云南省保山市隆阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为360°
B．菱形的对角线互相垂直
C．互为相反数的两个数之和为0
D．一个口袋里有除颜色外其余均相同的10个红球和1个白球，从中抽出一个白球
3．（3分）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．该函数的图象位于第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．该函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．点A（1，4）在该函数图象上
4．（3分）如图，点A，B，C三点在⊙O上，若∠CBD＝50°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100° B．120° C．90° D．50°
5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是：y轴
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是：﹣4
D．抛物线的开口向下
6．（3分）魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）
A．0.5 B．1 C．3 D．π
7．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＜1且k≠1
8．（3分）如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明△ABC与△ADE相似（ ）
A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D．
9．（3分）将抛物线C1：y＝（x﹣3）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+3 B．y＝（x+4）2+3
C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3
10．（3分）如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率分布折线图，符合图中这一结果的实验可能是（ ）
①投一枚质地均匀的骰子，投出数字“2”；
②在“石头，剪刀，布”的游戏中；
③抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；
④从分别写有A、B、C三个字母的卡片中随机抽取到写有A的卡片．
A．①② B．①②③ C．②④ D．②③④
11．（3分）在艺术课上，王老师带着学生们制作圆锥形的帽子．经测量要制作的帽子底面直径为24cm，将帽子展开得到的扇形的圆心角θ＝120°则制作这种帽子需要的材料面积为（ ）
A．480π cm2 B．360π cm2 C．432π cm2 D．500π cm2
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线（﹣2，0）．下列结论：①abc＜0；②a﹣b＝0；④b2﹣2ac＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．（2分）若方程2x2+4x﹣1＝0的两根为m、n，则mn+m+n＝ ．
14．（2分）某市楼盘计划以每平方米14400元的均价对外销售，由于近期国务院有关房地产的新政策出台后购房者持币观望．为了加快资金回笼，房地产开发商对价格经过连续两次下调，问：平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x，根据题意列方程为 ．
15．（2分）若函数的图象上有三个点（﹣5，y1），（﹣1，y2），（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．（用“＜”号连接）
16．（2分）从2023年1月8日起，我国正式对新冠病毒感染实施“乙类乙管”．旅游业开始复苏，丽江也恢复往日繁华的景象，如图甲，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知⊙O被水面截得的弦AB长为8米．若点C为运行轨道的最低点，且C到水面的距离为2米则筒车的直径等于 米．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣16＝0．
（2）（x﹣1）（x+3）＝12．
18．（6分）如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）求点B在旋转过程中的运动路径长度．
19．（7分）疫情期间，数学课不得不转移到线上进行，数学老师为了增加课堂氛围，有一个可以随机生成数字1、2、2、3的软件．
（1）若小红使用该软件生成一个随机数字，求这个数字是2的概率；
（2）若学生先用该软件生成一个随机数字，记下数字为x．老师再使用该软件生成一个随机数字，记下数字为y（x，y）．规定：若点M（x，y）在反比例函数，则学生胜；若点M在反比例函数，则老师胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？
20．（7分）如图8，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（m，5），B两点．
（1）求反比例函数的解析式和B的坐标；
（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
21．（7分）阅读材料、完成探究．
数学活动：测量树的高度．
在数学课上我们学过利用三角形的相似测高，在物理课我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量河流对岸一棵树的高度AB，测量的部分步骤和数据如下：
①如下图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，小华的眼睛G到地面的距离GH＝1.5米；
③已知AB⊥BH，ED⊥BH，GH⊥BH，C，D，F，H在同一直线上．
（1）∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴，……
