河南省开封市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果反比例函数图象经过点，则这个反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是“小孔成像”实验示意图．已知蜡烛与有小孔的纸板之间水平距离为，当蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半时，蜡虫与光屏之间水平距离为（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的值永远为负值的条件是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果枚鸟卵全部成功孵化，那么只雏鸟中至少有只雌鸟的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若蓄电池的电压为定值，则电流（单位，）与电阻（，单位：）是反比例函数关系，当时，．下列结论正确的个数为（ ）
①蓄电池的电压为伏
②电流随电阻的增大而减小
③当时，
④该函数图象分别位于第一、第三象限
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，是的外接圆，，，则直径为（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线经过平移可得到抛物线，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移1的单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向上平移1的单位长度，再向右平移2个单位长度
C．先向右平移1的单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向上平移1的单位长度，再向左平移2个单位长度
10．如图，把正方形纸片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形纸片上，将正方形纸片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，点第一次旋转至图①的点位置，第二次旋转至图②的点位置……，则正方形纸片连续旋转2023次后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式 ．
12．某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为 ．
13．如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则被剪掉部分的面积为 （结果保留）．
14．若点，，都在抛物线的图像上，则，，的大小关系为 （用“”连接）．
15．在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，那么当与相似时，的面积是 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)
(2)
17．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，解答下列问题：
(1)画出向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度得到的，
(2)画出绕点顺时针旋转得到的（点，的对应点分别为点，），与成______（填“轴对称”或“中心对称”），若是轴对称，请在图中画出对称轴，若是中心对称，请在图中找出对称中心并标注字母．
18．冬季是各类呼吸道传染病的高发季，某市疾控中心对一周内上报的新冠、支原体、甲流、乙流病毒感染者人数做了统计，整理分析绘制出两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息解决下面的问题．
(1)由图可知一周内统计的感染者总人数为______人，图中的值为______；
(2)患甲流的人数为______人，请补全条形统计图；
(3)该疾控中心决定进行传染病防治宣传工作，现有工作人员2名男生和2名女生，要求从中随机选取2人，若每个工作人员被选取的可能性相等，求选取的2人中至少有1名男生的概率（画树状图或列表法）．
19．如图，在中，，延长到点，使，在以为圆心、为直径的半圆上取一点，使，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
20．如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表：
10 15 20 25 30
30 20 15 12 10
图① 图②
(1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；
(2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是多少？
21．某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份销售216条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该跳绳销售量的月增长率；
(2)若此种跳绳的进价为30元／条．经过市场调研，当售价为40元／条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该跳绳的实际售价．
22．“千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力，小明在爷爷指导下用细竹篾编了一个罩子保护饭菜（如图①）．它的横截面可以看成一个抛物线的形状．小明对菜罩进行了测量：其直径为80厘米，高度为40厘米，随后小明利用抛物线的知识以菜罩左边缘为原点建立平面直角坐标系（如图②）．
(1)请你帮小明求出抛物线的解析式；
(2)如果菜罩紧贴桌面，菜罩内盘子放成一排，爷爷的发明能放下三个直径为22厘米，高度为3厘米的盘子吗？请说明理由．
23．如图①，在正方形中，，在上取一点，使得，以为边作正方形，连接，．
问题发现：
（1）的值是______；直线，所夹锐角的度数是______．
拓展探究：
（2）如图②，正方形绕点顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图②证明；若不成立，请说明理由；
解决问题：
（3）在旋转过程中，当点到直线的距离为时，请直接写出的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】利用待定系数法即可求得．
【详解】解：设这个反比例函数的解析式为，
由题意，将点代入得：，
则这个反比例函数的解析式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
3．C
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于熟知关于一元二次方程若有解，则其解为．
【详解】解：由题意得：，，，
∴该方程为，
故选：．
4．A
【分析】本题考查相似三角形性质．根据题意列出比例式即可得到本题答案．
【详解】解：∵蜡烛与有小孔的纸板之间水平距离为，当蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半时，
∴，
设蜡虫与光屏之间水平距离为，
∴，解得：，
故选：A．
5．D
【分析】二次函数的值永远为负即函数图象的开口向下且函数与轴没有交点，根据此即可算出和的取值．
【详解】解：因为二次函数的值永远为负值，
所以函数图象的开口向下，所以．
此外，函数与轴没有交点，所以，
所以二次函数的值永远为负值的条件是，．
故选D.
