合肥中锐学校高中部23-24学年度第一学期期末考试
高三数学试卷
满分：150分 时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3.圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知钝角三角形的内角，，的对边分别是，，，若，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.或
6.如图，已知圆锥的母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A.1 B.2 C. D.
7.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（多选）设复数满足（其中是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A.的虚部为 B.在复平面内对应的点位于第四象限
C. D.
10.设数列的前项和为，已知，，则（ ）
A. B. C.是等比数列 D.是等比数列
11.在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（ ）
A.线段与的长均为1
B.线段的长为1
C.若点，关于轴对称，则
D.当时，点，关于轴对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是________.
13.函数，的单调递增区间是________.
14.已知数列满足首项，，则数列的前项的和为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）
数列的各项均为正数，，当时，.
（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列前项和为，证明：.
16.（本小题15分）
记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求三角形面积的最大值.
17.（本小题15分）
如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.
18.（本小题17分）
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.设小球向左的次数为随机变量.
（1）求随机变量的概率分布列；
（2）分别求出小球落入袋和袋中的概率.
19.（本小题17分）
已知函数.
（1）当时，求的单调区间
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明.
合肥中锐学校高中部23-24学年度第一学期期末考试
高三数学答案和解析
一、单选题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B B B A C A D B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分（若正确选项有两个，选对一个得3分，若正确选项有三个，选对一个得2分，选对2个得4分），如果有选错的得0分
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15 （13分）.【答案】证明：由，得，
因为数列的各项均为正数，故，
，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
，
即
由得，
，
，
，
则，，
即．
【解析】本题考查等差数列的判定或证明， 裂项相消法求和，属于中档题．
将递推式变形为，消去即可证明，再根据
等差数列的通项公式求解即可
变形得，利用裂项相消法计算，再观察即可得结果．
16.（15分）【答案】解：因为，
由正弦定理，得．
所以，即．
以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，，
设，则由可得：点的轨迹方程为，
即，
当时，的最大值为．
【解析】本题考查了正弦定理，三角形面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用正弦定理可得：，可得答案；
由题意得到点的轨迹方程为，再由三角形的面积公式求解．
17.（15分）【答案】证明：平面平面，，
平面，
，
，
，
平面，
C.
建立如图所示的坐标系．
设，，
则，，，．，，．
设为面的一个法向量，，
则，取．
同理可得平面的一个法向量为．
．
【解析】由，利用面面垂直的性质定理可得平面，可得，进而得出，平面，即可证明．
建立如图所示的坐标系设，设为面的一个法向量，，
同理可得平面的一个法向量为利用，即可得出．
本题考查了空间位置关系与空间角、线面面面垂直的判定性质定理、法向量的应用、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.（17分）【答案】解：由题意可知，，其中将向左的概率看成成功概率，
则，
列表如下：
小球落入袋的概率，
小球落入袋中的概率，
所以小球落入袋和袋中的概率分别为和．
【解析】本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式，二项分布，是基础题．
易得，根据二项分布可得出答案；
小球落入袋则小球一直向左或一直向右，从而可求出小球落入袋的概率，再利用对立事件的概率公式可求得小球落入袋的概率．
19.（17分）【答案】解：当时，，
的定义域为
则当时，；
当时，．
故在单调递增，在单调递减．
的定义域为，．
若，则当时，，故在单调递增，
若，则当时，；
当时，．
故在单调递增，在单调递减．
由知，当时，在取得最大值，最大值为，
所以等价于，即，
设，则，
当时，，
当时，所以在单调递增，在单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
所以当时，，
从而当时，，
即．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
当时，求的单调区间，易解；
分、情况讨论与的大小关系可得结论；
利用导数证明不等式，要转化成函数求最值问题解决进行证明．