可得＝ ；（写比值）
（2）利用以上信息，继续使用图形相似等有关知识计算树的高度AB．
22．（7分）昆明富民苹果不仅色泽艳丽、酸甜适度、果香浓郁，还具有耐贮运的特点．今年以来，全国农业科技现代化先行县的建设为富民苹果贴上了科技、绿色的标签，已知这种产品的成本价为20元每千克，试销售期间售价定为25元每千克，若该产品每天的售价增加0.5元，则日销量减少1千克．设这种产品的销售单价为x元，每天的销售利润为w元．
（1）求日销量y与x之间的函数关系式；
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点E，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BE＝2，AB＝6，求DC的长．
24．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m与直线l1：y＝kx+b（k≠0）．
（1）若抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m与直线l1：y＝kx+b（k≠0）有一个交点的坐标为P（1，1），求m的值；
（2）若抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m与直线l1：y＝kx+b（k≠0）有且仅有一个交点，设平行于直线l1且经过原点的直线l2与抛物线交于A，B两点，且|xB﹣xA|＝b+1，求：．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．
【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．
2．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为360°
B．菱形的对角线互相垂直
C．互为相反数的两个数之和为0
D．一个口袋里有除颜色外其余均相同的10个红球和1个白球，从中抽出一个白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、任意画一个三角形，是不可能事件；
B、菱形的对角线互相垂直，不符合题意；
C、互为相反数的两个数之和为0，不符合题意；
D、一个口袋里有除颜色外其余均相同的10个红球和1个白球，是随机事件；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．该函数的图象位于第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．该函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．点A（1，4）在该函数图象上
【分析】根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可．
【解答】解：A、函数，图象位于一三象限，不符合题意；
B、函数，图象位于一三象限，y随x的增大而减小，符合题意；
C、反比例函数，既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意；
D、当x＝1时，点（1图象上，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
4．（3分）如图，点A，B，C三点在⊙O上，若∠CBD＝50°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100° B．120° C．90° D．50°
【分析】设点P是优弧AC（不与A，C重合）上的一点，连接AP、CP，利用圆内接四边形的性质证明∠P＝∠CBD＝50°，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数．
【解答】解：设点P是优弧AC（不与A，C重合）上的一点、CP
∵∠P+∠ABC＝180°，∠CBD+∠ABC＝180°，
∴∠P＝∠CBD＝50°，
∴∠AOC＝2∠P＝2×50°＝100°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．
5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是：y轴
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是：﹣4
D．抛物线的开口向下
【分析】直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴进而得出答案．
【解答】解：由数据可得：当x＝﹣1和3时，对应y的值相等，
∴函数的对称轴为：直线x＝＝4，
∴顶点为（1，﹣4），
∵数据从x＝﹣7到1对应的y值不断减小，
∴抛物线开口向上，当x＜1时，函数有最小值﹣8，
故选项A，B，D都错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确理解对应数据的意义是解题关键．
6．（3分）魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）
A．0.5 B．1 C．3 D．π
【分析】连接OC、OD，根据正六边形的性质得到∠COD＝60°，得到△COD是等边三角形，得到OC＝CD，根据题意计算即可．
【解答】解：连接OC、OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝60°，又OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝CD，
正六边形的周长：圆的直径＝6CD：2CD＝3，
故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
7．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＜1且k≠1
【分析】由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝8有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即（﹣2）8﹣4k＞0，解得k＜8，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
