2023年秋学期宜兴市初中学业水平调研测试
九年级数学试题 2024.01
考试时间为120分钟，试卷满分150分．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合．
2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1. 一元二次方程的根为（ ）
A. B. C. ， D. ，
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若一组数据2，3，4，方差比另一组数据5，6，7，8的方差大，则的值可能是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
4. 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A. 20% B. 25% C. 30% D. 36%
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 9
6. 如图，中，弦相交于点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线经过点，则下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线的开口向上
B. 抛物线关于直线对称
C. 抛物线与坐标轴有两个交点
D. 当时，关于的一元二次方程有实根．
8. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 6
9. 如图，矩形中，，．点在边上，点在边上，点在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（ ）
A. B. 6 C. D.
10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图是其示意图．点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论：①②③当与相切时，④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
11. 一组数据7，－2，－1，6的极差为____．
12. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______．
13. 古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为__________斤．
14. 用半径为3的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于______．
15. 一个二次函数图像的顶点在x轴负半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是______．
16. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则的长为______．
17. 如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______．
18. 如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧作，且，点在射线上．设点的运动时间为（）．与的重叠部分的面积为（），则当______（）时最大；当______（）时的值为．
三、解答题（本大题共10小题，共计96分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
19. 解方程
（1）；
（2）．
20. 如图，在矩形中，点分别在边上，，垂足为点．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
21. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
七年级频数（人） 7 10 15 12 6
八年级频数（人） 2 10 13 4
（1）扇形统计图中圆心角______，并补全频数直方图．
（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
七年级 3 3
八年级
直接写出表格中______、______、______．
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并作出评价．
22. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
23. 正方形中，点在边上（不与点重合），射线与射线交于点，若．
（1）求正方形的边长．
（2）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
24. 如图，已知，，是边上一个定点，连接．
图1 图2
（1）尺规作图：若分别为边上动点，请你用圆规和无刻度的直尺在图1中作出取得最小值时所在位置；
（2）在（1）的条件下，若，，，则的最小值是______．
25. 如图，中，以为直径交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
26. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为50元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价（元） … 60 70 80 …
月销量（台） … 90 80 70 …
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
27. 如图，菱形中，，，点分别是边上的动点，点与点不重合，且，作，交边于点，连接，将四边形沿直线翻折得到四边形．
（1）当是中点时，求四边形面积；
（2）设，四边形面积为，求关于函数关系式．
28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点在第一象限时，连接交于点．当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
（3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标．2023年秋学期宜兴市初中学业水平调研测试
九年级数学试题 2024.01
考试时间为120分钟，试卷满分150分．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合．
2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1. 一元二次方程的根为（ ）
A. B. C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的概念，根据图形绕某点旋转后，仍与原图形重合，一一作出判断即可解题．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B、是中心对称图形，符合题意．
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3. 若一组数据2，3，4，的方差比另一组数据5，6，7，8的方差大，则的值可能是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义．观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解．
【详解】解：数据5，6，7，8，每2个数相差1；数据2，3，4， x前3个数据也相差1，若或，两组数据方差相等，
而数据2，3，4，的方差比另一组数5，6，7，8的方差大，说明2，3，4，的波动大，则x的值可能是7，
故D正确．
故选D．
4. 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A. 20% B. 25% C. 30% D. 36%
【答案】A
【解析】
【分析】可设降价的百分率为，第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为，
根据题意可列方程为：，
解得：，（舍），
∴每次降价得百分率为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键．
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6. 如图，中，弦相交于点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角的性质应用，三角外角的性质应用是解题的关键，根据外角，求出，由同弧所对圆周角相等，即可求出．
【详解】解：∵，，
，
，
故选：A．
7. 已知抛物线经过点，则下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线的开口向上
B. 抛物线关于直线对称
C. 抛物线与坐标轴有两个交点
D. 当时，关于的一元二次方程有实根．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系．将点代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的开口向上，故A选项正确，不符合题意；
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线关于直线对称，故B选项正确，不符合题意；
∴抛物线的顶点坐标为，即抛物线的最低点为，
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线与x轴有两个交点，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
∴抛物线与坐标轴有3个交点，故C选项错误，符合题意；
当时，抛物线与直线有交点，
∴关于的一元二次方程有实根，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，如图，延长，，二线交于点，可求得，在中，利用计算，在中，利用计算，根据求解即可；
【详解】如图，延长，，二线交于点，
