2023/2024学年度第一学期期末学业质量检测
九年级数学试卷
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。
3.答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1.下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.已知的半径为4，点到圆心的距离为4.5，则点与的位置关系是（ ）
A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法确定
4.学校组织才艺表演比赛，前5名获奖.有11位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同.某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这11名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ）
A.众数 B.方差 C.中位数 D.平均数
5.已知与分别为方程的两根，则的值等于（ ）
A. B.2 C. D.
6.如图，点、、在上，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，下列条件中不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
8.设，，是抛物线上的三点，，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9.在比例尺为的扬州旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路实际长________.
10.转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数小于5的概率是________.
11.如图，四边形是的内接四边形，的半径为2，，则的长为________.
12.如图，在中，中线、相交于点，，则的长为________.
13.科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度为________（结果保留根号）。
14.圆锥的母线长为，侧面积为，则圆锥的底面圆半径________.
15.将抛物线向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是________________.
16.如图，线段，点为平面上一动点，连接，，且，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段，则线段的最大值为________.
三、解答题（本大题共有11小题，共102分。解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17.（6分）解方程：.
18.（6分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根等于，求的值.
19.（8分）如图，是的直径，弦，垂足为，，，求图中阴影部分的面积.
20.（8分）某教育局随机抽取实验初中教育集团部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查，设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、订正，答案选项为：：很少，：有时，：常常，：总是.将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次被抽查的学生有________名；
（2）“很少”所占的百分比________“常常”对应扇形的圆心角为________；
（3）请你补全条形统计图；
（4）若该教育集团有3000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、订正的学生共有多少名？
21.（8分）为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，盐城市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从.“垃圾分类入户宣传”、.“消防安全知识宣传”、.“走访慰问孤寡老人”、.“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题参加服务活动.
（1）志愿者小李选取.“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是
（2）志愿者小张和小李从、、、四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率。
22.（10分）已知二次函数的图象的对称轴是直线，它与轴交于、两点，与轴交于点，点、的坐标分别是、.
（1）请在平面直角坐标系内画出示意图；
（2）求此图像所对应的函数关系式；
（3）若点是此二次函数图象上位于轴上方的一个动点，求面积的最大值.
23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，、、.
（1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________；
（2）这个圆的半径为________；
（3）直接判断点与的位置关系.点在________（填内、外、上）；
（4）在如图方格中，连接，，，将以原点为位似中心，缩小为原来的，请画出缩小后的图形.
24.（10分）如图，是的直径，切于点，是圆上一点，过点作的垂线，交于点，与的延长线交于点，且，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
25.（10分）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价（元/台）与采购数量（台）满足（，为整数）；冰箱的采购单价（元/台）与采购数量（台）满足（，为整数）.
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完.在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润.
26.（12分）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。
（1）若是“准互余三角形”，，，则________；
（2）如图，在中，，，，若是的平分线，
（1）判断：________（填“是”或“不是”）“准互余三角形”；
（2）试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；
（3）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，若为“准互余三角形”，求抛物线的解析式.
27.（14分）已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作，
（1）点在边上时（如图1）
①求证：点在边的垂直平分线上；
②如图2，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出长；
③如图3，点从点运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长：
（2）当点在边上时（如图4），若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积.
图1 图2 图3 图4
2023－2024学年度第一学期期末学情调研九年级数学答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.A 8.B
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 1.9 10. 11. 12. 4 13.
14. 3 15.或 16.
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17.解：，
18.（6分）解：
（1）证明：，，，，
此方程总有两个实数根；
（2）解：
此方程恰有一个根小于，把代入方程，.
19.（8分）解：
，，是的直径，弦，，
是等边三角形，
，，，
.
20.（8分）解：（1）200. （2）； （3）（名），
补全条形统计图如下：
（3）（名），“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1080名.
21.（8分）解：（1）
（2）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同主题的结果有4种，小张和小李选择相同主题的概率为.
22.（10分）解：（1）对称轴为，为，为，
抛物线图象示意图如图所示：
（2）设抛物线的解析式为，
图象过、、三点，把三点的坐标代入可得，解得，
抛物线解析式为；
（3）根据题意可知当为顶点时的面积最大，由（2）可求得其顶点坐标为，且，
，即面积的最大值为4.
23.（10分）解：（1） （2） （3）内 （4）如图，即为所求.
24.（10分）解：（1）证明：如图，连接，
切于点，，，，
，，，
在和中，，，
，是的切线；
（2）解：，是的直径，，
，，，
，，.
25.（10分）解：（1）设空调的采购数量为台，则冰箱的采购数量为台，
由题意得，，解不等式①得，，解不等式②得，，
所以，不等式组的解集是，
为正整数，可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；
（2）设总利润为元，空调的采购数量为台，
，
则，
，
，
，
，
当时，随的增大而增大，
，当时，（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元.
26.（12分）解：（1） （2）①是
②解：如图，在边上存在点（异于点），使得也是“准互余三角形”，理由如下：
也是“准互余三角形”，，
，，
，，，
即，，.
（3），
27.（14分）解：（1）①为直径，
点在圆上，连接，，，点在的垂直平分线上.
②
（3）连接，
始终是的中点，是等腰直角三角形
连接、交于点
可证明，
当点与点重合，点与点重合，当点与点重合，点与点重合，
点运动的轨迹为线段.线段.
（2），
设，则，，
，，