8．（3分）如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明△ABC与△ADE相似（ ）
A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D．
【分析】由相似三角形的判定，即可得出答案．
【解答】解：A、由两角对应相等的两三角形相似，故A不符合题意；
B、由两角对应相等的两三角形相似，故B不符合题意；
C、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故C不符合题意；
D、两三角形两边对应成比例，不能判定△ABC与△ADE相似；
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．
9．（3分）将抛物线C1：y＝（x﹣3）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+3 B．y＝（x+4）2+3
C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线C1：y＝（x﹣3）3向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C3，则抛物线C2的函数表达式为：y＝（x﹣3﹣4）2+3，即y＝（x﹣4）2+3．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
10．（3分）如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率分布折线图，符合图中这一结果的实验可能是（ ）
①投一枚质地均匀的骰子，投出数字“2”；
②在“石头，剪刀，布”的游戏中；
③抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；
④从分别写有A、B、C三个字母的卡片中随机抽取到写有A的卡片．
A．①② B．①②③ C．②④ D．②③④
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P＝0.33，计算四个选项的频率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】解：根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，
①投一枚质地均匀的骰子，投出数字“2”的概率为，
②在“石头，剪刀，小明随机出的是剪刀的概率为，
③抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”的概率为，
④从分别写有A、B、C三个字母的卡片中随机抽取到写有A的卡片的概率为，
故符合图中这一结果的实验可能是②④．
故选：C．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
11．（3分）在艺术课上，王老师带着学生们制作圆锥形的帽子．经测量要制作的帽子底面直径为24cm，将帽子展开得到的扇形的圆心角θ＝120°则制作这种帽子需要的材料面积为（ ）（ ）
A．480π cm2 B．360π cm2 C．432π cm2 D．500π cm2
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：扇形弧长是：24π（cm），
设扇形的半径是r cm，
则＝24π，
解得：r＝36，
∴制作这种帽子需要的材料面积为＝432π（cm2）．
故选：C．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线（﹣2，0）．下列结论：①abc＜0；②a﹣b＝0；④b2﹣2ac＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称轴可知a＝b，图象过（1，0）代入二次函数中可得a+b+c＝0，再由图象与x轴有两个交点，从而可判断ax2+bx+c＝0有两个不相同的解．
【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，﹣，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由题意可知：﹣＝﹣，
∴a﹣b＝4，故②正确；
③∵对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为（﹣3．
∴与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
将（7，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴a+b+c＝7，故③正确；
④∵图象与x轴有两个交点，
∴ax2+bx+c＝0有两个不相同的解，
∴b5﹣2ac＞0故④正确；
∴正确结论的个数是6个．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数的性质．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．（2分）若方程2x2+4x﹣1＝0的两根为m、n，则mn+m+n＝ ﹣ ．
【分析】先利用根与系数的关系得m+n＝﹣＝﹣2，mn＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝﹣＝﹣6，
所以m+n+mn＝﹣7﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．（2分）某市楼盘计划以每平方米14400元的均价对外销售，由于近期国务院有关房地产的新政策出台后购房者持币观望．为了加快资金回笼，房地产开发商对价格经过连续两次下调，问：平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x，根据题意列方程为 14400（1﹣x）2＝10000 ．
【分析】利用经过两次降价后的均价＝原价×（1﹣平均每次下调的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：14400（1﹣x）2＝10000．
