2022-2023学年河南省漯河市郾城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于不可能事件的是( )
A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中十环
C. 掷一枚质地均匀硬币，正面朝上 D. 从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球
3.下列方程中，没有实数根的是( )
A. B. C. D.
4.关于函数的图象，有下列说法：
对称轴为直线；抛物线开口向上；图象经过原点；从图象可以判断出，当时，随着的增大而减小．其中正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，点、、在正方形网格的格点上，则( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为米，拱高弧的中点到水面的距离为米，若水面下降米，则此时水面的宽度为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
8.如图，、、是上的三个点，，连接，过点作交于点，交于点若点是的中点，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，直线与双曲线交于，两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.苯，则 ______ ．
12.不透明袋子中装有个红球和个白球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机地摸出个球，则这两个球都是红球的概率是______ ．
13.如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是______ ．
14.如图，扇形的圆心角为，，过点作于点，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是______ ．
15.如图，在中，，，点为中点，点在上，当为______ 时，与以点、、为顶点的三角形相似．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：；
解方程：．
17.本小题分
如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
与关于坐标原点成中心对称，则的坐标为______ ；
与的位置和数量关系为______ ；
将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______ ．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
过点作轴交轴于点，求的面积；
根据函数图象，直接写出时所对应的的取值范围．
19.本小题分
已知某抛物线的对称轴为直线，且过和两点．
求此抛物线的解析式；
填空：
当时，值所对应的范围是______ ；
若将此抛物线向下平移个单位与轴有公共点时，则的范围是______ ．
20.本小题分
已知：如图，是直径，直线经过的上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，平分．
求证：直线与相切；
若，，求的半径．
21.本小题分
为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高米，学生身高米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点处测得摄像头的仰角为，求体温检测有效识别区域段的长结果保留根号
22.本小题分
数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱元，厂家要求售价在元之间，若以每箱元销售平均每天销售箱，价格每降低元平均每天可多销售箱．
现该商场要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
当每箱纯牛奶售价为多少元时，每天获得的利润最大？
23.本小题分
如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点按逆时针方向旋转，记旋转角为．
问题发现
当时， ______ ；
当时， ______ ．
拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明．
问题解决
当旋转至时，请直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
解得．
故选：．
根据关于的一元二次方程的一个根是，将代入方程即可求得的值．
本题考查了一元二次方程的解，正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件，不符合题意；
C、掷一枚质地均匀硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球，属于不可能事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】
【解析】解：、方程整理得，
则，方程有两个不相等的实数根，所以选项不合题意；
B、，
则，方程没有实数根，所以选项符合题意；
C、，
则，方程有两个相等的实数根，所以选项不合题意；
D、，
则，方程有两个不相等的实数根，所以选项不合题意．
故选：．
分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向下，所以错误；
，
抛物线的对称轴为直线，所以正确；
当时，，
图象经过原点，所以正确；
当时，随的增大而减小，所以正确；
综上所述，正确的说法有个．
故选：．
利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
5.【答案】
【解析】解：连接，
由题意得：
，
，
，
，
是直角三角形，
，
在中，，
故选：．
连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，，
，
由旋转得：，，
．
故选：．
先根据勾股定理计算的长，由旋转的性质得是等腰直角三角形，并由勾股定理可得结论．
本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，以为圆心，连接、、，
由题意可得，为弧的中点，
，
，
，，
设，则，
在中，，，
，
解得：，
主桥拱所在圆的半径；
由题意得，水面下降为，连接，
水面下降米，
，
则，
，即水面的宽度为．
故选：．
以为圆心，连接、、，根据三线合一定理可得，，设，则，再根据勾股定理即可求出半径；水面下降为，连接，根据水面下降米，可得，再根据勾股定理即可求得答案．
本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识，掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连接，如图，
点是半径的中点，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，利用直角三角形的性质求出，则，再根据圆周角定理得到，然后计算即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9.【答案】
