河南省郑州市登封市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．电影城1号厅6排 B．北京市海淀区
C．北纬，东经 D．南偏西
2．下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．1，1，是一组勾股数 B．内错角相等
C．8的立方根是 D．若，则
4．下列说法正确的是（ ）
A．点在x轴上 B．点关于x轴对称的点是
C．点在第四象限 D．点到y轴的距离是3
5．一次函数的图象经过点，．若，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．近日，2024年郑州中考体育考试项目抽号结果出炉，“1分钟跳绳”作为统考项目被抽中．八年级的小亮决定提前训练该项目，小亮训练的前3次成绩如图所示，若第四次的成绩为m个，且这4个成绩的中位数和众数相同，则m的值为（ ）
A．172 B．173 C．174 D．175
8．已知直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形，点O为坐标原点，，，在边上取一点E，连接，将沿着所在直线翻折，使点C落在边上的点F处，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
二、填空题
11．1的平方根是 ．
12．写出一个以为解的二元一次方程组： ．
13．甲、乙两位同学在本学期的几次数学测试中，他们成绩的平均数相等，方差分别为，，则成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
14．如图，点D，E分别在的边上，且，点F在边的延长线上，若，，则 ．
15．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ．
三、解答题
16．计算∶
(1)；
(2)．
17．已知在平面直角坐标系中，，，三点．
(1)在如图所示的网格中画出；
(2)判断的形状；
(3)求的面积．
18．如图，已知，，试说明的理由．
19．“冬至”这天，某校七、八年级开展了一次“包饺子”的实践活动，学生处对学生的活动情况按10分制进行评分．为了解这次活动的效果，现从这两个年级中各抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：已知八年级这10名学生的活动成绩的中位数为8.5分．
八年级10名学生活动成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 m n 2
(1)样本中七年级活动成绩为10分的人数是______，七年级活动成绩的众数为______分；
(2)______，______；
(3)请根据样本数据对两个年级本次实践活动进行评价．
20．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸再”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风箏的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风箏线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
21．为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小明家准备购买A，B两种型号的节能灯，若购买2只A型3只B型节能灯需要 80元，购买1只A型4只B型节能灯需要65元．
(1)A，B两种型号节能灯的单价分别是多少？
(2)要求这两种节能灯都买，恰好用了200元，有哪几种购买方案？
22．为更好地开展第二课堂，丰富学校兴趣社团活动内容，某校增设了篆刻兴趣社团现计划购进一批篆刻石料，已知两个商家的标价相同，但甲商家提出：若购买一张会员卡则每块石料打七折；乙商家提出：每块石料按标价的九折出售．设购买篆刻石料的数量为x（块），甲商家所需费用；乙商家所需费用，．其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
(1)甲商家一张会员卡的价格为______元，篆刻石料的标价为______元，______．
(2)两个函数图象交于点A，则点A的坐标为______，该点所表示的实际意义是______；
(3)若学校准备买40块石料，则选择哪个商家比较合算？请说明理由．
(4)若本次购买石料的经费有800元，则选择哪个商家购买的石料数量会更多？
23．如图，已知，点C，D分别在射线，上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点P．
(1)如图①，当时，______；
(2)如图②，当点C，D在射线，上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的度数．
(3)如图③，在第（2）问的基础上，若，其他条件不变，请直接写出的度数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了平面内的点与有序实数对一一对应，根据平面内的点与有序实数对一一对应分别对每个选项判断．
【详解】A、电影城1号厅6排不能确定具体位置．故本选项不合题意；
B、北京市海淀区不能确定具体位置．故本选项不合题意；
C、北纬，东经能确定具体位置．故本选项符合题意；
D、南偏西不能确定具体位置．故本选项不合题意．
故选：C
2．D
【分析】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数．根据正数负数，即可进行解答．
【详解】解：A．是有理数，故A不符合题意；
B．是负数，故B不符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，故D符合题意．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了判断命题真假，涉及了勾股定理、立方根和绝对值的非负性等知识点，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵勾股数是指能够形成直角三角形的三边的正整数的组合，不属于正整数，
故A为假命题；
内错角不一定相等，故B为假命题；
8的立方根是，故C假命题；
∵，
∴
∴
故D为真命题；
故选：D
4．B
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特点，关于坐标轴对称的点的坐标变化．分别根据坐标系中点的坐标特点判断选项A、C、D，根据关于坐标轴对称的点的坐标变化判断选项B．
【详解】A选项：点在y轴上，故本选项错误；
B选项：点关于x轴对称的点是，故本选项正确；
C选项：点在第二象限，故本选项错误；
D选项：点到y轴的距离是2，故本选项错误．
故选：B
5．A
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为．根据一次函数的解析式可得随的增大而减小，由可得，得到答案．
【详解】解：一次函数解析式为，
，
随的增大而减小，
一次函数的图象经过，，且，
，
故选：A．
6．D
【分析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，2×鸡的只数+4×兔的只数=94，把相关数值代入即可得到所求的方程组．
【详解】解：∵鸡有2只脚，兔有4只脚，
∴可列方程组为：，
故选：D.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系.
