2024年九年级中考数学解答题一轮复习——
全等三角形专项训练
1．综合与实践：
操作发现：如图，已知和均为等腰三角形，，，将这两个三角形放置在一起，使点，，在同一直线上，连接．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图1，，求的度数；
拓广探索：
（3）如图2，若，，于点F，求的长度．
2．如图1，点为的外角的平分线上一点，，于．
(1)求证：；
(2)若，连接，，，求的长度；
(3)如图2，若，分别是边，上的点，且，求证：．
3．如图，是等边三角形，点D、E分别是边、上的点，、交于点M．，，求证：．
4．已知：如图，在中，，，高与高相交于点F，G为的中点．
求证：
(1)；
(2)．
5．如图，矩形四个顶点E、F、G、H分别在平行四边形的四条边、、、上．
(1)求证：；
(2)若四边形为菱形，E为的中点，，求．
6．如图1，在边长为2的正方形中，点是射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作正方形．
(1)当点在线段上，连接，求证：；
(2)当点是线段中点，连接，求线段的长；
(3)如图2，点在线段的延长线上，连接，若的延长线恰好经过的中点，求线段的长．
7．如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
8．【问题提出】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接
①求证：
②若，求的长．
【问题拓展】
（2）如图2，和都是等边三角形，连接，若，求的面积
9．已知：如图，在中，，点在上，点在边的延长线上，与相交于点．若，求证：．
10．如图，平分交的延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
11．如图，已知是等边三角形，、分别为、上的点，且，、相交于点，于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
12．如图①，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于．
(1)求证：；
(2)请你判断并与之间的数量关系，并证明；
(3)如图②，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
13．如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且.
(1)求证：；
(2)判断，与之间的数量关系，并说明理由.
14．如图，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
15．如图，已知：在中，，点D，E分别在边，上，．
(1)求证：；
(2)若与交于点F，求证：．
参考答案：
1．（2）；（3）．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵，
∴，
，，
，
∴；
（2）解：如图1中，设交于．
，
，
，
，
，
，
即；
（3）解：设交于点，如图2中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
2．(2)
【详解】（1）如图1，过作交于，
∵点为的平分线上一点， 于，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图2，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图3，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．
【详解】证明：如图所示，作于点G，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中 ，
∴，
∴，
即．
4．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵G为的中点．
，
，
∴E为的中点．
，
；
（2）证明：由（1）知：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
5．(2)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：延长、交于点，作于点，则，
，
，
四边形是菱形，
，
为的中点，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
设，，则，，
，，
，，
，
，
，
，
，
整理得，
，
，
，
，
，
．
6．(2)
(3)
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵四边形和四边形都是正方形
∴，，
∴
在和中，
∴
∴
（2）解：过点作，垂足为点
∵四边形和四边形都是正方形
∴，
∴
在和中，
∴
∴，
∴
∴
∵点是线段中点，且正方形的边长为2
∴
∴
（3）解：在的延长线取一点，使得，连接
∵是中点
∴
在和中，
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴，
∴
∴
∴
7．(2)的长为5
【详解】（1）证明：，，且，
，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
，
的长为5．
8．（1）②；（2）
【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点C作于F，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B、D、E三点共线，
在中，，
∴；
（2）∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，过点A、E分别作的垂线，垂足为G、H，
∴，，
∴，
∵，
∴
，
∴．
9．
【详解】证明：过点作交于点，
，
，
在和中，
10．
【详解】（1）证明：过点作，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
，
在和中
，
（）；
（2）证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
12．【详解】（1）解：∵是直角，，
∴，
∵、分别是、的平分线，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
连接，
∵、分别是、的平分线，、相交于点，
∴是的角平分线，
∵于，于，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴；
（3）成立，证明如下：
连接，过点作，则：，
∵、分别是、的平分线，、相交于点，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴．
13．(2)
【详解】（1）∵平分，于点E，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）．理由：
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
由(1)知，，
∴．
14．(2)
【详解】（1）证明：，，，
，
在和中，
，
；
（2），，
，
，
．
15．【详解】（1）在和中，
，
；
（2）由（1）得：，
，
，
，
，
即，
．
