2023-2024学年浙江省宁波市奉化区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线过点，，则此直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.空间内有三点，，，则点到的中点的距离为( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，已知，，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知正四棱柱中，，，则到平面的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知离心率为的双曲线，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知是数列的前项和，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，其中，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 直线的方向向量，平面的法向量，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 若直线的方向向量，平面的法向量，若，则实数
D. 若，，，则点在平面内
10.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的最小值为
C. 以线段为直径的圆与直线相切
D. 若，则直线的斜率为
11.已知无穷数列的前项分别为，，，，则下列叙述正确的是( )
A. 若是等比数列，则
B. 若满足，则
C. 若满足，则
D. 若满足，则
12.已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是( )
A. B. 在处取得极大值
C. 当时， D. 的图象关于点中心对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则 ______．
14.点到直线距离的最大值______．
15.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为______．
16.已知函数及其导函数的定义域均为，为奇函数，且则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆的圆心为，且与直线：相切．
求圆的标准方程；
设直线：与圆交于，两点，求．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点在棱上．
证明：平面平面；
当时，求二面角的余弦值．
20.本小题分
牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度第一年投入万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加．
设年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式；
至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？
21.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
求证：当时，．
22.本小题分
已知椭圆离心率等于，长轴长为．
求椭圆的标准方程；
若直线与轨迹交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探究的面积是否为定值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点，，
直线的斜率
因此，直线的倾斜角满足，
，
故选：．
利用斜率公式，可求倾斜角为．
本题给出两点的坐标，求经过两点直线的倾斜角．着重考查了直线的斜率与倾斜角的概念，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
则的中点，
，
则．
故选：．
结合中点坐标公式，求出点，再结合空间两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查空间两点间的距离公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在等差数列中，已知，，
得，，
．
故选：．
先根据，求得和，进而根据等差中项的性质知求得答案．
本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由勾股定理知，，
所以，
设到平面的距离为，
因为，
所以，
所以，
所以，即到平面的距离为．
故选：．
采用等体积法求解即可．
本题考查空间中点到面距离的求法，熟练掌握等体积法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得图象如图，
是双曲线的一条渐近线，即，，
，，，是梯形，
是的中点，，
，
所以，双曲线的离心率为，可得，
可得：，解得，
则双曲线的方程为：．
故选：．
画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意，当时，，
，，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
化简整理，可得，
，
数列从第二项起是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
，
．
故选：．
先将代入题干表达式计算出，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可发现数列从第二项起是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式，再逐项代入并运用分组求和法，等差数列的求和公式计算出的结果，以及的结果，即可计算出最终结果，得到正确选项．
本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和法求前项和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：，，，其中，
，，，
，，，
，
又是增函数，
．
故选：．
推导出，，，由，得，再由是增函数，能求出结果．
本题考查三个数的大小的判断，考查对数的函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，，
所以，即，
在三角形中，
，
解得，则，
又由三角形的内切圆半径为，
由等面积法可得，则，
由已知可得，
所以，整理可得，解得或舍去，
所以椭圆的离心率，
故选：．
先由已知求出，然后在三角形中利用余弦定理可得，再由等面积法求出内切圆半径的值，利用正弦定理建立等式关系，化简即可求解．
本题考查了椭圆的几何性质以及定义，涉及到正弦定理和余弦定理，考查了运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题以命题的真假判断为载体，考查了空间向量共线定理、空间向量共面定理以及空间向量与空间中线线、线面、面面位置关系的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
