安徽省宣城市宁国市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对于的图象下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．当时y随x增大而增大
C．对称轴为 D．当时y随x增大而增大
2．把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
3．二次函数的最小值是（ ）．
A．2 B．1 C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（ ）
A．4 B．8 C．-4 D．-8
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（ ）
A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4
7．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
9．如图，在中，，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，②分别以点B，E为圆心，以大于号的长为半径在右侧作弧，两弧交于点G，③射线交于点F．若，则的值为( )
A． B． C． D．
10．已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
11．反比例函数的图象的一个分支在第三象限，则m的取值范围是 ．
12．已知，则锐角的取值范围是 ．
13．如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图象DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为
14．在中，，，，点D是的中点，点F是射线上一点，将沿对叠得到．
（1）当时， ．
（2）当时，的面积为 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，的三个顶点坐标分别是，，．
(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为，并写出点的坐标．
(2)的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是多少？
17．已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求当时，y的值．
18．如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线点．
求证：．
19．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点．已知，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)请结合图象直接写出当，时自变量x的取值范围．
20．如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高为，宽为，点是的中点，连杆的长度分别为和，，且连杆与始终在同一平面内．
(1)求点到水平桌面的距离；
(2)产品说明书提示，若点与的水平距离超过的长度，则该支架会倾倒．现将调节为，此时支架会倾倒吗？（参考数据∶）
21．在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间（）．
(1)用含的代数式表示：线段_______；_______．
(2)当为何值时，四边形的面积为．
(3)当与相似时，求出的值．
22．如图，已知矩形与矩形，，连接，相交于点．
(1)求证：；
(2)猜想与之间的位置关系，并证明你的结论；
(3)请连接，，若，，求的值．
23．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：平分；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式解析式的性质是解题的关键．
根据二次函数的顶点式，确定抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴，逐一判断即可．
【详解】二次函数顶点式解析式为：，
抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
A、C选项不符合题意；
抛物线的对称轴为，
当时y随x增大而增大，故B选项符合题意；
当时y随x增大而减小，故D选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”即可作答．
【详解】把二次函数的图象向右平移个单位得，再向下平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是．
故选：C．
3．A
【分析】根据二次函数的顶点式的特征直接解答即可．此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数顶点式的特征是解题的关键．
【详解】解：由二次函数的解析式可知顶点是，
∵函数开口向上，
∴函数有最小值是2．
故选：A．
4．C
【分析】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C
【详解】∵函数与的图像交于点P(，)，
∴，，即，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．
5．D
【分析】过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，易证△AOC∽△OBD，则根据相似三角形的性质可得，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值．
【详解】解：过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，则∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∵OA⊥OB，tan∠BAO=2，
∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
∵，，
∴，∴，
∵k＜0，
∴k=﹣8．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．
【详解】∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DE：BC＝DF：FC＝1：3
同理△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．
7．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理，即可求解．
【详解】解：A、满足有两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
B、与不一定相等，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；
C、，且，能判定两个三角形相似，故本选项不符合题意；
D、满足有两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
故选：B
8．B
【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，
∴AC＝AB sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，
∴tan∠PEB＝≈0.4，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
9．D
【分析】根据题意可得，证明是菱形，再根据勾股定理可得，即可解得．
【详解】∵以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，
∴，
∵分别以点B，E为圆心，以大于号的长为半径在BE右侧作弧，两弧交于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴是菱形，
∴，即，
∵，
∴，
根据勾股定理可得，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了基本作图-作角平分线、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数，解题的关键是熟悉菱形的性质．
10．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系；把，分别代入求得，，然后根据图象即可求得答案．
【详解】解：如图所示：把代入得，，
把代入得，
抛物线的开口越小，的绝对值越大，
抛物与四边形的边没有交点，则的取值范围为：或
故选C．
11．/
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象的一个分支在第三象限，可得，解不等式即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象的一个分支在第三象限，
，
解得，
故答案为：．
12．
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：由，
∴，
∵当时，随着的增大而减小，
∴，
故答案为：
13．5米
【分析】作AH⊥DE交DE于点H，交BC于点F，不难证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的相似比等于高之比列方程，求出AH的长度即可.
【详解】作AH⊥DE交DE于点H，交BC于点F，
由题意得，AF=0.1，BC=0.038，DE=1.9，
∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴==，
∴=，
∴AH=5.
故答案为5米.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的相似比等于高之比列方程是解题的关键.
