2023-2024学年河南省信阳市潢川县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）下列汽车标志图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
3．（3分）不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠1 B．k＞ C．k≥且k≠1 D．k≥
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，连接BB′，则BB′的长为（ ）
A．6 B． C． D．3
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
7．（3分）如图，⊙O的直径为6，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，下列比例式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm，E是AD的中点，连接BE，CE．点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BE﹣EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知一元二次方程x2+kx+1＝0有一个根为﹣1，则k的值为 ．
12．（3分）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 ．
13．（3分）如图，在 ABCD中，E是边BC上的点，连接AE，交BD于点F，若EC＝2BE，则的值是 ．
14．（3分）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，半径OA＝3，则图中阴影部分的面积是 ，（结果保留π）
15．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，E为平面内一点，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°得到DG，当点B、D、G三点在一条直线上时，若DG＝，则CE的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）（x﹣1）2﹣4＝0．
17．（9分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“国画”、B“古筝”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出如图不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）B组所对应的扇形圆心角为 度；
（3）现选出了4名书法最好的学生，其中有1名男生和3名女生，要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到2名女生的概率．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数y＝图象上的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．
19．（9分）张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．
（1）若矩形的面积为120平方米，则AB长为多少米？
（2）设AB边长为x米，矩形面积为S平方米，当x为何值时S有最大值？请求出最大值．
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE．
（1）求证：直线BE与⊙O相切；
（2）若CA＝2，CD＝4，求直径AB的长．
21．（9分）已知：如图，在 ABCD中，N为BC上一点，且BN＝2CN，连接AN并延长，交DC的延长线于点P．
（1）求证：△ABN∽△PDA；
（2）若AB＝8，求DP的长；
（3）若△BMN的面积为16，则△ADM的面积为 ．
22．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），OC＝3OB，点N是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，过点N作MN∥x轴交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）若点N沿抛物线向下移动，使得8≤MN≤10，求点N的纵坐标yN取值范围；
（3）若点P是抛物线上任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标xp的取值范围．
23．（10分）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折正方形纸片，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在BE上选一点H，沿CH折叠，使点B落在EF上的点G处，得到折痕CH，把纸片展平．根据以上操作，直接写出图1中∠CGF的度数： ；
（2）拓展应用
小华在以上操作的基础上，继续探究，延长HG交AD于点M，连接CM交EF于点N（如图2），判断△MGN的形状是 ，并说明理由；
（3）迁移探究
如图3，已知正方形ABCD的边长为3，当点H是边AB的三等分点时，把△BCH沿CH翻折得△GCH，延长HG交AD于点M，请直接写出MD的长： ．
2023-2024学年河南省信阳市潢川县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）下列汽车标志图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
2．（3分）二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
【解答】解：∵抛物线y＝a（x+h）2+k的顶点坐标是（﹣h，k），
∴抛物线y＝2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（2，﹣5）．
故选：D．
3．（3分）不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是＝，
故选：D．
4．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠1 B．k＞ C．k≥且k≠1 D．k≥
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＞且k≠1，
∴k的取值范围是k＞且k≠1．
故选：A．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，连接BB′，则BB′的长为（ ）
A．6 B． C． D．3
【解答】解：∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，
∴AB＝A′B′，CB＝C′B′，AC＝A′C＝3，
∴∠ACA′＝∠BCB′＝60°，AB＝6，
∴△CBB′是等边三角形，
∴∠CBB'＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠A'BB'＝90°，
∴BB'＝A'B'＝3．
故选：C．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【解答】解：解法一：如图，连接OC，
∵∠ADC＝115°，
∴优弧所对的圆心角为2×115°＝230°，
∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，
∴∠BAC＝∠BOC＝25°，
故选：A．
解法二：∵∠ADC＝115°，
∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
故选：A．
7．（3分）如图，⊙O的直径为6，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOP＝130°，
