年级数学下册
满分120分，限时120分钟
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．xy＋x2＝1 B．x2－y＋2＝0 C．y＝ D．y2－4x＝3
2.将二次函数y=x2+6x+7进行配方正确的结果应为（ ）
A.y=（x+3）2+2 B.y=（x-3）2+2 C.y=（x+3）2-2 D.y=（x-3）2-2
3.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … ﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5 …
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线x=﹣2
B．该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2.5）
C．b2﹣4ac=0
D．若点A（0，5，y1）是该抛物线上一点．则y1＜﹣2.5
4．已知二次函数有最小值，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5.将抛物线y＝x2－2x＋1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A.y＝x2－2x－1 B.y＝x2＋2x－1 C.y＝x2－2 D.y＝x2＋2
6．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是 ,则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．6m B．12m C．8m D．10m
7．已知二次函数y＝ax2－bx－2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a－b为整数时，ab的值为（ ）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
8.已知二次函数y= －(x+h)2，当x<－3时，y随x增大而增大，当x>0时，y随x增大而减小，且h满足h2－2h－3=0，则当x=0时，y的值为（ ）
A.－1 B.1 C.－9 D.9
9.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、填空题 (每小题3分，共18分)
11．抛物线的顶点是_________.
12.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在二次函数y=﹣2(x﹣2)2+1的图象上，且x1＜x2＜2，则y1、y2的大小关系是 ．
13．已知二次函数的对称轴为，则 ．
14.函数y＝ax2＋(3－a )x＋1的图象与x轴只有一个交点，则a＝ ；
15.二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)．D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 ．
三、解答题 (共72分)
17.如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
18.若二次函数的图象的对称轴方程是 ，并且图象过A(0，－4)和B(4，0)，
( 1 ) 求此二次函数图象上点A关于对称轴 对称的点A′的坐标；
( 2 ) 求此二次函数的解析式；
19.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
20．在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面 m，与篮圈中心的水平距离为7 m，球出手后水平距离为4 m时达到最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，那么他能否获得成功？
21.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500．
（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（不需求出利润的最大值）
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)记抛物线顶点为D，求∠BCD的面积；
(3)若直线y＝－x向上平移b个单位所得的直线与抛物线BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，求b的取值范围．
23.如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
24．矩形OABC的顶点A(－8，0)、C(0，6)，点D是BC边上的中点，抛物线y＝ax2＋bx经过A、D两点，如图所示．
(1)求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值；
(2)在y轴上取一点P，使PA＋PD长度最短，求点P的坐标；
(3)将抛物线y＝ax2＋bx向下平移，记平移后点A的对应点为A1，点D的对应点为D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1＋OD1最短的一点，求此抛物线的解析式．
