2024 星光杯初赛暨 GMC 第三届冬季网络数学竞赛
（高中组）一试（A）
答题时间：12小时，满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每题 5分，共 40 分。
1.若复数 z a bi满足 z 1 z 1 4，则点 a,b 的轨迹所围成的封闭图形
面积为（ ）
A.2 B.3 C.2 3 D.3 3
x2 y2
2.设双曲线C： 2 2 1的左、右焦点分别为 F1、 F2，P在C上一点，a a 1
且PF1 PF2 0，若 PF1F2的面积为2a，则双曲线C的离心率为（ ）
A. 3 B.2 C. 2 D. 5
3.正整数4096576的不同正因数个数为（ ）
A.144 B.225 C.256 D.289
3
4.已知方程 x 2x 1 0的三个复数根分别为 x1、 x2、 x3，令M x1x2x3，
N x x x 1 2 3 x1x2 x2x3 x1x3，则M 与N 的大小关系是（ ）3
A.M N B.M N C.M N D.无法确定
0, f x f x 2 f 1 5.定义域为 的函数 满足 x 2 0,a
x
，在区间 上
总存在一个实数M ，使得
x 0, ， f x M
2 2 6
成立，若M ，则 a 的最小可能值为（ ）
3
A.1 B.2 C.3 D.4
— 1 —
{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#}
6.在 ABC中，内角 A、 B、C所对的边分别为a、b、 c，满足
a b c
cos A 2cosB 3cosC
则 tan A的值为（ ）
60
A. 1 B.1 C. 611 D.
n
7.设复数 z 1 i，若 z 2024，则正整数n的最大值为（ ）
A.20 B.21 C.22 D.23
8.若不等式
8 1
2a b a 2b a b
对于任意的正实数a、b恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. ,9 3 B. ,9 3 C. 0,9 3 D. 0,9 3
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。全部选对的得 6分，
部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.集合 A x 2m 1 x m x x 1， B y y 4 2 5 ，若 A B ，则
实数m的可能取值为（ ）
A. 1 B.0 C.2 D.3
10.一组样本数据 x1， x2， ， xn的均值为3，方差为 4，再插入另外一组样
本数据 xn 1， xn 2， ， x2n，且该样本数据的均值为6，方差为5，则下列说
法正确的是（ ）
A.总体样本数据的均值为4
B.总体样本数据的方差为5.75
C.总体样本数据的稳定程度比其他两组低
D.将总体样本数据扩大两倍，均值变大，方差不变
11.在 ABC中， B 90 ， AC 2AB 2，D是 AC的中点， P、Q分别
为 ABD、 BCD的内切圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
— 2 —
{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#}
1 2 3 3
A.PB PC PB PC4 B. ABD内切圆的半径为4 3
3
C. BCD内切圆的半径为2 3
2
D.PB PC QA QB的最小值与最大值之和为41 22 3
三、填空题：本题共 3小题，每题 5 分，共 15分。
2
12.抛物线 ： y 2px（ p 0）的弦 AB过其焦点F ，过F 作直线 AB的垂
线交 分别于C、D，若 AB 2 CD 6，A x1, y1 ，B x2 , y2 ，C x3, y3 ，
D x4 , y4 ，则 x1 x2 x3 x4的值为 _________
13.已知不等式
1 cos2 x
3
1 1
sin x 3 x x
3
对于任意的0 x 恒成立，则实数 的最大值为 _________
14.给定大于2的正整数n， i R（1 i n），则
S 2i j cos i j
1 i j n
的取值范围为 _________ .
— 3 —
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四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。
15.（13 分）
如图所示，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB 2， AA1 2 3， E、 F 分别
为 A1C、BB1的中点.
（1）求证：EF //平面 ABC
（2）求三棱锥B1 A1BC的表面积.
— 4 —
{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#}
16.（15 分）
1 1 an 1
已知数列 an 满足a1 ，a2 n 1 2 .
（1）令an cos n ， n 0, 2 ，求数列 n 的通项公式；
n
（2）设 Sn ai ，求证： Sn n 1
i 1
— 5 —
{#{QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=}#}
17.（15 分）
2
已知函数 f x a 2a x2 2x ex ax .
（1）当a 0时，讨论 f x 的单调性；
（2）若函数 f x 在 0, 上存在极小值，求实数a的取值范围.
— 6 —
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18.（17 分）
x2 y2 1
在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 ： 2 2 1（a b 0a b ）的离心率为 2 ，
左、右焦点为F1、 F2，过F1的直线交 于 A、B两点， ABF2的周长为8 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在定圆C与以 AB为直径的圆相切？若存在，请求出所有满足条件
的定圆C方程；若不存在，请说明理由.
— 7 —
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19.（17 分）
函数的凹凸性是描述一个函数图象弯曲方向的一个重要性质，定义：二阶导函数
非负的函数 f x 称作“下凸函数”，即 f x 0 .
（1）若 f x 为下凸函数，求证：对于任意实数a、b，总有 0,1 ，使得
f a 1 b f a 1 f b
（2）给定正整数n 2，函数 f x 满足以下性质：
① f x 为下凸函数；
② f 0 0；
③ f x 在 0, 上恒正.
求最小的实数C，使得对于任意实数 xi （1 i n），均有
f xi x j C f max xi x j
1 i j n 1 i j n
恒成立.
— 8 —
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