利用向量共线定理判断；利用向量垂直的坐标表示判断；利用空间向量共面定理判断．
【解答】
解：对于，因为，所以，故A错误；
对于，因为，所以，则，故B正确；
对于，因为，则，解得，故C错误；
对于，因为，所以共面，则点，，，四点共面，所以点在平面内，故D正确．
故本题选BD．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知抛物线：的焦点为，准线，
设，，
对于，显然，在抛物线上，由，故正确；
对于，，当且仅当时取等号，
当时，，
此时有，
因此当时，取最小值，故错误；
对于，，设线段的中点纵坐标为，
则，显然点是以线段为直径的圆的圆心，
点到直线的距离为，
所以圆与直线相切，C正确；
对于，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，
由，消去得：，
有，，
由若，可得，于是得，解得，故D不正确．
故选：．
由题意可知抛物线：的焦点为，准线，设，，
对于，由抛物线的定义即可判断；
对于，由题意可得，当时，，代入计算即可判断；
对于，设线段的中点纵坐标为，只需判断点到直线的距离是否为即可判断；
对于，利用韦达定理及，求解即可．
本题考查了抛物线的定义、几何性质及直线与圆的位置关系，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：无穷数列的前项分别为，，，，
若是等比数列，则首项为，公比为，则，对；
若满足，即数列的周期为，又，则，错，对；
若满足，则，
可得，
，
，
，
则，
故；对．
故选：．
根据数列的递推关系式，依次判断各个选项即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题，也是易错题．
12.【答案】
【解析】【分析】
对求导，由，可求得的值，从而判断选项A；利用导数求得函数的单调性，从而求得极值点，即可判断选项B；由函数的单调可求得在区间上的取值范围，即可判断选项C；函数为奇函数，可求得的对称中心，即可判断选项D．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
【解答】
解：，则，
因为函数的图象在处切线的斜率为，
所以，即，解得，故A正确；
则，则，
令，可得或，令，可得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，故B正确；
当时，由的单调性可知，的最大值为，
又，，
所以当时，，故C错误；
因为函数为奇函数，关于原点对称，
所以函数的图象关于点中心对称，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：因为点为抛物线上一点，
所以，解得：，
所以焦点，
所以．
故答案为：．
先求出抛物线标准方程，求出焦点坐标，即可求出．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为直线过定点，
所以：点到直线距离的最大值即为点和点之间的距离，
即为：，
故答案为：．
求出直线所过定点坐标，进而求解结论．
本题主要考查直线过定点以及两点间的距离公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，即的长为．
故答案为：．
易知，将其两边平方，根据空间向量数量积的运算法则，求解即可．
本题考查空间中点与点的距离，熟练掌握空间向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：函数及其导函数的定义域均为，，令，则，
则，
，，即在上单调递减，
不等式，即，
，解得，
不等式的解集为，
故答案为：．
根据题意构造函数，则，利用导数可得在上单调递减，题意转化为，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为圆心为，
所以圆心到切线的距离，
所以半径，
所以圆方程为：；
由题知，圆心到直线的距离，
又由知，圆的半径，
所以．
【解析】由直线与圆相切求出半径，从而求出圆的标准方程；
由圆的弦长公式计算即可求得．
本题考查直线与圆的位置关系和圆的弦长的求法，属于基础题．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，
，，
，解得，
数列的通项公式为；
由得，
，
，
由得
，
．
【解析】设等差数列的公差为，结合题意可得，求解即可得出答案；
由得，利用错位相减法，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：底面，平面，
，
，，，
，，
，即是直角三角形，且，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面；
由得，，，，则平面，
建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：
，则，，，，
设点，
，即，
，，，即，
，，
设平面的一个法向量为，
，取，则，，
平面的一个法向量为，
又平面，则平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
故二面角的余弦值．
【解析】根据线面垂直性质可得，结合题意可得是直角三角形，且，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可证明结论；
由得，，，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；
设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，
令，，则上式化为，
即，
解得，即，所以，，
即，所以，
所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入．
【解析】利用等比数列求和公式可求出年内的旅游业总收入与年内的总投入；
设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果．
本题考考查了等比数列的定义和通项公式的求法，一元二次不等式的解法和数列的在实际问题中的应用，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
21.【答案】解：因为，所以，，
当时，，在单调递减；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：当时，，
要证明，只要证，即证，
设，则，
令，得，列表得：
单调递减 极小值 单调递增
所以，即，所以．
【解析】先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间；
将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：由题意得，
解得，
所以椭圆的方程为．
设，，
联立直线和椭圆方程可得，
消去可得，
所以，
即，
则，
，
，
把韦达定理代入可得：，
整理得，
又，
而点到直线的距离，
所以，
把代入，则，可得是定值．
【解析】由题意得，解得，，，即可得出答案．
设，，联立直线与椭圆的方程，则，即，结合韦达定理可得，，由，可得，计算弦长，点到直线的距离，计算，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
第1页，共1页