7．B
【分析】本题主要考查了求中位数和众数，解题的关键是理解中位数和众数的定义，根据这4个成绩的中位数和众数相同，求出m的值即可．
【详解】解：∵中位数是中间两个数的平均数，众数是四个数中出现次数最多的数，
又∵这4个成绩的中位数和众数相同
∴第四次的成绩为个，
故选：B．
8．A
【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的二元一次方程组的解．根据二元一次方程组的解的定义知，该方程组的解就是组成方程组的两个二元一次方程的图象的交点坐标．
【详解】解：直线与直线相交于点，
关于，的方程组的解为．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，轴对称的性质．
由矩形和翻折，在中，根据勾股定理可求得，因此，设，则，，在中，根据勾股定理即可构造方程，求解得到，从而得到点E的坐标．
【详解】∵四边形是长方形，
∴，，，
∵将翻折得到，
∴，，
∴在中，，
∴，
设，则，，
∵在中，，
即，
解得，
∴，
∴点E的坐标为．
故选：C
10．C
【分析】根据平移的距离可以判断出矩形BC边的长，根据的最大值和平移的距离可以求得矩形AB边的长，从而求得面积
【详解】如图：根据平移的距离在4至7的时候线段长度不变，
可知图中,
根据图像的对称性，，
由图（2）知线段最大值为，即
根据勾股定理
矩形的面积为
故答案为：C
【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键．
11．±1
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x =a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【详解】∵(±1) =1，
∴1的平方根是±1
故答案为：±1．
【点睛】此题考查平方根，解题关键在于掌握其定义．
12．答案不唯一，如
【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可．
【详解】先围绕列一组算式，
如3×2-3=3，4×2+3=11，
然后用x，y代换，得.
，
故答案为答案不唯一，如.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解本题的关键.