∵⊙O的直径为6，
∴OA＝3，
∴的长＝＝．
故选：C．
8．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【解答】解：∵k＝8＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数的图象上，
∴y1＜0＜y3＜y2，
即y1＜y3＜y2，
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，下列比例式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DF∥BC，
∴，，，，
∴选项A、B、D均正确．
故选：C．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm，E是AD的中点，连接BE，CE．点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BE﹣EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm，
∴DC＝AB＝2cm，AD＝BC＝4cm，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝2cm，
由勾股定理可得，BE＝CE＝4cm，
∴∠AEB＝30°，
∴∠EBC＝∠AEB＝30°．
由点P，Q的运动可知，点Q从点B到点E用时4s，从点E到点C用时4s，点P从点B到点C用时4s，
∴点Q到达点E时，点P运动到点C处，
由此可知分两段：
①当0＜t＜4时，如图，过点Q作QM⊥BC于点M，
∴BQ＝t，BP＝t，
∵∠EBC＝30°，
∴QM＝t，
∴y＝ BP QM＝＝t2，此段图象为抛物线，且开口向上，由此排除A，C；
②当4＜t＜8时，如图，此时点Q在EC上，过点Q作QN⊥BC于点N，
由点Q的运动可知，CQ＝8﹣t，
∵∠BCE＝30°，
∴QN＝（8﹣4），
∴y＝＝ BC QN＝×4 （8﹣t）＝﹣t+8，此段图象为直线的一部分，由此排除B；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知一元二次方程x2+kx+1＝0有一个根为﹣1，则k的值为 2 ．
【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程x2+kx+1＝0得：
1﹣k+1＝0，
2﹣k＝0，
k＝2，
故答案为：2．
12．（3分）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 1 ．
【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积＝|k|，
即△PAO的面积＝×2＝1．
故答案为：1．
13．（3分）如图，在 ABCD中，E是边BC上的点，连接AE，交BD于点F，若EC＝2BE，则的值是 ．
【解答】解：∵EC＝2BE，
∴BC＝BE+EC＝3BE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝3BE，AD∥BC，
∴△ABE∽△DAF，
∴＝＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，半径OA＝3，则图中阴影部分的面积是 3π ，（结果保留π）
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴S△COB＝S△AOC，∠AOC＝120°，
∵⊙O的半径为3，
∴S阴影＝S扇形AOC＝＝3π，
故答案为：3π．
15．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，E为平面内一点，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°得到DG，当点B、D、G三点在一条直线上时，若DG＝，则CE的长为 或 ．
【解答】解：①当点G在线段BD的延长线上时，如图3所示．
过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠GDM＝45°．
∵GM⊥AD，DG＝
∴MD＝MG＝1，
∴AM＝AD+DM＝5
在Rt△AMG中，由勾股定理，得
AG＝＝，
∴CE＝AG＝．
②当点G在线段BD上时，如图4所示，
过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG＝45°
∵GM⊥AD，DG＝，
∴MD＝MG＝1，
∴AM＝AD﹣MG＝3
在Rt△AMG中，AG＝＝
∴CE＝AG＝
故答案为：或
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）（x﹣1）2﹣4＝0．
【解答】解：（1）x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝0，x2＝3；
（2）（x﹣1）2﹣4＝0，
（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
17．（9分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“国画”、B“古筝”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出如图不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 40 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）B组所对应的扇形圆心角为 72 度；
（3）现选出了4名书法最好的学生，其中有1名男生和3名女生，要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到2名女生的概率．
【解答】解：（1）本次共调查学生16÷40%＝40（名），
C小组人数为40﹣（16+8+12）＝4（名），
补全图形如下：
故答案为：40；
（2）B组所对应的扇形圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的情况，其中刚好抽到2名女生的情况有6种，
∴刚好抽到2名女生的概率为＝．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数y＝图象上的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+m过点A（3，1），B（﹣1，n）．
∴1＝3+m，
∴m＝﹣2，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣2，
∵反比例函数的图象过点A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）把B（﹣1，n）代入y＝x﹣2，得n＝﹣1﹣2＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣3），
观察图象，不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞3；
（3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x＝2，
即点C的坐标为：C（2，0），
∴S△AOC＝＝1，
∵S△POC＝3S△AOC，
∴S△POC＝＝，
∴|yP|＝3，
当点P的纵坐标为3时，则3＝，解得x＝1，
当点P的纵坐标为﹣3时，则﹣3＝，解得x＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）．
19．（9分）张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．
（1）若矩形的面积为120平方米，则AB长为多少米？
（2）设AB边长为x米，矩形面积为S平方米，当x为何值时S有最大值？请求出最大值．
【解答】解：设边AB的长为x米，
（1）由题意，得S＝AB BC＝x（32﹣2x）＝120，