【点睛】本题主要考查对于二次函数图象的理解，同时还要掌握函数图象与x轴没有交点的性质．
6．A
【分析】本题考查列树状图法求概率，根据题意，画出树状图，利用概率公式进行求解即可，熟练掌握树状图法求概率是解题的关键．
【详解】解：根据题意画图如下：
共种情况，只雏鸟中有不少于只雌鸟有种情况，
∴只雏鸟中至少有只雌鸟的概率为：，
故选：．
7．C
【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，设，根据“当时，”可求出，据此即可进行判断．
【详解】解：设，
∵当时，．
∴
∴
蓄电池的电压为伏，故①正确；
电流随电阻的增大而减小，故②正确；
当时，，故③正确；
∵，
∴该函数图象在第一象限，故④错误；
故选：C
8．C
【分析】本题考查了圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，据此可得，推出是等边三角形即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴直径
故选：C
9．A
【分析】本题考查了二次函数的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解
【详解】解：由平移后的抛物线解析式可知：
原抛物线先向左平移1的单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到，
故选：A
10．B
【分析】本题考查点的坐标变化规律．依次求出每次旋转后点P对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点作的垂线，垂足为N，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵点P的坐标为，点A的坐标为，
∴，
∴．
所以点的坐标为；
同理可得，
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
…，
由此可见，每旋转四次，点P对应点的位置即循环一次，
所以点的横坐标为：，纵坐标为：2．
因为，
所以点的横坐标坐标为：，纵坐标为：2；
所以点的坐标为．
故选：B．
11．（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可．
【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不唯一）．
【点睛】本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得知个班要与各班进行比赛，结合单循环赛即可列出方程．
【详解】解：由题意得：个班要与各班进行比赛，
∵进行单循环赛（每两班赛一场），
∴，
故答案为：
13．
【分析】本题考查了扇形面积的求解，涉及了垂径定理，勾股定理等知识点．确定扇形的圆心角和半径是解题关键．连接，作，可推出；进一步可得，求出的长度即可．
【详解】解：连接，作，如图所示：
由题意得：，，
∴，
∴
∴
∴
被剪掉部分的面积
故答案为：
14．
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的增减性，根据二次函数的对称性和二次函数的增减性进行判断即可．掌握二次函数的增减性、对称性是解题的关键．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴是直线，在对称轴左侧y随x的增大而增大，
点关于直线的对称点为
点都在二次函数的图象上，且，
∴．
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查相似三角形性质．根据题意分情况讨论并列式即可得到本题答案．
【详解】解：根据题意得：设、两点的运动时间是s，
∴，，
∴，
∵，
①当时，，
∵，，
∴，解得：，
∴，，
∴的面积是：；
②当时，，
∴，解得：，
∴，，
∴的面积是：；
故答案为∶ 或．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法．
（1）利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
整理得，
开方得，
解得，；
（2）解：，
因式分解得，
即或，
解得，．
17．(1)见解析
(2)中心对称，对称中心见解析
【分析】本题考查了作图平移变换，旋转变换，熟记平移变换，旋转变换的性质是解题的关键．
（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据中心对称图形的性质即可得出结论，连接与交于点，则点即为对称中心．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：与成中心对称，对称中心的位置如图所示．
故答案为：中心对称．
18．(1)
(2)，图见解析
(3)
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，概率的求解，旨在考查学生的数据处理能力．
（1）根据新冠的条形统计图和扇形统计图的数据即可求解；
（2）根据患甲流的人数所占比例即可求解；
（3）列出表格，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．
【详解】（1）解：由图可知一周内统计的感染者总人数为：（人）；
，
故答案为：
（2）解：患甲流的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
共有种等可能的结果，选取的2人中至少有1名男生的结果有种，
∴选取的2人中至少有1名男生的概率为：
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意连接，利用全等三角形判定及性质得，继而得到本题答案；
（2）先判定，利用相似三角形性质可得，再用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】（1）解：证明：连接，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，
是的直径，
，
，
又，
，
，即：，
解得：，
在中，．
【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形判定及性质，平行线性质，相似三角形判定及性质，勾股定理．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求解解析式是解题关键．
（1）描点，连线即可作图；
（2）由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数，设，把，代入即可求解；
（3）把代入即可求解．
【详解】（1）解：描点，连线如图所示：
（2）解：由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数，
设，
把，代入得，
，将其余各点代入验证均适合，
与的函数关系式为；
（3）解：把代入，
得，
当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是．
21．(1)跳绳销售量的月增长率为；
(2)该跳绳的实际售价为50元条．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设跳绳销售量的月增长率为，利用该跳绳6月份的销售量该跳绳4月份的销售量该跳绳销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条，利用总利润每条的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
【详解】（1）解：设跳绳销售量的月增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：跳绳销售量的月增长率为；
（2）解：设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该跳绳的实际售价为50元条．
22．(1)
(2)能放下，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的解析式．
（1）根据题意和题目中的数据，可以写出该抛物线的顶点坐标和过点，然后即可求得该抛物线的表达式；
（2）将代入（1）中的抛物线，求出的值，然后即可判断罩子内一排能否放下3个这样的盘子．
【详解】（1）解：由题意可得，
该抛物线的顶点坐标为，过点，
设该抛物线的表达式为，
则，
解得，
即抛物线的函数表达式为；
（2）解：罩子内一排能放下3个这样的盘子，
理由：当时，
，
解得，，
，
罩子内一排能放下3个这样的盘子．
23．（1），；（2）成立；（3）或
【分析】（1）通过证明，可得，，即可求解；
（2）通过证明，可得，，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图①，连接，连接交于O，延长交于H，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：，；
（2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于O，延长交于H，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
又∵，
∴；
（3）如图③，当点E直线的左侧时，过点E作于H，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图④，当点E直线的右侧时，过点E作于H，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
