2023-2024学年湖南省衡阳市城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使二次根式有意义，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
3.关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将沿轴翻折，得到，那么点的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知，是方程的两根，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，若，则下列各式错误的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8.小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( )
A. 小亮明天的进球率为 B. 小亮明天每射球次必进球次
C. 小亮明天有可能进球 D. 小亮明天肯定进球
9.如图，一艘潜水艇在海面下米的点处发现其正前方的海底处有黑匣子，同时测得黑匣子的俯角为，潜水艇继续在同一深度直线航行米到点处，测得黑匣子的俯角为，则黑匣子所在的处距离海面的深度是( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
10.如图，能使∽成立的条件是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若：：，四边形的面积为，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
12.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式的值的范围．
解：
．
无论取何实数，总有，．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：已知可取任何实数，则二次三项式的最值情况是( )
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若最简二次根式是同类二次根式，则的值为______．
14.一元二次方程的解为______．
15.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
16.如图，在四边形中，，，分别是，的中点，已知，，则______．
17.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是______米．
18.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的，其中，与间另有步道相连，地在正中位置，地与地相距若，，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
解方程：．
21.本小题分
如图，在中，为边上一点，．
求证：；
若，，求的长．
22.本小题分
我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为、、、四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
成绩为“等级”的学生人数有______名；
在扇形统计图中，表示“等级”的扇形的圆心角度数为______，图中的值为______；
学校决定从本次比赛获得“等级”的学生中选出名去参加市中学生知识竞赛．已知“等级”中有名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
23.本小题分
某淘宝网店销售台灯，每个台灯售价为元，每星期可卖出个，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价元，每星期可多卖个．已知该款台灯每个成本为元．
若每个台灯降元，则每星期能卖出______个台灯，每个台灯的利润是______元．
在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得元的利润，应将每件的售价定为多少元？
24.本小题分
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算时，可构造如图所示的图形在中，，，设，延长至点，使得，连结，易知，，所以
任务：
请根据上面的步骤，完成的计算；
请类比这种方法，计算图中的值．
25.本小题分
问题背景：如图，已知∽，求证：∽；
尝试应用：如图，在和中，，，与相交于点点在边上，，求的值．
26.本小题分
如图，在矩形中，，，是射线上的一个动点，过点作，交射线于点，射线交射线于点，设．
当点在线段上时点与点，都不重合，试用含的代数式表示；
当时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
当时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2.【答案】
【解析】解：由图知：，
，，
原式．
故选：．
根据数轴上点的位置，判断出和的符号，再根据非负数的性质进行化简．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
由题意得：，，
解得：，
故选：．
把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为以及一次项的概念是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：将沿轴翻折，得到，
点与点关于轴对称，
，
故选：．
由折叠的性质可求解．
本题考查了翻折变换，轴对称中的坐标变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：根据题意得，，
所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
，，，
故选：．
利用平行线分线段成比例定理和比例的性质对各选项进行判断．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
7.【答案】
【解析】解：在中，，为的中点，
．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：根据以往比赛数据统计，小亮进球率为，他明天将参加一场比赛小亮明天有可能进球．
故选：．
直接利用概率的意义分析得出答案．
此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：由点向作垂线，交的延长线于点，并交海面于点．
已知米，，，
，
．
米．
在中，，
米．
米，
故选：．
易证，得然后在直角中，利用锐角三角函数定义求出，即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键作出辅助线构造直角三角形，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，，
若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断∽，故C选项符合题意；
A、、选项均不能判定∽，故不符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定求解即可．
本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
四边形和是以点为位似中心的位似图形，：：，
：：，
四边形的面积为，
四边形的面积，
故选：．
根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形的面积．
本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比的平方．
12.【答案】
【解析】解：
，
无论取何实数，总有，
，
，
即无论取何实数，二次三项式有最大值，
故选：．
通过配方可得，即可知其最值情况
此题考查了配方法的应用，解题时要根据配方法的步骤进行解答，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
13.【答案】
【解析】解：由题意，得
解得．
故答案是：．
根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．
此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同．
14.【答案】，
【解析】解：
，
，
，
或，
解得，，
故答案为：，．
先移项，然后提公因式即可解答此方程．
本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
15.【答案】且
【解析】解：由关于的方程有两个不相等的实数根
得，
解得
则且
故答案为且
由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程的根的判别式是即可进行解答．
本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
16.【答案】
【解析】解：连接并延长交于，
，
，
在和中，
，
≌
，，
，
，，
，
故答案为：．
连接并延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，，
，
在和中，
∽，
，
，，，
，
即，
故答案为．
先证明∽，可得，再代入相应数据可得答案．
本题主要考查相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．
18.【答案】
【解析】
解：过点作，
设，则，，
在中，，
地在正中位置，
，
，
，
，
解得，
则，，，
小张某天沿路线跑一圈，他跑了．
故答案为：．
过点作，设，则，，在中，根据勾股定理得到，进一步求得，再根据三角函数可求，可得，，，从而求解．
此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】直接利用二次根式的加减运算法则化简，进而计算得出答案；
直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【解析】方程移项后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21.【答案】解：，，
；
，
，
，，
．
【解析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
根据相似三角形的判定即可求出答案．
根据相似三角形的性质即可求出的长度．
22.【答案】；
； ；
“等级”男女，从中选取人，所有可能出现的结果如下：
共有种可能出现的结果，其中女生被选中的有种，
．
【解析】解：名，名，
故答案为：；
，，即，
故答案为：，；
见答案．
等的有人，占调查人数的，可求出调查人数，进而求出等的人数；
等级占调查人数的，因此相应的圆心角为的即可，计算等级所占的百分比，即可求出的值；
用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是求概率的前提．
23.【答案】
【解析】解：由题意知，若每个台灯降元，则每星期能卖出个台灯，每个台灯的利润是元．
故答案是： ；
由题意，得，
解得，舍去
所以，定价为元．
根据售量件与售价元件之间的函数关系即可得到结论．
根据销售利润销售数量每个台灯的利润列出方程并解答．
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄懂题意，找到等量关系，列出方程．
24.【答案】解：由题知，
设，延长至点，使得，连结，
因为，，
所以．
在中，
，
则，
同理可得，，
所以．
在中，
，
即．
延长到点，使，
因为，，
所以．
令，则，，
所以，
则．
在中，
，
即．
【解析】根据题中所给思路，继续完成计算即可．
按照中的计算方式，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，熟知正切的定义及勾股定理的熟练运用是解题的关键．
25.【答案】问题背景
证明：∽，
，，
，，
∽；
尝试应用
解：如图，连接，
，，
∽，
由知∽，
，，
在中，，
，
．
，，
∽，
．
【解析】问题背景
由题意得出，，则，可证得结论；
尝试应用
连接，证明∽，由知∽，由相似三角形的性质得出，，可证明∽，得出，则可求出答案．
此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】解：如图，四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
自变量的取值范围为：；
如图，当时，，
，
四边形是矩形，
平行于．
∽，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是菱形；
如图，根据，可得：，
，，
，
又，
∽
于是： 或
解得：，或，．
或．
【解析】在上运动时，只需要用勾股定理表示就可以使问题到解决，而关键是解决，又在中由勾股定理求得，从而解决问题．
把的值代入第一问的解析式就可以求出的值，再利用三角形相似就可以求出的值，进而判断即可．
由条件可以证明∽，可以得到，再分情况讨论，从而求出的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形以及勾股定理的运用，利用数形结合得出是解题关键．
第1页，共1页
