第04讲 基本不等式及其应用（练习）
第04讲 基本不等式及其应用
（模拟精练+真题演练）
（2023·四川成都·三模）
1．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·北京房山·统考二模）
2．下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·海南海口·校联考模拟预测）
3．若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12 B．25 C．27 D．36
（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）
4．已知实数满足，则的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．18
（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）
5．已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·浙江杭州·统考二模）
6．已知，，且，则ab的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
（2023·河南安阳·统考三模）
7．已知，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．若，则的最大值为2
D．若，则的最大值为
（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）
8．当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·模拟预测）
9．已知实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．
（2023·云南玉溪·统考一模）
10．已知，且则下列结论一定正确的有（ ）
A． B．
C．ab有最大值4 D．有最小值9
（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）
11．下列说法正确的是（ ）
A．若且，则，至少有一个大于2
B．，
C．若，，则
D．的最小值为2
（2023·云南曲靖·统考模拟预测）
12．若实数满足，则（ ）
A．且 B．的最大值为
C．的最小值为7 D．
（2023·上海浦东新·统考二模）
13．函数在区间上的最小值为 ．
（2023·上海长宁·统考二模）
14．某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要 米栅栏．
（2023·全国·模拟预测）
15．已知，，，写出满足“”恒成立的正实数的一个范围是 （用区间表示）．
（2023·浙江·二模）
16．若，则的取值范围是 .
（2022 上海）
17．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2021 乙卷）
18．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
（2020 全国）
19．若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2020 上海）
20．下列等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2020 山东）
21．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023 上海）
22．已知正实数a、b满足，则的最大值为 ．
（2021 天津）
23．若，则的最小值为 ．
（2021 上海）
24．已知函数的最小值为，则 .
（2020 天津）
25．已知，且，则的最小值为 ．
（2020 江苏）
26．已知，则的最小值是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，
化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
2．D
【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.
【详解】对A，二次函数的对称轴为，
不是偶函数，故A错误；
对B，函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；
对C，，
定义域为，所以函数是偶函数，
结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；
对D，，定义域为，
所以函数是偶函数，因为，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以函数有最小值，故D正确.
故选：D
3．C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
4．B
【分析】根据对数的运算法则，求得，且，利用，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，可得，所以，
即，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
5．C
【分析】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.
【详解】，即，即.
对于 A， 成立.
对于 B， ，成立.
对于 C， ，即.故C错误；
对于 D， 成立.
故选：C.
6．C
【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值.
【详解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，当且仅当即时取等号，
即：，当且仅当时取等号，
故的最小值为16.
故选：C.
7．D
【分析】直接使用基本不等式即可判断A，C，D；若，则，展开后使用基本不等式即可判断B.
【详解】∵，∴，∴，故A正确；
若，则，
当且仅当时等号成立，故B正确；
若，则，当且仅当时等号成立，故C正确；
若，则，即，当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：D.
8．A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.
【详解】当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
所以，即．
故选：A.
9．BC
【分析】利用特殊值法、基本不等式和对数函数的单调性即可判断正误.
【详解】A选项：，由于函数在R上单调递增，则，即，
已知，即，若取，，则，故A错误.
B选项：因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故B正确.
C选项：若，则，且，
，由于函数在上单调递增，
所以，即，故C正确.
D选项：令，，则，故D错误.
故选：BC.
10．AC
【分析】A、C选项，分别根据基本不等式计算即可得到；B选项找出反例即可；D选项由基本不等式“1”的代换计算，漏除了4.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，找反例，当时，，，，B不正确；
C选项，，，当且仅当时取“=”，C正确；
D选项，，D不正确.
故选：AC.
11．AC
【分析】根据逆否命题的真假性即可判断A，根据幂的运算性质即可判断B，根据不等式的性质即可判断C,根据对勾函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A,若，均不大于2，则 ，则 ，故，则，至少有一个大于2为真命题，故A正确，
对于B, B. ，，故 B错误，
对于C,由得，由得，所以，故C正确，
对于D，由于 ，函数 在单调递增，故，D错误，
故选:AC
12．ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故C错误；
因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
13．．
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】，
因为，所以，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
14．
【分析】设矩形植物种植园的宽、长为，由题意结合均值不等式求解即可.
【详解】设矩形植物种植园的宽、长为，
所以，
则，当且仅当“”时取等.
故至少需要米栅栏．
故答案为：．
15．（答案不唯一，是的非空子集即可）
【分析】根据基本不等式求解，即可求解.
【详解】由题意可知，当且仅当时取得等号，
所以恒成立，故正实数的一个范围可以为（答案不唯一，是的非空子集即可）．
故答案为：
16．
【分析】利用基本不等式结合求得，将整理变形为，令，结合二次函数知识即可求得答案.
【详解】由可得，
而，当且仅当时，等号成立，
即，解得，
由可知，
所以，
令，则，
函数在单调递增，在单调递减
故，
即的取值范围是，
故答案为：
17．A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】因为，则，故，A对B错；
，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.
故选：A.
18．C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
19．C
【分析】方法一：利用已知条件转化利用分类讨论和基本不等式求解即可；
方法二：利用已知条件转化为二次函数求解即可.
【详解】方法一：由，，
消去得到，
令，，
则，即，
，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为．
当时，
，不成立，
当时，，
故的最大值为.
综上所述：的最大值为．
方法二：由，，
可消去得到，
则，令，
，
当时，，
故的最大值为．
故选：C．
20．B
【分析】取特例可判断AC错误，根据可判断BD的正误.
【详解】显然当时，不等式不成立，故A错误；
，故B正确，D错误；
显然当时，不等式不成立，故C错误；
故选：B．
21．ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
22．
【分析】由，代入即可得出答案.
【详解】，
当且仅当“”，即时取等，
所以的最大值为.
故答案为：
23．
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
24．
【分析】配方得，结合基本不等式即可求解
【详解】，当且仅当时等号满足，
故答案为：9
25．4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
26．
【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
答案第1页，共2页
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