克州 2023-2024 学年度第一学期期末质量监测试卷
高二年级·数学 7．平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点，若 AB a,AD b,AA1 c,，则DM ：
时间：120 分钟 满分：100 分
1 1
A． a b c
2 2
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 3分，共 24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
1 1
目要求的. B． a b c
2 2
1．经过点P 2,1 和Q 3,4 的直线斜率为： 1 1
C． a b c
2 2
1 1
A． B． C．3 D．-3
3 3 1 1D． a b c
2 2
2．圆心是 3,0 ，且过点 2, 2 的圆的方程为： y2 x28．若双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的渐近线和圆 x
2 y2 4x 3 0相切，则该双曲线的离心率为：
a b
A． x 3 2 y2 5 B． x 3 2 y 2 5
A 2 3
4
． B． C． 2 D． 2
C． x 3 2 y2 5 D． x 3 2 y2 5 3 3
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 3分，共 12分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
3．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：
部选对的得 3分，部分选对的得 1分，有选错的得 0分.
一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每日剩下的部分都是前一日的一半.如果把“一尺之棰”看成
单位“1”，那么每日剩下的部分所构成的数列的通项公式为： 9．已知直线 l : 3x y 2 0，则下列选项中正确的有：
1 1 n 1 1 n 5 A a n B a C a D a 2n A．直线 l的斜率为 3 B．直线 l的倾斜角为． n ． n ． n ． n 62 2 2
C．直线 l不经过第四象限 D．直线 l的一个方向向量为v (- 3,3)
4．直线 l1的方向向量v1 1，0， 1 ，直线 l2的方向向量 v2 2，0，2 ，则不重合直线 l1与 l2的位置关系是：
2 2
A B C 10
x y
．关于椭圆 1 ，下列结论正确的是：
．相交 ．平行 ．垂直 D．不能确定 4 2
5.若点（2，k）到直线5x 12y 6 0的距离是 4，则 k的值是： A 4 B 1 C D 2．长轴长为 ．短轴长为 ．焦距为 2 2 ．离心率为
2
3 5 17A．1 B． C．1或 D． 3或
3 3 11. 已知空间向量a 2, 1,1 ,b 3, 4,5 ，则下列结论正确的是：
6．抛物线 2 = 4 的焦点到准线的距离为： A． 2a b //a B．5 a 3 b
1 1
A． B． C．2 D．8 2
8 2 C．a在b 上的投影数量为 D．a 5a 4b 2
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12. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我
19.（8分）已知圆C : x a 2 y 2 2 4 a R 及直线 l : x y 3 0．
羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的
禾苗；禾苗主人要求赔偿 5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾 (1) 当 a 1时，判断直线 l与圆C的位置关系；
苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还 a升、b升、c
(2) 当直线 被圆 截得的弦长为 时，求 的值．
升粟，1斗为 10升，则下列判断正确的是： l C 2 2 a
100
A．a，b，c依次成公比为 2的等比数列 B． a
7
1 50 20.（8分）已知等比数列 an 满足a1 1，a4 8， Sn为数列 an 的前n项和.
C．a，b，c依次成公比为 的等比数列 D． c
2 7
(1) 求数列 an 的通项公式；
三、填空题：本题共 4小题，每小题 3分，共 12分.
13．设数列 an 为等差数列，若 a2 a5 a8 15 S 63，则 a5 × × × . (2) 若 n ，求n的值.
2 2
14 x y．若椭圆C：
a2
2 1 a b 0 的长轴长为 4，焦距为 2，则椭圆C的标准b
21. （10分）已知四边形 ABCD是边长为 2的正方形， PAB是正三角形，平面PAB 平面 ABCD，O为 AB中
方程为 × × × .
点．
15. 如右图，M ,N分别是正方体 ABCD A'B'C 'D'的棱BB'和 B'C '的中点，
(1) 证明：PO 平面 ABCD；
则MN和CD'所成角的大小为 × × × .
(2) 求PC与平面 POD所成角的正弦值．
16．已知抛物线C：y2 4x的焦点为 F，在C上有一点 P，PF 8，则线段PF
的中点M 到 y轴的距离为 × × × .