14． 6 60或15/15或60
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与折叠问题．
（1）只需要证明△ADF∽△ABC，即可推出；
（2）分图1和图2两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵中，，，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；
（2）如图1，当于点H时，
由（1）可知，，，则．
在中，，，
由勾股定理，得，则，解得，
∴；
如图2，当点F位于点C左侧，当于点H时，则，．
在中，由勾股定理，得，则，
解得，则，
∴．
综上所述，的面积为60或15．
故答案为：60或15．
15．
【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，要掌握并熟练运用．
利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
16．(1)图见解析，
(2)
【分析】本题考查了位似变换，能根据位似中心找到位似图形中对应点的位置是解题的关键．
（1）依据位似中心及位似比的大小即可作出；
（2）根据位似比和位似图形的位置即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）∵与的位似比为，在y轴左侧，
∴的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是
17．(1)
(2)
【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键；
（1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设，，
则
当时，；当时，．
解得：
（2）当时，．
18．证明见解析．
【分析】本题主要考查了菱形，全等三角形，相似三角形，利用菱形的边，对角线平分的性质可证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，根据，可得，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．(1)反比例函数为，一次函数为.
(2)
(3)或
【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、求与函数有关的图形面积、根据图象写出自变量的取值范围等知识点，解题的关键是“数形结合”思想在解题中的运用．
（1）将点A与点B的坐标直接代入反比例函数解析式，求得a值与m值，则点A、点B的坐标可知，再将这两点的坐标代入一次函数的解析式，求得待定系数k与b，于是可得到答案．
（2）利用一次函数的解析式求得点C的坐标，再利用三角形面积公式可得到结果．
（3）结合两函数的图像位置关系可写出自变量x的取值范围．
【详解】（1）解：∵在反比例函数上，
∴．
解得，（不合题意，应舍去）
，
将这两点的坐标代入两函数的解析式得：
解得：
反比例函数为，一次函数为．
（2）令，则，解得．
（3）结合图象可知，当时，或．
20．(1)点与水平桌面的距离为
(2)支架不会倾倒
【分析】（1）过点作于，过点作于，由题意得，，解求出，则；
（2）过点作，过点作于，与交于点．先解求出，再解在求出，即可得到，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：过点作于，过点作于．
由题意可得，，
在中，，
∴，即，
∴
∴，
∴此时点与水平桌面的距离为．
（2）解：过点作，过点作于，与交于点．
由题意可知，在中，，，，
∴，即
∴，
在中，，，
∴，即，
∴，
∴
∵，
∴支架不会倾倒．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．(1)，；
(2)；
(3)或．
【分析】（）根据题意即可求解；
（）根据题意，列出方程，解方程即可求解；
（）分和两种情况，根据相似三角形的性质列出方程求解即可；
本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，运用分类讨论解答是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
故答案为：，；
（2）解：由题意得，，
解得，
又∵，
∴，
∴为时，四边形面积为；
（3）解：当时，则，
∴，
解得；
当时，则，
∴，
解得；
∴当与相似时，或．
22．(1)见解析；
(2)，见解析；
(3)．
【分析】（）根据四边形与为矩形，可得到，又因为，即可证得；
（）根据可得到，又因为，得到，进而证得；
（）连接和，根据，由勾股定理得到，即可求得；
本题考查相似三角形的性质与判定及勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵在矩形与矩形中，，
∴，即，
又∵，
∴；
（2），理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）连接，，
∵于，
∴，
∵，且，，
∴，，
又∵，
∴，
，
．
23．(1)．
(2)见解析
(3)当为直角三角形时，M的坐标为或．
【分析】（1）本题用待定系数法求二次函数解析式，将，两点代入求解，即可解题．
（2）本题根据抛物线的表达式得到点C的坐标，利用勾股定理求得的长，结合，得到，推出，，以及，推出，最后利用等量代换即可解题．
（3）本题利用、求得对称轴，根据是以为直角边的直角三角形，分别过点B作交对称轴于和过点A作交对称轴于，先求出直线解析式，根据垂直得到直线解析式和直线解析式，将代入上述解析式，即可解题．
【详解】（1）解：将，两点代入中，
有，解得，
抛物线的表达式为：．
（2）解：令，则，
，
，，
，
又，，
，
，
，
平分．
（3）解：存在，理由如下：
，，
对称轴为直线，
过点B作交对称轴于，
设直线解析式为，则得，解得，
直线解析式为，
设直线为，
，
，
．
当时，，
；
过点A作交对称轴于，
设直线为，则得，
，
．
当时，，
；
当为直角三角形时，M的坐标为或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形性质、平行线的性质、勾股定理、角平分线的判定、二次函数与一次函数综合、一次函数互相垂直，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用分类讨论思想与数形结合思想是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