，，
，，，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
故选：C．
9. 如图，矩形中，，．点在边上，点在边上，点在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先连接交于O，再由矩形和菱形的性质得出，由全等三角形得，再用勾股定理求出的长，再由得，即可求得答案．
【详解】解：连接交于O，如下图：
∵四边形是菱形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用判定和性质是解题的关键．
10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图是其示意图．点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论：①②③当与相切时，④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系．由题意得，，求出，得到，由切线的性质定理得到，由勾股定理求出，又，得到，由勾股定理求出，而，求出．
【详解】解：由题意，，
，
故①符合题意；
，，，
，
故②符合题意；
与相切时，
，
，
，
，
③符合题意；
当时，
，
，
，
故④不符合题意．
其中正确结论的个数是3个．
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
11. 一组数据7，－2，－1，6的极差为____．
【答案】9
【解析】
【分析】根据极差的定义：一组数据中，最大值与最小值的差即为极差，进行解答即可．
【详解】解：一组数据，，，的极差为
故答案为：9．
【点睛】本题考查了极差的定义．解题的关键在于熟练掌握极差的定义．
12. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______．
【答案】2025
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵方程的一个解是，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2025
13. 古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为__________斤．
【答案】
【解析】
【分析】设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原有生丝斤，依题意，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键．
14. 用半径为3的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．半径为的半圆的弧长是：，则圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是，依此列出方程即可．
【详解】解：设圆锥的底面半径是，则，
解得：，
圆锥底面半径为，
故答案为：．
15. 一个二次函数图像的顶点在x轴负半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系以及二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键；
根据二次函数的图象与系数的关系即可解答（答案不唯一）．
【详解】二次函数图像的顶点在x轴负半轴上，
顶点坐标为，
令顶点坐标
抛物线对称轴左侧的部分是上升的，
，
令
这个二次函数的解析式可以是（答案不唯一）．
16. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，弧长公式．连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，，，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴弧的长为，
故答案为：．
17. 如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到等式，计算即可．
【详解】解：过点作，交于，
则，，
，
，
．
故答案为：．
18. 如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧作，且，点在射线上．设点的运动时间为（）．与的重叠部分的面积为（），则当______（）时最大；当______（）时的值为．
【答案】 ①. ②. 、
【解析】
【分析】根据题意得出，然后根据题意画出图形，找到临界点，分情况讨论，得出，根据二次函数的性质，求得最值，进而根据面积为，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
作于点，
由题意得，，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，，
∴，，则，
当点Q运动到与点重合时，
∴，
当点P运动到与点重合时，
∴，，
∴当时，，
当时，如图所示，
∵，则，
则是等边三角形，
则，，
，，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴
，
综上所述，，
∴当时，取得最大值，
当时，
，解得：（负值舍去），
或，
解得：或（舍去），
故答案为：；或．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质与判定，二次函数的性质，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共计96分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
19. 解方程
（1）；
（2）．
【答案】19.
20. ，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：
∴
∴即
解得：
【小问2详解】
解：
∴，
∴，
解得：，．
20. 如图，在矩形中，点分别在边上，，垂足为点．
（1）求证：．
（2）若，，，求长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质质等知识，熟练掌握矩形的性质、三角形相似的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）由矩形的性质得，再证，即可得出结论；
（2）由可得，再由矩形的性质可得，，再代入求值即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴
∴
∴
21. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
七年级频数（人） 7 10 15 12 6
八年级频数（人） 2 10 13 4
（1）扇形统计图中圆心角______，并补全频数直方图．
（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
七年级 3 3
八年级
直接写出表格中______、______、______．
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并作出评价．
【答案】（1），补全频数直方图：10，21
（2），4，3
（3）八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好
【解析】
【分析】本题考查统计图表、统计的数字特征、熟练利用运算和逻辑推理是解题的关键，
（1）利用乘以七年级学生投稿2篇的学生所占百分比即可得的值，根据八年级学生的投稿篇数的频数分布表补全频数直方图即可；
（2）根据中位数和众数的定义，加权平均数公式即可得答案；
（3）从平均数、方差的意义进行分析即可得评价．
【小问1详解】
解：由题可知：七年级和八年级随机抽取学生数量相同且均为（人），
其中七年级学生投稿2篇的学生有10人，
∴七年级学生投稿2篇的学生所点百分比为，
∴．
由频数分布表可得：，
补全频数分布直方图如下：
【小问2详解】
解：将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个和第26个数的平均数即为其中位数，
∵，，
即第25个和第26个数分别是3和4，
∴中位数，
∵在八年级学生的投稿数中，投稿数4出现的次数最多，
∴众数，
∴七年级的平均数为．
【小问3详解】
解：由（2）统计表可知，八年级学生的平均数高于七年级学生的平均数，而且从方差来看，八年级学生的方差小于七年级学生的方差，
八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好．
22. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】（1）
（2）应往袋中加入黄球，见解析
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．
【小问1详解】
解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
【小问2详解】
他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有种等可能结果．
（）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
23. 正方形中，点在边上（不与点重合），射线与射线交于点，若．
（1）求正方形的边长．
（2）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）通过证明，由相似三角形的性质可得，即可求解；
（2）设，则，，然后根据勾股定理解题即可．
【小问1详解】
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴正方形的边长．
【小问2详解】
设，
则，．
在中，，即，
解得．
∴．
24. 如图，已知，，是边上一个定点，连接．
图1 图2
（1）尺规作图：若分别为边上的动点，请你用圆规和无刻度的直尺在图1中作出取得最小值时所在位置；
（2）在（1）的条件下，若，，，则的最小值是______．
【答案】24. 见解析
25.