13．乙
【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴成绩较稳定的是乙．
故答案为：乙．
14．/度
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角定理，根据、即可求解．
【详解】解：∵，点F在边的延长线上，
∴
∴，
∵
∴
故答案为：
15．或或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况，求出点C的坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，在中，利用勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，当为腰时，利用等腰三角形的三线合一，可得出的长，进而可得出点C的坐标；当为腰时，利用等腰三角形的性质，可得出的长，结合点B的坐标，即可得出点C的坐标，综上所述，即可得出结论．
【详解】解：如图：
当时，
∴点B的坐标为，
∴；
当时，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴．
在中，，，，
当为腰时，，
∴点C的坐标为；
当为腰时，，
又∵点B的坐标为，
∴点C的坐标为或．
综上所述，满足条件的点C的坐标为或或．
故答案为：或或．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先利用二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
17．(1)见解析
(2)直角三角形
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形，涉及了勾股定理及其逆定理，注意计算的准确性．
（1）根据三点坐标即可作图；
（2）根据两点间的距离公式求出的三边长即可判断；
（3）根据的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求：
（2）解：∵，，，
∴，，
∴
∴是直角三角形
（3）解：的面积
18．见解析
【分析】本题考查平行线的判定及性质．由得到，从而，又，等量代换得到，即可证明．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．(1)2，8
(2)2，3
(3)优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高．
【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．
（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为10分的学生数的占比为，即可得出七年级活动成绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；
（2）根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得，的值，即可求解；
（3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．
【详解】（1）根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为
样本中，七年级活动成绩为10分的学生数是，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：2，8．
（2）八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
第5名学生为8分，第6名学生为9分，
，
，
故答案为：2，3．
（3）优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，理由如下，
七年级优秀率为，平均成绩为：，
八年级优秀率为，平均成绩为：，
优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高．
20．(1)米
(2)8米
【分析】本题考查了勾股定理解决实际问题，
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
∴（负值舍去），
∴（米），
风筝的高度为米；
（2）解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
21．(1)A，B两种型号节能灯的单价分别是25元，10元
(2)购买6只A型号节能灯，5只B型号节能灯；购买4只A型号节能灯，10只B型号节能灯；购买2只A型号节能灯，15只B型号节能灯
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算．
（1）设A，B两种型号节能灯的单价分别是x元，y元，根据购买2只A型3只B型节能灯需要 80元，购买1只A型4只B型节能灯需要65元列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A型号的节能灯m只，购买B型号的节能灯n只，根据这两种节能灯都买，恰好用了200元，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设A，B两种型号节能灯的单价分别是x元，y元，根据题意得：
，
解得：，
答：A，B两种型号节能灯的单价分别是25元，10元．
（2）解：设购买A型号的节能灯m只，购买B型号的节能灯n只，根据题意得：
，
∵m、n为正整数，
∴，，，
答：购买6只A型号节能灯，5只B型号节能灯；购买4只A型号节能灯，10只B型号节能灯；购买2只A型号节能灯，15只B型号节能灯．
22．(1)100；10；9
(2)；当购买50块石料时，甲、乙两个商家所需费用相同，均为450元
(3)选择乙商家比较合算；理由见解析
(4)选择甲商家购买的石料数量会更多
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，数形结合求出函数表达式是本题的关键．
（1）根据题意和图象，得出甲商家一张会员卡的价格为100元，根据甲商家所需费用，得出篆刻石料的标价为10元，根据题意得出乙商家所需费用，即可得出k的值；
（2）设点A的坐标为，分别代入两个函数，构成二元一次方程组，求解即可；两个函数在交点A处的横坐标和纵坐标分别相等，点A的实际意义据此作答即可；
（3）当时，分别计算和的值，结果较小的比较合算；
（4）分别计算当和时对应x的值并比较大小，据此作答即可．
【详解】（1）解：根据题意可知：甲商家所需费用，
∴甲商家一张会员卡的价格为100元，篆刻石料的标价为：（元），
∵乙商家提出每块石料按标价的九折出售，
∴，
∴．
故答案为：100；10；9．
（2）解：设，则，
解得，
∴点A的坐标为，该点所表示的实际意义是当购买50块石料时，甲、乙两个商家所需费用相同，均为450元．
故答案为：；当购买50块石料时，甲、乙两个商家所需费用相同，均为450元．
（3）解：当时，，，
∵，
∴选择乙商家比较合算．
（4）解：当时，，
解得；
当时，，
解得，
∵，
∴选择甲商家购买的石料数量会更多．
23．(1)
(2)不变化；
(3)
【分析】本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是的定理．题目难度由浅入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题．
（1）根据三角形的内角和是，可求，所以，又由平角定义，可求，所以，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求，；
（2）根据，得出，，根据角平分线定义得出，．根据三角形外角的性质得出；
（3）根据，得出，，根据角平分线定义得出，．根据三角形外角的性质得出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
（2）解：不变化，．
∵，
∴，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵，
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
