第八章 立体几何
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l与平面α不平行，则( )
A．l与α相交 B．l α
C．l与α相交或l α D．以上结论都不对
2．若圆台下底半径为4，上底半径为1，母线长为3，则其体积为( )
A．15π B．21π
C．25π D．63π
3．棱长为2的正方体的内切球的表面积为( )
A．4π B．π
C．8π D．32π
4．如图，正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．如图，若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB，CD在β内的射影长分别为9和5，则AB，CD的长分别为( )
A．16和12 B．15和13
C．17和11 D．18和10
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．梯形
7．(2022年杭州期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则四面体O－AEF的体积( )
A．与x，y都有关 B．与x，y都无关
C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关
8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为( )
A．4 B．2
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是( )
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直
10．已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是( )
A．l α，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥m
C．α⊥γ，β∥γ D．l α，m β，l⊥m
11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P－BC－A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
12．对于四面体A－BCD，以下命题中正确的是( )
A．若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等
B．若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心
C．四面体A－BCD的四个面中最多有四个直角三角形
D．若四面体A－BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积为________．
14．已知一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的表面积为____________，体积为________．
15．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A－BD－P的大小为________．
16．(2023年昆明期末)已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面积为，一个侧面的周长为6，则正三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面积为________．
17．(10分)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？请说明理由．
18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．
(1)求证：平面PBC⊥平面PCD；
(2)求证：EF∥平面PAD．
19．(12分)(2023年济南期末)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．
(1)求证：BC⊥平面ACFE；
(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．
20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
21．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB．
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值．
22．(12分)如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABEF沿EF折起，使BE⊥EC．
(1)若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离．第八章 立体几何
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l与平面α不平行，则( )
A．l与α相交 B．l α
C．l与α相交或l α D．以上结论都不对
【答案】C
【解析】直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l α．
2．若圆台下底半径为4，上底半径为1，母线长为3，则其体积为( )
A．15π B．21π
C．25π D．63π
【答案】B
【解析】圆台下底半径为R＝4，上底半径为r＝1，母线长为l＝3，则圆台的高为h＝＝3．所以圆台的体积V＝π(r2＋R2＋Rr)h＝21π．故选B．
3．棱长为2的正方体的内切球的表面积为( )
A．4π B．π
C．8π D．32π
【答案】A
【解析】正方体的棱长为2，即其内切球的直径d＝2，半径r＝＝1，所以内切球的表面积S＝4πr2＝4π．
4．如图，正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】C
【解析】如图，在正四棱锥P－ABCD中，根据底面积为6，可得BC＝．连接BD交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P－ABCD的高，根据体积公式可得PO＝1．因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC．连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角．在Rt△POA中，因为PO＝1，OA＝，所以PA＝2，OE＝PA＝1．在Rt△BOE中，因为BO＝，所以tan∠BEO＝＝，即∠BEO＝60°．故直线BE与平面PAC所成角为60°．
5．如图，若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB，CD在β内的射影长分别为9和5，则AB，CD的长分别为( )
A．16和12 B．15和13
C．17和11 D．18和10
【答案】B
【解析】如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M，N．设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND＝5．∴x2－81＝(28－x)2－25，解得x＝15，则28－x＝13．
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．梯形
【答案】A
【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面EFGH交平面ABCD于GH，交平面A1B1C1D1于EF，则有GH∥EF．同理EH∥FG．所以四边形EFGH为平行四边形．
7．(2022年杭州期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则四面体O－AEF的体积( )
A．与x，y都有关 B．与x，y都无关
C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关
【答案】B
【解析】如图，因为VO－AEF＝VE－OAF，考察△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值．因为BB1∥平面ACC1A1，所以点E到平面AOF的距离为定值．又因为AO∥A1C1，所以点F到直线AO的距离为定值，OA也为定值，即△AOF的面积是定值，所以四面体O－AEF的体积与x，y都无关．故选B．
8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为( )
A．4 B．2
C． D．
【答案】D
【解析】如图，取A′D的中点N，连接PN，MN．∵M是A′C的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD．∵四边形ABCD是矩形，P是AB的中点，∴PB∥CD，且PB＝CD．∴MN∥PB，且MN＝PB．∴四边形PBMN为平行四边形．∴MB∥PN．∴∠A′PN(或其补角)是异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△A′PN中，tan∠A′PN＝＝，∴异面直线BM与PA′所成角的正切值为．故选D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是( )
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直
【答案】BD
【解析】A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；C错，比如a⊥α，b α，c α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故选BD．
10．已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是( )
A．l α，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥m
C．α⊥γ，β∥γ D．l α，m β，l⊥m
【答案】ABC
【解析】对于D，α与β有可能平行或相交，不能推出α⊥β．易判断A，B，C都能推出α⊥β．故选ABC．
11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P－BC－A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
【答案】ABC
【解析】如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM 平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P－BC－A的平面角，设AB＝1，则BM＝，PM＝，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P－BC－A的大小为45°，故C正确．对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误．故选ABC．