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，过点作于点，交于点，连接，点、即为所求；
（2）过点作于点，在上取一点，使得，连接．证明，得，，设，求出，再证明，，进而可证，得，求出可得结论．
【小问1详解】
解：以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，过点作于点，交于点，连接，
由作图可知：，，则点与点关于对称，
∴，则，
当时，取得最小值；
如图，点、即为所求；
【小问2详解】
过点作于点，在上取一点，使得，连接．
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设，
则有，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
由对称可知：，则，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
∴的最小值．
故答案为：．
25. 如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由切线的性质得，结合可证，推出，由等腰三角形的性质得到，故，即可证明；
（2）连接，，证明得到，即可求出，证明得，可求出，然后根据求解即可．
【小问1详解】
如图所示，连接，
∵以为直径的交于点D，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
连接，，则，
∴
∴
∴
∴
∴即
∴
又∵是直径，
∴，
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
26. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为50元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价（元） … 60 70 80 …
月销量（台） … 90 80 70 …
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
【答案】（1）
（2）当定价定为90元时，所获利润最大，最大月利润为2400元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用：
（1）用待定系数法求解即可；
（2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，结合二次函数的性质即可得出答案．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系式，
当，；当，；
∴，解得：，
∴与之间的函数关系式；
【小问2详解】
解：设销售利润为元，则
，
整理得：，
∵销售单价不低于进价，且不高于进价的倍，
∴，
∵，，
∴当时，随的增大而增大
∴当时，有最大值，且最大值为2400；
答：当定价定为90元时，所获利润最大，最大月利润为2400元．
27. 如图，菱形中，，，点分别是边上的动点，点与点不重合，且，作，交边于点，连接，将四边形沿直线翻折得到四边形．
（1）当是的中点时，求四边形面积；
（2）设，四边形面积为，求关于的函数关系式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，设与交于点，根据菱形的性质以及已知条件得出，是正三角形，由翻折得，当为中点时，，，则，三点共线，进而根据勾股定理求得，根据梯形的面积公式，即可求解；
（2）同（1）分别勾股定理得，过作于，表示出，根据梯形的面积公式列出函数关系式，即可求解．
【小问1详解】
连接，设与交于点，
∵四边形是菱形，，，，
∴，，，
∴，是正三角形，
由翻折得，
∴为的中点，，
∴，，，
由翻折得，
∵，
∴，
∴，
当为中点时，，
∴，则，
∴三点共线，
∴，由翻折得，
∴；
【小问2详解】
由（1）得，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
过作于，在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，列函数关系式，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点在第一象限时，连接交于点．当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
（3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）最大值；
（3），
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作x轴的垂线交直线于点M，过点A作轴交直线于点N，则，可得，求出直线的解析式为，设，则，得到，当时，的值最大为，此时；
（3）由折叠可知，，再由，推导出，设，则，得到方程，求出m的值即可确定点M的坐标．
【小问1详解】
解：将代入，
∴，
解得，
∴函数的解析式为；
【小问2详解】
解：过点P作x轴的垂线交直线于点M，过点A作轴交直线于点N，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，的值最大为，此时；
【小问3详解】
解：由折叠可知，，
∵在y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得或，
∴或．