故答案为：14400（8﹣x）2＝10000．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2分）若函数的图象上有三个点（﹣5，y1），（﹣1，y2），（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 y3＜y1＜y2 ．（用“＜”号连接）
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的符号及其大小进行判断即可．
【解答】解：∵﹣（m2+1）＜7，
∴函数的图象在二，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣4＜﹣1＜0，
∴6＜y1＜y2，
∵4＞0，
∴y3＜2，
∴y3＜y1＜y3．
故答案为：y3＜y1＜y2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
16．（2分）从2023年1月8日起，我国正式对新冠病毒感染实施“乙类乙管”．旅游业开始复苏，丽江也恢复往日繁华的景象，如图甲，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知⊙O被水面截得的弦AB长为8米．若点C为运行轨道的最低点，且C到水面的距离为2米则筒车的直径等于 10 米．
【分析】根据垂径定理、勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图，连接OC，交AB于点D，
由题意可知，AB＝8m，
∴AD＝BD＝AB＝4m，
设OA＝x m，则OD＝（x﹣2）m，
在Rt△AOD中，
∵OD7+AD2＝OA2，即（x﹣3）2+42＝x2，
解得x＝5，
即圆的半径为6m，
所以圆的直径为10m，
故答案为：10．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣16＝0．
（2）（x﹣1）（x+3）＝12．
【分析】（1）利用直接开平方法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【解答】解：（1）2（x﹣1）8﹣16＝0，
2（x﹣3）2＝16，
（x﹣1）3＝8，
，
解得，；
（2）（x﹣1）（x+4）＝12，
x2+2x﹣2＝12，
x2+2x﹣15＝8，
（x+5）（x﹣3）＝4，
x+5＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是把一元二次方程转化成一元一次方程．
18．（6分）如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）求点B在旋转过程中的运动路径长度．
【分析】（1）根据题意画出旋转后的三角形即可．
（2）根据图形的运动方式，得出前B的运动轨迹即可解决问题．
【解答】解：（1）因为图形在旋转时，图形上的每一个点都进行了相同方式的旋转，
所以找出点A，B，C绕点O逆时针旋转后的对应点，
如图所示，△A1B1C3即为所求作的三角形．
点C1的坐标为（﹣3，6）．
（2）由勾股定理得，
OB＝．
又因为点B的运动轨迹是以原点O为圆心，且圆心角为90°的圆弧，
所以点B运动的路径长度为：＝＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
19．（7分）疫情期间，数学课不得不转移到线上进行，数学老师为了增加课堂氛围，有一个可以随机生成数字1、2、2、3的软件．
（1）若小红使用该软件生成一个随机数字，求这个数字是2的概率；
（2）若学生先用该软件生成一个随机数字，记下数字为x．老师再使用该软件生成一个随机数字，记下数字为y（x，y）．规定：若点M（x，y）在反比例函数，则学生胜；若点M在反比例函数，则老师胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，求出小明胜的概率和小红胜的概率，即可得出结论．
【解答】解：（1）小红使用该软件生成一个随机数字，则这个数字是2的概率为；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，点M（x，点M（x，
∴小明胜的概率为，小红胜的概率为，
∴小明胜的概率＝小红胜的概率，
∴这个游戏公平．
【点评】本题考查了公式法求概率，画树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
20．（7分）如图8，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（m，5），B两点．
（1）求反比例函数的解析式和B的坐标；
（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝x+2的图象经过点A（m，8），
∴m+2＝5，
解得：m＝8，
∴A（3，5），
把点A（6，5）代入反比例函数y2＝，得7＝，
解得：k＝15，
∴反比例函数的解析式为y＝，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点B的坐标为（﹣5，﹣4）；
（2）由图象可得：当y1＞y2时，x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，熟练运用数形结合是解题的关键．
21．（7分）阅读材料、完成探究．
数学活动：测量树的高度．
在数学课上我们学过利用三角形的相似测高，在物理课我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量河流对岸一棵树的高度AB，测量的部分步骤和数据如下：
①如下图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，小华的眼睛G到地面的距离GH＝1.5米；
③已知AB⊥BH，ED⊥BH，GH⊥BH，C，D，F，H在同一直线上．
（1）∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴，……
可得＝ ；（写比值）
（2）利用以上信息，继续使用图形相似等有关知识计算树的高度AB．
【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，据此代入ED，CB的值即可得到答案；
