2023-2024学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》
自主学习基础达标训练题（附答案）
一、单选题
1．若等腰三角形的底角为，则它的顶角角度为（ ）
A． B． C． D．
2．等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．17 B．13 C．17或22 D．22
3．如图，在中，，，D是斜边的中点，，垂足为点E，，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，是等腰三角形，点O 是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为4，面积为10，则的值为（ ）
A．10 B．8 C．7 D．5
5．如图，在中，，D是的中点，连接．下列结论： ；②；③；④，其中，一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，A，是池塘两侧端点，在池塘的一侧选取一点，测得的长为6米，的长为6米，，则A，两点之间的距离是（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
7．如图，在的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
8．如图，在中，，于点E，交于点M且，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接交于点G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若等腰三角形有一个角是，则它的底角的度数是 ．
10．已知一个等边三角形的周长为42cm，则它的边长为 cm．
11．如图，已知线段，分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧线相交于点，连接，则的度数为 ．
12．如图，已知在△中，，于点，若，则的度数为 ．
13．如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁的中点，垂直于横梁，若，则的长为 m．
14．如图，在△中，以点为圆心，以长为半径画弧交边于点，连接．若，则 度．
15．如图，在中，， 点在边上，． 若，， 则的长为 ．
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
三、解答题
17．如图所示，在△ABC中，BC＝BD＝AD，∠CBD＝36°，求∠A和∠C的度数．
18．AD是等腰△ABC中BC边上的高，且AD＝BC，请通过画图求出∠ABC所有可能的值．
19．如图，四边形，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若点是的中点，求证：．
20．如图，点D是内部的一点，，过点D作，，垂足分别为E、F，且
求证：为等腰三角形．
21．如图，点是的平分线和的外角平分线的交点，，则线段、、之间有何数量关系，并证明.
22．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，E是BC延长线上的一点，且∠CED=30°．
（1）求证：DB=DE；
（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．
23．已知:等边分别是上的动点，且,交于点．
如图1,当点分别在线段和线段上时，求的度数;
如图2,当点分别在线段和线段的延长线上时，求的度数．
参考答案
1．解：∵等腰三角形的底角为，
∴它的顶角度数为．
故选B．
2．解：分两种情况：
①当4为底边长，9为腰长时，，
∴三角形的周长为：；
②当9为底边长，4为腰长时，
∵，
∴不能构成三角形；
∴这个三角形的周长是22．
故选：D．
3．解：∵在中，，且，
∴,
∵D是斜边的中点，
∴，
∵，
∴在中，，
故答案为：A．
4．解：如图所示，连接，
∵是等腰三角形，点O 是底边上任意一点，分别与两边垂直，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
5．解：∵，
∴，故①正确；
∵，D是的中点，
∴，故②正确；
∵，D是的中点，
∴，故③正确；
不能得出，故④错误；
正确的个数是3个，
故选：C．
6．解：由题意得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故选B．
7．解；如图所示，一共有8个点C符合题意，
故选D．
8．解：连接，
，，
，
由题意可知，
，
是等边三角形，
又，
，
，
，
故选：A．
9．解：如图所示：
∵等腰三角形有一个角是，
∴是等腰三角形，
∴当时，；
∵三角形的内角和为，
∴等腰三角形中的角，不能是底角，
故答案为：．
10．解：设等边三角形的边长为acm，
由题意得：，
解得；
故答案为：14．
11．解：根据作图可知，，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．
12．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，，
∴．
故答案为：．
13．解：∵垂直于横梁，
∴，
∵，，
∴，
∵点D是斜梁的中点，
∴，
故答案为：．
14．解：根据题意得：，
，
，
．
故答案为：．
15．解：如图，
在中，，，
，
，
，
又，
．
故答案是：．
16．解：根据题意得：，
如图（1）所示，，则，即顶角为；
如图（2）所示，，则，
，
即顶角为；
故答案为：或．
17．解：∵BC=BD, ∠CBD＝36°
∴∠C=∠BDC=72°
∵BD＝AD
∴∠A=∠ABD
∵∠BDC=∠A+∠ABD
∠A=∠ABD＝36°．
18．解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD
∵AD＝BC，
∴△ADB与△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°；
如图2，∵AB＝BC，AD＝BC，
∴AD＝AB，
∵AD⊥BC，
∴∠ABC＝30°，
如图3，∵AB＝BC，AD＝BC，
∴AD＝AB，
∵AD⊥BC，
∴∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝150°，
综上所述，∠ABC所有可能的值为：45°或30°150°．
19．解：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠E，
又∵∠DAE=∠BAE，
∴∠E=∠BAE，
∴BE=BA，
在△DAF与△CEF中，
∴△DAF≌△CEF，
∴AF=EF，又∵BE=BA，
∴BF⊥AF.
【点睛】考核知识点：等腰三角形性质.
20．证明：，，
．
在和中，
≌，
，
，
，
，
即，
．
欲证明，只要证明即可；
21．解：DE+EC=BD．
证明：∵BF分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC．
∵，
∴∠DFB=∠FBC．
∴∠ABF=∠DFB，
∴BD=DF．
∵CF平分∠ACG，
∴∠ACF=∠FCG．
∵DF∥BC，
∴∠DFC=∠FCG．
∴∠ACF=∠DFC，
∴CE=EF．
∴EF+DE=DF，即DE+EC=BD．
22．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
（2）如图，
∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，
∴∠CDF=30°，
∵CF=4，
∴DC=8，
∵AD=CD，
∴AC=16，
∴△ABC的周长=3AC=48．
23．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵在AFC和△CEB中
，
∴AFC≌△CEB（SAS），
∴∠ACF＝∠CBE，
∴=∠CBE+∠BCF
=∠ACF +∠BCF
=∠ACB
=60°;
（2）同理在AFC和△CEB中
，
∴AFC≌△CEB（SAS），
∴∠F＝∠E，，
∴=∠FBP+∠F
=∠EBA +∠E
=∠BAC
=60°．