解得：x＝10或6，
即AB长为10或6米；
（2）由（1）S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128≤128．
∴x＝8米时，S有最大值，最大值是128平方米．
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE．
（1）求证：直线BE与⊙O相切；
（2）若CA＝2，CD＝4，求直径AB的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD//OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6．
21．（9分）已知：如图，在 ABCD中，N为BC上一点，且BN＝2CN，连接AN并延长，交DC的延长线于点P．
（1）求证：△ABN∽△PDA；
（2）若AB＝8，求DP的长；
（3）若△BMN的面积为16，则△ADM的面积为 36 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADP＝∠ABC，AB∥CD，
∴∠BAP＝∠APD，
∴△ABN∽△PDA；
（2）解：∵AB∥CD，
∴＝，
∵BN＝2CN，＝2，
∵AB＝8，
∴CP＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，
∴DP＝8+4＝12；
（3）解：∵AD∥BC，
∴△BMN∽△DMA，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
又∵BN＝2CN，
∴BN＝BC＝AD，
∴＝＝＝，
∵△BMN的面积为16，
∴＝，
∴S△DMA＝36，
故答案为：36．
22．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），OC＝3OB，点N是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，过点N作MN∥x轴交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）若点N沿抛物线向下移动，使得8≤MN≤10，求点N的纵坐标yN取值范围；
（3）若点P是抛物线上任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标xp的取值范围．
【解答】解：（1）∵C（0，3），OC＝3OB，
∴B（1，0），
把B（1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝﹣1；
（2）∵MN∥x轴，
∴M，N关于对称轴直线x＝﹣1对称；
当MN＝8时，N到直线x＝﹣1的距离为4，
∴xN＝﹣1+4＝3，
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝3得y＝﹣9﹣6+3＝﹣12；
当MN＝10时，N到直线x＝﹣1的距离为5，
∴xN＝﹣1+5＝4，
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝4得y＝﹣16﹣8+3＝﹣21；
∴8≤MN≤10时，点N的纵坐标yN取值范围是﹣21≤yN≤﹣12；
（3）∵A的纵坐标为0，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，
∴|yP|≤3，
∴﹣3≤yP≤3，
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝3得3＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝0或x＝﹣2，
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝﹣3得﹣3＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝﹣1﹣或x＝﹣1+，
如图：
由图可得，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，点P的横坐标xp的取值范围是﹣1﹣≤xp≤﹣2或0≤xp≤﹣1+．
23．（10分）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折正方形纸片，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在BE上选一点H，沿CH折叠，使点B落在EF上的点G处，得到折痕CH，把纸片展平．根据以上操作，直接写出图1中∠CGF的度数： 30° ；
（2）拓展应用
小华在以上操作的基础上，继续探究，延长HG交AD于点M，连接CM交EF于点N（如图2），判断△MGN的形状是 等边三角形 ，并说明理由；
（3）迁移探究
如图3，已知正方形ABCD的边长为3，当点H是边AB的三等分点时，把△BCH沿CH翻折得△GCH，延长HG交AD于点M，请直接写出MD的长： 或 ．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠BCF＝90°，
根据折叠的性质可得，DF＝CF＝CD，∠CFG＝∠DFE＝90°，BC＝CG，∠B＝∠CGH＝90°，∠HCG＝∠HCB＝∠GCB，
∴CF＝CG，EF∥BC，
∴∠CGF＝∠GCB＝30°；
故答案为：30°；
（2）△MGN为等边三角形．理由如下：
解法一：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，BC＝CD，
根据折叠的性质可得，DF＝CF，∠CFG＝∠DFE＝90°，BC＝CG，∠B＝∠CGH＝90°，
∴EF∥BC∥AD，∠MGC＝90°，CG＝CD，
∵NF∥DM，F为CD中点，
∴NF为△CDM的中位线，
∴CN＝NM，
在Rt△MGC中，MN＝GN，
∴∠NMG＝∠MGN，
在Rt△CGM和Rt△CDM中，
，
∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），
∴∠CMG＝∠CMD，即∠NMG＝∠NMD，
∵EF∥AD，
∴∠NMD＝∠GNM，
∴∠NMG＝∠MGN＝∠GNM＝＝60°，
∴△MGN为等边三角形；
解法二：由（1）可知，∠CHB＝∠CHG＝75°，
∴∠BHG＝150°，∠EHG＝30°，
根据折叠的性质可得，DF＝CF，∠BEF＝∠AEF＝90°，∠B＝∠CGH＝90°，
∴EF∥AD，∠MGN＝∠EGH＝60°，
∵NF∥DM，F为CD中点，
∴NF为△CDM的中位线，
∴CN＝NM，
在Rt△MGC中，MN＝GN，
∴∠NMG＝∠MGN＝60°，
∴△MGN为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（3）∵点H是边AB的三等分点，
∴BH＝1或AH＝1，
①当BH＝1时，如图，连接CM，
则AH＝2，
∵四边ABCD为边长为3的正方形，
∴BC＝CD＝3，∠B＝90°，
根据折叠的性质可得，BC＝CG＝3，BH＝GH＝1，∠B＝∠HGC＝90°，
∴CG＝CD＝3，
在Rt△CGM和Rt△CDM中，
，
∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），
∴GM＝DM，
设GM＝DM＝x，则AM＝3﹣x，HM＝GH+GM＝1+x，
在Rt△AHM中，AM2+AH2＝HM2，
∴（3﹣x）2+22＝（1+x）2，
解得：x＝，
∴DM＝；
②当AH＝1时，如图，连接CM，
则BH＝2，
∵四边ABCD为边长为3的正方形，
∴BC＝CD＝3，∠B＝90°，
根据折叠的性质可得，BC＝CG＝3，BH＝GH＝2，∠B＝∠HGC＝90°，
∴CG＝CD＝3，
在Rt△CGM和Rt△CDM中，
，
∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），
∴GM＝DM，
设GM＝DM＝a，则AM＝3﹣a，HM＝GH+GM＝2+a，
在Rt△AHM中，AM2+AH2＝HM2，
∴（3﹣a）2+12＝（2+a）2，
解得：a＝，
∴DM＝；
综上，DM的值为或，
故答案为：或．