2 2
22. 10 x y（ 分）已知双曲线C : 1 a 0,b 0 的实轴长为 2，右焦点为 5,0 .
四、解答题：本题共 6小题，共 52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. a2 b2
17.（8分）已知 S n是等差数列{an}的前n项和： (1) 求双曲线C的方程；
(1) 若 a4 a8 20,a7 12 {a } (2) 已知直线
y x 2与双曲线C，求数列 的通项公式 交于不同的两点 A、； B，求 AB .n
(2) 若 a1 7，a50 101，求 S 50 .
18. （8分） (1) 求经过点 A(8, 2)，倾斜角为60 的直线的一般式方程.
(2) ABC的三个顶点是 A(4,0),B(6,7),C(0,3)，求边 BC上的中线所在的直线方程.
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{#{QQABLQKUgggAAhBAAAhCQwXYCEAQkBGCAKoOhBAIIAAAyANABAA=}#}克州2023-2024学年度第一学期期末质量监测
详细答案（高二数学）
一、单项选择题：
1.【详解】过点和的直线斜率为
故选：C
2.【详解】由题可得，
又圆心为，所以圆的方程为.
故选：A
3.【详解】记第日剩下部分长为，显然有，，即数列是等比数列，且公比为，所以．
故选：C．
4.【详解】因为，所以，
所以直线与平行.
故选：B
5.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.
故答案为D
6.由标准方程可得
根据抛物线性质可知，焦点到准线的距离为
本题正确选项：
7.【详解】因为在平行六面体中，为与的交点，
所以为的中点；
，
由平行六面体的性质可知,
所以.
故选：A.
8.【详解】易知双曲线的一条渐近线为，
圆的圆心为，半径，
由题意得：圆心到渐近线的距离，
又因为，代入可得：，
所以，
故选：D.
二、多项选择题：
9.【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A正确B错误；
因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C错误；取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确.
故选：AD
10.【详解】因为椭圆，所以，，.
长轴长为4 ，故 A正确；短轴长为，故B 错误；焦距为，故C正确；
，故 D正确.
故选：ACD.
11.【详解】由题得，而，故A不正确；
因为，所以，故B正确；
因为在上的投影数量为，故C正确；
因为，故D错；
故选：BC.
12.【详解】依题意，所以依次成公比为的等比数列，
，即.
所以CD选项正确.
故选：CD
三、填空题
13.【详解】∵数列为等差数列，∴a2 +a8＝2a5，
又a2+a5+a8＝15， ∴3a5＝15，解得a5＝5．
故答案为：5．
14.【详解】因为椭圆的长轴长为4，则，焦距为2，
由，得，
则椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
15.【详解】连接、，则可得.因为是等边三角形。所以
故答案为：
16.【详解】设抛物线的准线为，过点作于点，准线与轴的交点为，
由抛物线的定义可知，，
故的中点到的准线的距离为，
故的中点到轴的距离为4．
故答案为：4.
四、解答题
17.（1）；（2）.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则由已知可得
，解得.
所以，
因为，根据公式，可得
18.（1）；（2）.
【详解】（1）因为该直线的倾斜角为，所以斜率.由于经过点，代入点斜式方程得，即.
（2）设边的中点为，根据中点坐标公式得，从而可得中线所在直线方程为，即.
19.（1）相交；（2）或．
【详解】（1）当时，圆的圆心,半径r=2，
∴到直线的距离为
∴直线与圆相交；
（2）设到直线的距离为d，
则；
由垂径定理得：，即
解得：或.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，解得：，
.
（2），，解得：.
21.【详解】（1）是正三角形，为中点，
，
又平面平面，平面平面，
平面.
（2）方法一：取的中点，连接在正方形中，为中点，
∴，由（1）知，平面，所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系．
∵
∴，，，，
∴，，
设平面法向量为，则，取，得．
设与平面所成角，则．
所以与平面所成角的正弦值为．
22.【详解】（1）由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为.
（2）由，得，
则，
设，，则，，
所以.