【解析】解：和是以点为位似中心的位似图形，
∽，
，
，故C正确；
，
，
，，，
，，选项不正确，
故选：．
根据题意可得∽，进而根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：直线与双曲线交于，两点，
点与点关于原点中心对称，
，
而，
，
，
反比例函数图象在第二、四象限，
，
．
故选：．
根据反比例的图象关于原点中心对称得到点与点关于原点中心对称，则，而，，然后根据反比例函数系数的几何意义即可得到．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
11.【答案】
【解析】解：，
，即，
，
故答案为：．
根据比例的性质可得，进而即可求解．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：记袋子中的个红球为红，红，红，个白球记为白，白，
由树状图得，共有种等可能出现的结果，其中，两个球都是红球的结果有种，
从袋子中随机地摸出个球，则这两个球都是红球的概率是，
故答案为：．
记袋子中的个红球为红，红，红，个白球记为白，白，由树状图得，共有种等可能出现的结果，其中，两个球都是红球的结果有种，即可得．
本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解题意，正确画出树状图．
13.【答案】
【解析】解：在中，
，，，
，
为的内切圆，切点分别为，，，
，，，
如图，连接，，
为的内切圆，
，，，
，
四边形是正方形，
设，则，，
，
，
，
则的半径为．
故答案为：．
先根据勾股定理求出，由切线长定理得，，，设，则，，然后根据，求解即可．
本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理．
14.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，
，
阴影部分的面积为
故答案为：．
根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形面积求即可．
本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：当时，
，
∽，
，
当时，
，
∽，
，
综上，或，
故答案为：或．
先得到，再分与两种情况讨论即可解答．
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理．
16.【答案】解：
；
，
，
即，
或，
解得：，．
【解析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17.【答案】 平行且相等
【解析】解：根据图得，点，
与关于坐标原点成中心对称，
，
故答案为：；
与关于坐标原点成中心对称，
，，
故答案为：平行且相等；
如图所示，连接，，分别作垂直平分线交于，
即旋转中心的坐标为，
故答案为：．
根据原点对称的两点的横纵坐标互为相反数，据此解答；
根据中心对称即可解答；
画出，连接，，分别作垂直平分线交于，即可解答．
本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质，中心对称．
18.【答案】解：点在反比例函数上，
，
，
反比例函数表达式为，
点在反比例函数上，
，
，
，
点，点在一次函数上，
，
解得，，
一次函数的表达式为；
过点作轴交轴于点，，
，
，
；
观察图象得，当或时，．
【解析】将点代入反比例函数，进行计算得反比例函数表达式为，将点代入上得，根据点，点在上得，进行计算得一次函数的表达式为；
过点作轴交轴于点，得，可得，即可得，进行计算即可得；
观察函数图象即可得．
本题考查了一次函数，反比例函数，三角形面积问题，解题的关键是理解题意题，掌握这些知识点．
19.【答案】
【解析】解：设抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，且过和两点，代入得：
，
解得：，
抛物线解析式为；
，
抛物线开口向上，顶点坐标为，如图，
，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
当时，值所对应的范围是，
故答案为：．
顶点坐标为，
若将此抛物线向下平移个单位与轴有公共点时，则的范围是，
故答案为：．
待定系数法求解析式即可求解；
根据解析式可得开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线，进而可得当时，时，取得最大值，进而即可求解．
根据函数图象以及顶点坐标，结合题意，即可求解．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20.【答案】证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
直线与相切；
解：过点作于，
则，
，
，
在中，，，
则，
，
，
的半径．
【解析】连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
过点作于，根据垂径定理得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、垂径定理、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
21.【答案】解：由题意得，米，
米，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
米．
答：体温检测有效识别区域段的长为米．
【解析】由题意可求得米，分别在和中，利用三角函数的求出和，最后根据可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22.【答案】解：设每箱售价为元，根据题意得：
化简得：
解得：或不合题意，舍去，
，
答：当每箱牛奶售价为元时，平均每天的利润为元．
由可知，
当时，每天盈利最多．
答：每箱售价为元时，每天盈利最多．
【解析】设每箱售价为元，根据每箱售价进价销售量等于利润元，解一元二次方程即可；
将中利润的表达式，化简并配方，即可得答案．
本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，明确利润等于每箱的利润乘以销售量以及二次函数的顶点式是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：当时，
在中，，，，
，
，
点、分别是边、的中点，
，，
；
故答案为：．
如图，
，
当时，
将绕点按逆时针方向旋转，
，，
，，
．
故答案为：．
当时，的大小没有变化，
，
，
又，，，，
，
∽，
．
或．
如图，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，，
，
；
如图，过点作交于点，
同理可得，，，
，
．
故BD的长为或．
先根据勾股定理求出，再利用中点求出，，即可得出结论；
先求出，的长，即可求出的值；
证明∽，可得．
分两种情况，由直角三角形的性质可求出的长．
本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，平行线的性质，相似三角形判定和性质，正确作出辅助线，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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