12．对于四面体A－BCD，以下命题中正确的是( )
A．若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等
B．若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心
C．四面体A－BCD的四个面中最多有四个直角三角形
D．若四面体A－BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为
【答案】ACD
【解析】如图1，设点A在平面BCD内的射影是E，因为sin∠ABE＝，sin∠ACE＝，sin∠ADE＝，AB＝AC＝AD，所以sin∠ABE＝sin∠ACE＝sin∠ADE，则AB，AC，AD与底面所成的角相等，故A正确；因为AE⊥平面BCD，所以AE⊥CD，又因为AB⊥CD，所以CD⊥平面ABE，所以CD⊥BE，同理可证BD⊥CE，所以E是△BCD的垂心，故B不正确；
图1 图2
如图2，设正方体的棱长为1，则易求得AC＝，AD＝，又因为CD＝1，所以AC2＋CD2＝AD2，即△ACD为直角三角形，易证△ABC，△ABD，△BCD都是直角三角形，所以直角三角形的个数是4，故C正确；图1中，设O为正四面体A－BCD的内切球的球心，正四面体的棱长为1，所以OE为内切球的半径，BF＝AF＝，BE＝，所以AE＝＝，由BO2－OE2＝BE2，得2－OE2＝2，所以OE＝，所以内切球的表面积为4π·OE2＝，故D正确．故选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积为________．
【答案】3π
【解析】由题意知所得截面为圆，设截面圆的半径为r，则22＝12＋r2，所以r2＝3，所以所得截面的面积为πr2＝3π．
14．已知一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的表面积为____________，体积为________．
【答案】12π π
【解析】设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr＝4π，解得r＝2，根据勾股定理，得圆锥的高为＝2，所以圆锥的表面积S＝×π×42＋π×22＝12π，体积V＝×π×22×2＝π．
15．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A－BD－P的大小为________．
【答案】30°
【解析】如图，作AO⊥BD交BD于点O．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，∴PO⊥BD，∴∠AOP即为所求二面角A－BD－P的大小．∵AO＝＝，∴tan∠AOP＝＝，故二面角A－BD－P的大小为30°．
16．(2023年昆明期末)已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面积为，一个侧面的周长为6，则正三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面积为________．
【答案】16π
【解析】如图，设底面边长为a，则底面面积为a2＝，所以a＝．又一个侧面的周长为6，所以AA1＝2．设E，D分别为上、下底面的中心，连接DE，设DE的中点为O，则点O即为正三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的球心，连接OA1，A1E，则OE＝，A1E＝××＝1．在Rt△OEA1中，OA1＝＝2，即外接球的半径R＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝16π．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？请说明理由．
(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綉AD．
又因为BC綉AD，所以GH綉BC．所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)解：C，D，F，E四点共面．理由如下．
由BE綉FA，G是FA的中点，知BE綉GF．所以EF綉BG．
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH．故EC，FH共面．
又因为点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．
18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．
(1)求证：平面PBC⊥平面PCD；
(2)求证：EF∥平面PAD．
证明：(1)由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD．又∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PCD．
而BC 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．
(2)∵AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，∴AD∥平面PBC．
∵过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F，∴AD∥EF．
而AD 平面PAD，EF 平面PAD，∴EF∥平面PAD．
19．(12分)(2023年济南期末)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．
(1)求证：BC⊥平面ACFE；
(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．
(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，
所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°．
所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°．所以AC⊥BC．
又因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE．
(2)解：当EM＝a时，AM∥平面BDF，理由如下．
如图，在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连接FN．
由(1)知四边形ABCD为等腰梯形，且∠ABC＝60°，
所以AB＝2BC＝2DC，则CN∶NA＝1∶2．
易知EF＝AC＝a，因为EM＝a，所以MF＝EF＝a．
又因为易知AN＝a，所以MF綉AN．
所以四边形ANFM是平行四边形．所以AM∥NF．
又因为NF 平面BDF，AM 平面BDF，所以AM∥平面BDF．
20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
(1)解：因为AD∥BC，所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角．
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，AP＝＝，所以cos ∠DAP＝＝．
所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为．
(2)证明：因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
又因为AD∥BC，所以BC⊥平面PDC，所以PD⊥BC．
又因为PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC．
(3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1．
由已知得CF＝BC－BF＝2．
又AD⊥DC，故BC⊥DC．
在Rt△DCF中，DF＝＝2．
在Rt△DPF中，sin∠DFP＝＝．
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
21．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB．
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值．
(1)证明：由题意可知△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．
同理，∠C1EC＝45°．所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC．
又因为BC⊥平面D1DCC1，DE 平面D1DCC1，所以BC⊥DE．
又因为EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC．
因为DE 平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC．
(2)解：如图所示，过E作EO⊥DC于点O，过O作OF⊥DB于点F，连接EF．
因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，
所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OF，EO⊥BD．
由BD⊥OF，BD⊥OE，得BD⊥平面EFO．
所以BD⊥EF．
所以∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．
在Rt△EFO中，易求得OF＝，又OE＝1，
所以tan∠EFO＝＝．
所以二面角E－DB－C的正切值为．
22．(12分)如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABEF沿EF折起，使BE⊥EC．
(1)若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离．
解：(1)线段AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时＝．理由如下：
当＝时，＝．
如图，过点P作PM∥FD交AF于点M，连接EM，则有＝＝．
由题意得FD＝5，故MP＝3．
由题意得EC＝3，又MP∥FD∥EC，∴MP綉EC．
∴四边形MPCE为平行四边形，∴CP∥ME．
又∵CP 平面ABEF，ME 平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF成立．
(2)设BE＝x(0＜x≤4)，∴AF＝x，FD＝6－x．
由题意得EB⊥EF．
又∵BE⊥EC，BE∩EF＝E，∴EB⊥平面ECDF．
∵AF∥BE，∴AF⊥平面ECDF．
故VA－CDF＝××2×(6－x)×x＝(－x2＋6x)．
∴当x＝3时，VA－CDF有最大值3，
此时EC＝1，AF＝3，FD＝3，DC＝2，AD＝3，AC＝，
在△ACD中，由余弦定理得
cos ∠ADC＝＝＝．
∴sin∠ADC＝．
∴S△ADC＝·DC·DA·sin∠ADC＝3．
设点F到平面ACD的距离为h，
由VA－CDF＝VF－ACD，即3＝·h·S△ACD，解得h＝．
∴点F到平面ACD的距离为．