（2）设AB＝x米，BC＝y米，证明△ABF∽△GHF得到，即，再由（1）所求得到，解方程求出y的值，进而求出x的值即可得到答案．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）设AB＝x米，BC＝y米，
由（1）得，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABF∽△GHF．
∴，
∴．
∴，
解得y＝20，
∴
答：树的高度AB为15m．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题．
22．（7分）昆明富民苹果不仅色泽艳丽、酸甜适度、果香浓郁，还具有耐贮运的特点．今年以来，全国农业科技现代化先行县的建设为富民苹果贴上了科技、绿色的标签，已知这种产品的成本价为20元每千克，试销售期间售价定为25元每千克，若该产品每天的售价增加0.5元，则日销量减少1千克．设这种产品的销售单价为x元，每天的销售利润为w元．
（1）求日销量y与x之间的函数关系式；
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）由该产品每天的售价增加0.5元，则日销量减少1千克，得每天售价增加1元，则日销量减少2千克，再根据题意即可列出函数关系式；
（2）根据题意列出w关于x的函数关系式，通过物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，得到x的取值范围，根据二次函数的性质得到增减性后即可求出最值．
【解答】解：（1）由该产品每天的售价增加0.5元，则日销量减少2千克，
得每天售价增加1元，则日销量减少2千克，
由题意得，y＝30﹣3（x﹣25），
整理得y＝﹣2x+80，
∴日销量y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80；
（2）由题意得，w＝（x﹣20）（﹣7x+80），
整理得w＝﹣2x2+120x﹣1600，
由物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，
可得25≤x≤28，
由w＝﹣7x2+120x﹣1600，得对称轴为直线x＝30，
∵a＝﹣2＜7，
∴当x≤30时，w随着x的增大而增大，
∵25≤x≤28，
∴当x＝28时，w取得最大值，
答：当销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大．
【点评】本题考查了一次函数与实际问题，二次函数的最值问题，本题的关键是理解题意列出销售量和利润的函数解析式解题．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点E，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BE＝2，AB＝6，求DC的长．
【分析】（1）连接OC，证出∠OCE＝90°，由切线的判定可得出结论；
（2）根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA+∠CAB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠CBA＝∠OCB，
又∵∠CAB＝∠BCE，
∴∠OCB+∠BCE＝90°，
即∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为⊙O半径，
∴EC是⊙O切线；
（2）解：∵∠E＝∠E，∠BCE＝∠CAB，
∴△CBE∽△ACE，
∴，
∴，
∴CE＝8，
∵AD⊥ED，
∴∠D＝90°，
∵∠OCE＝90°，
∴∠OCE＝∠D，
∴△ECO∽△EDA，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴CD＝DE﹣EC＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质，掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m与直线l1：y＝kx+b（k≠0）．
（1）若抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m与直线l1：y＝kx+b（k≠0）有一个交点的坐标为P（1，1），求m的值；
（2）若抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m与直线l1：y＝kx+b（k≠0）有且仅有一个交点，设平行于直线l1且经过原点的直线l2与抛物线交于A，B两点，且|xB﹣xA|＝b+1，求：．
【分析】（1）把点P的坐标代入y＝x2﹣2mx﹣3m即可求得m的值，进一步求得抛物线的顶点；
（2）根据题意方程x2﹣2mx﹣3m＝kx+b有且只有一个解，利用根的判别式得到Δ＝（﹣2m﹣k）2﹣4（﹣3m﹣b）＝0，化简（2m+k）2+12m＝﹣4b，由平移性质可知直线l2为y＝kx，根据题意x2﹣2mx﹣3m＝kx有两个不同的解，利用根与系数的关系得到xA+xB＝2m+k，xAxB＝﹣3m，从而求得|xB﹣xA|＝＝＝，利用|xB﹣xA|＝b+1得到＝b+1，进一步得到b2+6b+1＝0，从而得到b2＝﹣6b﹣1，b3＝﹣6b2﹣b＝﹣6（﹣6b﹣1）﹣b＝35b+6，b4＝b b3＝35b2+6＝﹣204b﹣35，直接代入计算即可求解．
【解答】解：（1）把点P（1，1）代入得，
解得m＝5，
∴抛物线为y＝x2，
∴抛物线的顶点为（0，5）；
（2）抛物线y＝x2﹣2mx﹣6m与直线l1：y＝kx+b（k≠0）有且仅有一个交点，
∴x3﹣2mx﹣3m＝kx+b有且只有一个解，
∴Δ＝（﹣2m﹣k）2﹣4（﹣2m﹣b）＝0，化简（2m+k）8+12m＝﹣4b，
∵平行于直线l1且经过原点的直线l7与抛物线交于A，B两点，
∴直线l2为y＝kx，则x2﹣3mx﹣3m＝kx有两个不同的解，
∴xA+xB＝2m+k，xAxB＝﹣4m，
∴|xB﹣xA|＝＝＝，
∵|xB﹣xA|＝b+2，
∴＝b+1，
∴b4+6b+1＝5，
∴b2＝﹣6b﹣4，
∴b3＝﹣6b4﹣b＝﹣6（﹣6b﹣3）﹣b＝35b+6，
∴b4＝b b7＝35b2+6＝﹣204b﹣35，
∴
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一次函数的性质，两条直线平行或相交问题，函数与方程的关系，能够把函数问题转化为方程的问题是解题的关键．
